三垂线求二面角

DOBPACDOBPAC三垂线专题例1．如图，在正方体ABCD-ABCD中，求证：Bd丄平面11111ABC1练习：1.在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影O是人ABC的垂心。求证：PA丄BC2.如图，已知ZBAC在平面°内，叮，，PAB=,PAC。求证:点P在平面°上的射影在ZBAC的平分线上。3.P为ABC所在平面外一点，O为P在AABC上的射影。A（1）若P到ABC的三边距离相等，A且O在ABC的内部，则O是ABCAATOC\o"1-5"\h\z的心。（2）若P到ABC的三个顶点距离相A等，则O是ABC的心,A又若ACB=0，则O在Z900（3）若PABC，PBAC，则O是ABC丄丄A的心。4）若PA，PB，PC两两垂直，则O是ABC的心。例2.已知例2.已知A，B是1200的二面角-l-卩棱l上的两点，线段AC,BD分别在面面,卩内,且AC丄l,BD丄l。已知AC=2,BD=1AB=3,求线段CD之长。

三垂线定理的应用例1．如图：在三棱S-ABC中，SA=AB=BC=1,SA丄平面ABC,AB丄BC，求二面角B-SC-A的大小。例2.例2.四棱锥P—ABCD中，PA丄底面ABCD,AB//CD,AD=CD=1,乙BAD=120°,PA=_,ZACB=90°。371）求证：BC丄平面PAC；2）求二面角D—PC—A的余弦值;3）求点B到平面PCD的距离。例2解法一：证明：（例2解法一：证明：（l）TPA丄底面ABCD,BCu平面ABCD,.•・PA丄BC.VZACB=90°,.BC丄AC.又P4HAC=A,.BC丄平面PAC.解：（2）TAB〃CD,ZDAB=120°,:.ZADC=60°.又AD=CD=1,.△ADC为等边三角形，且AC=1.取AC的中点O,则DO丄AC,•.•P4丄底面ABCD,.PA丄DO,.DO丄平面PAC过O作OH丄PC,垂足为H,连DH,由三垂线定理知DH丄PC.：・上DHO为二面角D—PC—A的平面角.由OHv3~T二tanDHO=OH=2,故所求二面角的余弦值为<5故所求二面角的余弦值为<5(3)设点B到平面PCD的距离为d.•.•AB〃CD,AB@平面PCD,CDu平面PCD,.AB〃平面PCD.・••点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.VAVA-PCDP-ACD例3•如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=4,BB=4j2,BM=了ZBAC=90°,1点N在ca上，且CN=3NA1O

⑴求证：MN//平面⑴求证：MN//平面ABC;111(2)求点A到平面AMC的1距离;⑶求二面角C-AM-B的大小.例3.(1)过N作NC丄AC交AC于E，则NC//AA，1.NE…AA1CN11二二一，.・NC二一AA，CA441111M.一而MB二—BB二—AA,NCABn四边形BMNC为平行四边形,4141・•・EB//MN,EBu平面AACnMN〃平面ABC,而平面ABC//平面ABC,1111・MN//平面ABC。111V=V，而SAACM=6江,A]—ACMM-州AC113216V=—x—x4x4.2x4=2nh=-。M-A]AC3233AC丄平面AAB，过A作AF丄AM连CF,则CF丄AM,111ZAFC为二面角C-A1M-B的平面角’且tanZAFC干。

例4.(2008广东理)如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径，ZABD=60°,ZBDC=45o.PD垂直底面ABCD，PD=2、2r・E,F分别是PB,CD上的点，且PB=DF，过点E作BC的平行线交PC于G.求BD与平面ABP所成角的正切值;9证明:△EFG是直角三角形;当PB=2时,求△EFG的面积.2.解法1：VPD丄底面ABCD.•.PD丄AB,•••BD是圆的直径，.AD丄AB,又PDHAD=D.AB丄平面ADP又AB匸平面ABP.•・平面ABP丄平面ADP，且平面ABPH平面ADP=PA.在平面ADP内作DH丄PA,垂足为H,则DH丄平面ABP,连结BH,则ZDBH就是BD与平面ABP所成角，即ZDBH=9在RtAABD中，BD=2R,所以AD=f3R.在RtAADP中，DH丄PA,PD=2j2R,AD=j3R,则AP二｛HRAD-DP2J6厂.•・DH=二RAP<11在RtABHD中，在RtABHD中，BD=2R,DH=2J6R，所以BHrBD2—DH24R2—BHrBD2—DH211v"11

DHV30tan0==BH5(2)证明:•.•EG〃BC,PEPGPEDF…EBGC,又已知EBFCPGDF•…GCFC.•・GF〃PD又由PD丄底面ABCD,可知PD丄BC,.•・EG丄GF•••△EFG是直角三角形.1GFpb3，1GFpb3，PD又PD=2\/2R,TOC\o"1-5"\h\z（3）当二时，由平行线截割定理可知，二EB2BC在ABCD中，ZBDC=45。BD=2R,所以BC=\/2R,迈4迈:.EG=R,GF=R.33所以△EFG的面积为S=EG-GF=—xRxR=—R2△efg22339解法2：以A为原点，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系•（略）作业：1.如图，三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2,AB=2p3,VC=l,试画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数。6.如图，ABCD是正方形，PA平面AC,且PA=AB，（1）（2）（3）（4）（5）求二面角B-PA-D的度数；求二面角B-PA-C的