第6讲直线与直线的位置关系辅导讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第6讲空间中直线与直线的位置关系一、教学目标1．了解空间中两条直线的三种位置关系．2．理解并掌握平行公理及等角定理．3．了解异面直线所成的角的概念，会求简单异面直线的夹角．二、知识点梳理知识一、空间中两条直线的位置关系空间的两条直线有如下三种关系：共面直线共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。知识点二、平行公理（公理4）及等角定理1、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥ca∥b=>a∥cc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3、注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。知识点三、异面直线1、异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线；2、求两条异面直线所成角：先平移相交找到角，再解三角形求角.典型例题讲解考点一、空间中两条直线的位置关系【例1】异面直线是指（）Ａ．空间中两条不相交的直线Ｂ．分别位于两个不同平面内的两条直线Ｃ．平面内的一条直线与平面外的一条直线Ｄ．不同在任何一个平面内的两条直线【例2】已知∥（）Ａ．一定是异面直线Ｂ．一定是相交直线Ｃ．不可能是平行直线Ｄ．不可能是相交直线考点二、平行公理与等角定理【例3】在正方体中，与棱平行和不共面的棱的条数为（）A．4和8B．6和6C．6和4D．3和4【例4】给出三个命题：①若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行；②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.其中不正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【例5】设a，b为两条不共面直线，若直线c//a，则b与c为（）A．不共面直线B．相交直线C．平行直线D．相交或不共面【例6】在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD,则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．梯形C．菱形D．正方形【例7】在空间两个角ABC和中，若，，ABC＝30，则的大小为_______________.【例8】在三棱锥A－BCD中，若M、N、E、F分别是AB、AC、DB、DC的中点，则四边形MNEF为___________________.【例9】若S为ABC所在平面外一点，D、E分别为SAB和SBC的重心，则DE和AC的关系为____________________________.【例10】如图，在空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形.AAHGBCEFD考点三、异面直线【例11】已知直线a，b是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c的位置关系是（）A．平行或异面B．相交，平行或异面C．相交或异面D．异面【例12】三条直线a，b，c中，，b与c相交，则a与c的位置关系一定是（）A．共面B．异面C．相交D．相交或异面【例13】在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD之中点，则MN与AC＋BD的关系是（）A． B．C． D．【例14】分别与两条异面直线都相交的两条直线（）A．不可能是两条平行直线. B．不可能是两条相交直线.C．不可能是两条互相垂直的直线. D．不可能是两条异面直线.【例15】两条直线a，b和直线所成的角相等，那么直线a，b的关系是__________________.【例16】E、F分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，且EF＝5，BD＝8，AC＝6，则AC与BD所成的角为__________________.【例17】如图1是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；ABCDFMABCDFMNE④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是______________.图1【例18】如图2，在正方体中，E、F分别是与CD的中点,求直线AE与所成角的大小.BBACDA1B1C1D1FE图2【例19】如图3，在正方体中，E、F分别是与上的点，且F异于C.试证明直线EF与是异面直线.AADBCD1A1B1C1FE图3课后作业1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()．A．异面B．相交C．不相交D．不平行2．若a、b异面，，则（）A.一定为异面直线B.一定是相交直线C.不可能为平行直线D.不可能为相交直线3．下列命题不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；②若为两个不同平面，，，则异面;③若，则;④若，则;⑤若a、b异面，b、c异面，则a、c必异面．4．下列命题正确的是________．=1\*GB3①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线;=2\*GB3②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线;③平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；④过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；5．如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．7．空间四边形中，，分别是的中点，，则异面直线所成的角大小为8．如图，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，P是面A1C1上的一点，过点P如何画一条直线和棱AB平行？过点P如何画一条直线和BD平行？9．已知是正方体的棱的中点，求证：10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AD,AA1,A1B1,CD的中点，求证四边形EFGH为梯形11．空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，求证四边形EFGH为平行四边形，若时EFGH是什么四边形.12．