向量(原卷版)-【考前终极复习】高考剖析及2022年高考数学备考指南

“向量”高考剖析及2022年备考指南目录一、考查内容分析 21. 题型、分值合理分布，考点熟悉稳定 22、侧重考查主干知识，设问常态基础 22. 适当与其他知识融合，应用全面广泛 33. 代数和几何各显神通，解法创新多样 3二、命题思路分析 31.基本运算，大显功力 32.平行垂直，各有担当 63.融会贯通，推陈出新 84.立足几何，首当其冲 15三、复习建议 221.正本清源，加深概念理解 222.勤练内功，加强运算训练 223.纵横捭阖，增大知识融合 224.立意高远，关注终身发展 22

“向量”高考剖析及2022年备考指南高中数学课程中向量的学习，有助于学生认识代数与几何的联系，能促进学生数学学科核心素养的培育及应用能力的提升，是培养学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的重要载体.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量是描述直线、平面、曲面及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.向量既具有方向与大小的二维特征，又可以通过平面的二元有序数组（二维坐标）、空间的三元有序数组（三维坐标）来表示，进而为未来高维空间的数学问题学习做好铺垫.学生容易通过向量的几何表示（即有向线段的图形）认识向量的方向与大小，但从二元有序数组（x,y）中认识向量的方向与大小是有一定难度的.只有解决“数”与“方向和大小”的问题,才能为学生认识三元有序数组（x,y,z）和n元有序数组的方向和大小问题打下坚实基础.平面向量内容让代数与几何有机联系,与函数、三角函数、复数、立体几何、解析几何、不等式等主干内容紧密相关,重要性不言而喻.在2021年高考数学平面向量试题中,更多考查向量的基础性、工具性作用,考查学生从多个角度、灵活多样思考与解决此类问题的不同方法,考查转化与化归、数形结合、函数与方程等重要数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识、数学方法的能力,显现高考试题的选拔功能.同时,还通过高考试题引导平面向量教学回归到对向量本质属性的认识.一、考查内容分析题型、分值合理分布，考点熟悉稳定综观2021年高考数学平面向量试题,除了空间向量在立体几何中的应用及平面向量在解析几何中的应用外,一般都保持一道客观题、分值为5分的考查风格,独立考查向量的基础知识或考查向量与其他知识之间的有机联系.与近几年的高考试题比较,2021年的平面向量试题有很强的稳定性.在解答题中仅以平面向量的条件表述考查平行、垂直、角度、距离等几何关系,或以空间向量为工具,在立体几何试题中考查空间位置及数量关系,中规中矩、波澜不惊.具体如下表所示.文科135数量积求向量模理科145数量积运算、垂直关系求参数的值文科135数量积运算、平行关系求参数的值理科145数量积运算、垂直关系求参数的值105向量的模、数量积运算125向量基本定理、数量积运算、向量关系155向量的模、数量积运算35数量积运算、垂直关系、相等向量175数量积运算、投影概念135向量的和、数量积的坐标运算44数量积运算155向量的平行、垂直、和、数量积、模2、侧重考查主干知识，设问常态基础2021年高考数学平面向量试题，重点考查平面向量的概念，平面向量的和、差、数乘、数量积运算，两个向量的共线与垂直关系，向量表示，向量基本应用等主干知识，方法常规、入手容易，尽显基础题特点，即便在解析几何解答题中呈现几何关系的向量表达，或者应用于立体几何，呈现空间向量在垂直、平行、夹角、长度的应用，无一例外都考查了向量的主干知识，不偏不倚，体现出向量的基础性、工具性作用.例如，全国甲卷文科第13题、全国甲卷理科第14题、全国乙卷文科第13题、全国乙卷理科第14题、北京卷第13题、上海卷第4题等，都具有上述特点.适当与其他知识融合，应用全面广泛由于平面向量具有代数与几何的双重特性，与函数、方程、不等式、立体几何、解析几何等知识都可以建立有机联系，使得平面向量与这些内容之间有高度的融合性.试题以向量形式呈现，进一步考查学生对函数、方程、不等式等知识的理解与应用.例如，全国新高考I卷第11题、浙江卷第3题和第17题、上海卷第20题等.特别是向量知识在平行、垂直、夹角、长度等的位置或数量关系中，有极其重要的应用价值.代数和几何各显神通，解法创新多样平面向量问题既可以用代数方法通过运算求解，也可以用几何方法借助图形分析，具有很强的灵活性.2021年高考数学平面向量试题，一如既往地结合选择题、填空题的解题特征，为学生多角度创新解决问题提供了可能.用几何手段研究平面向量问题，对学生的数学建模、直观想象、逻辑推理能力要求较高，要求学生能在向量的模、夹角、平行与垂直、数量积中准确找出平面中相关对象的位置关系与数量关系.用代数手段研究平面向量问题，对学生的数学运算、数学抽象能力提出要求，要求学生能准确运算并合理检验，甚至要求学生能利用代数结果反思位置关系.试题凸显向量在解决代数、几何中的桥梁作用.总体来看，2021年平面向量部分高考试题基本上都以常见的问题解决为目标，不刻意设置障碍，没有深入的逻辑思维与繁杂的等价转化.二、命题思路分析2021年高考数学平面向量试题，以向量的代数或几何表示为载体，突出考查数学基础知识、基本技能和基本思想，检查学生对平面向量基本概念、性质、基本运算的掌握情况，突出通性、通法，以及概念理解和数学运算，让学生体会高中主干知识间的内在联系，并适当推陈出新.1.基本运算，大显功力例1（北京卷·13）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则；．例2（全国甲卷文13）若向量，满足，，，则．拓展题1．已知向量满足，且，则等于A． B． C． D．3

例3(全国新高考II卷)已知向量，，，则．拓展题1．已知平面向量，，，满足，．若，，则A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值拓展题2．已知向量满足，则向量的模的最大值为A． B． C． D．例3（上海卷·4）如图正方形的边长为3，求．拓展题1．正方形的边长为1，为的中点，．若，则A． B．1 C． D．2拓展题2．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为A．2 B． C．4 D．2.平行垂直，各有担当向量“数”“形”兼备，从“形”的角度立意，考查“数”的运算，是高考平面向量试题的常见考法，通过“数”的运算，降低了直观认识向量关系的难度，为用代数方法研究几何问题提供了良好工具.向量具有线性几何特征，更便于从平行、垂直、角度、距离等视角命制试题，2021年则重点围绕两个平面向量的平行与垂直命制试题，以填空题的形式为主例1（全国乙卷·文13）已知向量，，若，则．拓展题1．已知向量，不共线，若向量和共线，则实数．拓展题2．已知向量，，且，则．拓展题3．若，，三点共线，则的值为．例2（全国乙卷-理14）已知向量，，若，则．拓展题1．设向量，，若，则5．拓展题2．已知单位向量，的夹角为，与垂直，则．拓展题3．已知向量，，若，则实数．拓展题4．若向量，满足，，，则．3.融会贯通，推陈出新例1（全国新高考Ⅰ卷10)已已知为坐标原点，点，，，，，则A． B． C． D．拓展题1．已知为坐标原点，点，，，，，则A． B． C． D．拓展题2．已知△三个顶点的坐标分别为，，，且为坐标原点）．（1）求的大小；（2）试判断△的形状．拓展题3．已知：、是坐标平面上的点，是坐标原点．（Ⅰ）若点的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求（a）的值域．例2(浙江卷3)已知非零向量，，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件拓展题1．已知非零向量，，共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件拓展题2．已知非零向量，满足，则“”是“”的A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件例3（天津卷）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为；的最小值为．拓展题1．已知，，是平面向量，与是单位向量，且，，若，则的最小值为．拓展题2．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为．例4（浙江卷)已知平面向量，若，则在方向上投影的最小值为A． B． C． D．2拓展题1．已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是．拓展题2．已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为．拓展题3．已知平面向量，，满足：，，且，则向量在向量方向上的投影的取值范围为．拓展题4．已知平面向量，满足，，则在方向上的投影为．4.立足几何，首当其冲例1在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面拓展题1．正三棱柱，，点满足，A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值 C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值拓展题2．在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上运动，则下列说法正确的是A．的最小值为 B．存在点使得直线与直线所成的角为 C．三棱锥的体积为定值 D．当点为棱的中点时，四棱锥的外接球的表面积为拓展题3．在棱长为1的正方体中，点，分别满足，，其中，，，，则A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，点，到平面的距离相等 C．当时，存在使得平面 D．当时，例2已知，，是其左、右交焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．（1）若是上顶点，，求的值；（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条．拓展题1．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．三、复习建议1..正本清源，加深概念理解向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，“平面向量及其应用”一章是高中数学几何与代数主题的重要内容，与其他章节学习也有密切的联系.了解向量产生的背景，采用独立思考、自主学习、合作交流等学习方式，加强对向量概念数学本质的理解，对运用向量灵活解决数学问题有很重要的意义.平面向量及其应用的复习教学，应结合力、速度、位移等实际情境，从物理、几何、代数三个角度去理解向量的概念与运算法则，认识方向与大小在后续章节学习中的关联性.例如，向量加法与减法运算，既在空间向量中有体现，也在复数加法、减法运算中有所体现，其几何特征呈现出来的平行四边形、三角形特征与解三角形、三角不等式等知识存在广泛的联系.向量的基本概念很多，模、相等向量、共线向量、数量积、投影等都不是一个空泛的名词，其具有深刻的数学内涵.高中数学概念的学习至关重要，既要溯本求源，也要认识其本质，如果对概念内涵认识不足，就意味着数学问题解决中对已知条件的天然缺失，难免使数学思维受到桎梏.因此，切不可在复习过程中对向量相关概念、运算公式一笔带过，草草了事，为后续复习留下隐患.2.勤练内功，加强运算训练数学运算是学生在数学学习中的基本功，无论是平面向量还是空间向量，运算都从两个方面展开.一方面，是数与式的运算，展现向量的代数特征，和、差、数量积、平行或垂直、夹角或距离，都需要对整式、方程、不等式进行整合、化简；另一方面，是图形的运算，展现其几何特征，过程与结果、数与图形、直观与抽象，都需要理解并强化.通过运算的强化，要让学生熟练运用这两种运算，这也是学生在考场上速度快、结果准、心态稳的保证.良好的运算能力体现为既有运算前的谋篇布局，也有操作步骤的熟能生巧，还要保持对运算结果的良好数感.此外，也需要具有对复杂的数与式、图形的合理拆解、整合的技巧，这是需要经过长期专项训练方能达到的.3.纵横捭阖，增大知识融合向量具有“数”与“形”的特征，为其实用的工具性、广泛的交互性确定下不错的“江湖地位”.高考中，向量与函数、不等式、平面几何、立体几何、解析几何、