（新高考）高考数学二轮精品专题七《数列》（教师版）

2017年高考“2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台--教育因你我而变好教育云平台--教育因你我而变专题专题7××数列命题趋势命题趋势本部分高考的热点主要为等差、等比数列的基本量和性质的考查和数列求和及数列的综合问题．基本量和性质的考查常以小题的形式出现，数列求和及数列综合问题常以解答题的形式出现是高考的重点．考点清单考点清单1．相关公式等差数列的通项公式：a等差中项：2an=a等差数列的求和公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等比数列的通项公式：a等比中项：an2=a等比数列的求和公式：SKIPIF1<0前n项和Sn与第n项an的关系2．判断等差数列的方法（1）定义法an−1−an=d（常数）n∈N∗（2）通项公式法an=pn+q（p，q为常数，n∈N∗）SKIPIF1<0（3）中项公式法2an+1=an+a（4）前n项和公式法Sn=An2+Bn（A，B为常数，n∈N∗3．判断等比数列的常用方法（1）定义法SKIPIF1<0（q是不为0的常数，n∈N∗）SKIPIF1<0an是等比数列；（2）通项公式法an=cqn（c，q均是不为0的常数，n∈N∗（3）中项公式法an+12=an⋅a

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．设Sn是数列an的前n项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则S2021=（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在数列an中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以此类推可知，对任意的n∈N∗，an+3=a∵2021=3×673+2，因此，SKIPIF1<0，故选B．【点评】根据递推公式证明数列an（1）先根据已知条件写出数列an的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数k（2）证明an+k=ank∈2．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列an中，a2，a8，a是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设公差不为零的等差数列an的公差为d，则有SKIPIF1<0，因为a2，a8，a12所以有a82=a2因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故选A．【点评】本题主要考了等查数列的通项公式，可以利用基本量法进行求解，属于基础题．3．等比数列an中，a1+a2A．90 B．302+1 C．【答案】A【解析】∵an是等比数列，SKIPIF1<0a1+a2=6，a3+∴前8项和为a1+【点评】本题主要考了等比数列的性质以及等比数列的通项公式，属于基础题．4．若数列an满足SKIPIF1<0，则称an为“梦想数列”，已知正项数列SKIPIF1<0为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【解析】由题意可知，若数列an为“梦想数列”，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，“梦想数列”an是公比为SKIPIF1<0的等比数列，若正项数列1bn为“梦想数列”，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即正项数列bn是公比为2因为b1+b2【点评】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为SKIPIF1<0的等比数列，解题要将这种定义应用到数列SKIPIF1<0中，推导出数列bn为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解．5．等差数列an中，已知a1+a4A．11 B．22 C．33 D．44【答案】B【解析】∵等差数列an中a1+∴a1+a∴a4=13，a6=9【点评】本题的考点为等差中项，及等差数列的通项公式，属于基础题．6．两个等差数列的前n项和之比为SKIPIF1<0，则它们的第7项之比为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设两个等差数列分别为{an}，{bn}，它们的前则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选B．【点评】本题考查等差数列的性质，若等差数列含有奇数项，则其前n项和等于项数乘以中间项，是基础题．7．在等差数列an中，a1=−2018，其前n项和为Sn，若SKIPIF1<0，则S2020A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn，则所以SKIPIF1<0是等差数列．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的公差为1，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以−2018为首项，1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以S2020=2020，故选C．【点评】本题主要考查等差数列前n项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题．8．等差数列an的前n项和为Sn，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当Sn取得最大值时n的值为（）A．4或5 B．3或4 C．4 D．3【答案】C【解析】设an公差为d，由题意知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由等差数列前n项和公式，知SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，所以当n=4时，Sn最大，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算及前n项和的最值问题，属于基础题．9．已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是等比数列；若数列SKIPIF1<0是等比数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，与数列SKIPIF1<0是等比数列矛盾，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0是等比数列”的必要不充分条件，故选B．【点评】（1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断．二、填空题．10．等差数列an中，a5=9，a【答案】135【解析】由已知得a5+a7=2所以a10+【点评】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题．11．设数列{an}中SKIPIF1<0，若等比数列{bn}满足an+1=a【答案】2【解析】根据题意，数列{bn}满足an+1=anb则有SKIPIF1<0，而数列{bn}则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则a2020=2，故答案为2．【点评】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题．三、解答题．12．设等差数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，且S4−4S1=12（1）求数列an和b（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和．【答案】（1）an=2n−1，bn=3n−1；（2）【解析】（1）设数列an的公差为d，且a又S4则a1+a则an由bn+1=2T两式相减得bn+1−b又b2=2T故bn是首项为1，公比为3的等比数列，所以b（2）设SKIPIF1<0，记cn的前n项和为Tn．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【点评】数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．13．已知数列an满足SKIPIF1<0，n∈N∗．（1）求数列an（2）设等差数列bn的前n项和为Sn，且SKIPIF1<0，令cn=bn−an+kn【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）当n=1时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当n≥2时，由SKIPIF1<0，①得SKIPIF1<0，②①−②，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也符合，因此，数列an的通项公式为SKIPIF1<0．（2）由题意，设等差数列bn的公差为d则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴bn=b1+n−1d=n−1，由（1）知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点评】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于SKIPIF1<0型数列，其中an是等差数列，bn是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于an（4）对于SKIPIF1<0型数列，其中an是公差为SKIPIF1<0的等差数列，利用裂项相消法求和．高频易错题高频易错题一、解答题．1．已知数列an满足：SKIPIF1<0．（1）求数列an（2）设SKIPIF1<0，求数列bn的前n项和Sn．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因为数列an满足：SKIPIF1<0，所以，当n=1时，SKIPIF1<0，当n≥2时，SKIPIF1<0，相减可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上可得，SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【点评】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）利用数列项与和的关系，求得通项，注意需要对首项验证；（2）将bn精准预测题精准预测题一、选择题．1．公差不为0的等差数列an中，2a3−a72A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】等差数列an中，a故原式等价于a72−4a7=0各项不为0的等差数列an，故得到a数列bn是等比数列，故b6b【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质．2．设等差数列an的前n项和为Sn，若SKIPIF1<0成等差数列，且a2=10，则S9A．28 B．36 C．42 D．46【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0成等差数列，∴2S9=S3设an的公差为d，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0a2=10，SKIPIF1<0a2=a1+d=−6d+d=−5d=10，∴d=−2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的性质以及前n项和公式，考查学生的运算求解能力，求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式，并灵活运用，属于基础题．3．设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依题意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选D．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．4．若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，记SKIPIF1<0，则（）A．数列bn是等差数列，bnB．数列bn是等差数列，bnC．数列an+bnD．数列an−bn是等差数列，an−【答案】D【解析】由题可得an=a1+n−1d则SKIPIF1<0是关于n的一次函数，则数列bn是公差为SKIPIF1<0的等差数列，故A，B错误；由SKIPIF1<0是关于n的一次函数，得数列an+bn是公差为SKIPIF1<0的等差数列，故C错误；又SKIPIF1<0是关于n的一次函数，则数列an−bn是公差为SKIPIF1<0的等差数列，故D正确，故选D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等差数列an，an=pn+q是关于n的一次函数，公差为SKIPIF1<05．等比数列an的首项a1=4，前n项和为Sn，若SA．65 B．75 C．90 D．110【答案】A【解析】∵an的首项a1=4，前n项和为SSKIPIF1<0，解得q=2，∴a故数列log2an的前10项和为SKIPIF1<0，故选A．【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（多选）设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5A．d>0 B．aC．S9>S5 D．S6与SKIPIF1<0均为S【答案】BD【解析】根据题意，设等差数列an的公差为dan是等差数列，若S6=又由S5<S6，而C选项，S9>S5，即又由a7=0且d<0，则a8<0∵S5<S6，S6=S7>S8，∴故选BD．【点评】本题考查了等差数列以及前n项和的性质，需熟记公式，属于基础题．二、填空题．7．数列an中，a1=2，am+n=am【答案】3【解析】因为a1=2，am+n=am⋅{an}是等比数列，公比为2，因为SKIPIF1<0，所以k=3，故答案为3．【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用，属于基础题．8．在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____；使得数列SKIPIF1<0前n项的和SKIPIF1<0取到最大值的SKIPIF1<0_____．【答案】9，5【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴使得数列SKIPIF1<0前n项的和SKIPIF1<0取到最大值的SKIPIF1<0．故答案为9，5．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题．三、解答题．9．已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，且S3=12，a8=16．数列（1）求数列an，b（2）若数列cn满足SKIPIF1<0，求数列cn的前n项和Tn．【答案】（1）an=2n，bn=4【解析】（1）设数列an的公差是d，数列是bn的公比是