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nn分)、a...,a是n不同的数证f())(x)()2,2,在有理数域上可的必要条件f(x可表示为一个整数多的平方。一、证明：充分性：若
f
能表示成一个整数多项式的平方，显然
f
在有理数域上可约必要性：由于
f
在有理数域上可约，在存在整数系数多项式
有f
，
，由于
，f
i
，g
i
i
，则ii令
F
，则
或
F
，由于有
个不同的数为F
的根，从而
F
为零多项式，即
f二：解；
能表示成一个整数多项式的平方
En
由于
nn
n
n
，从而nn三：证明：
由于存在
阶可逆矩阵
和
阶可逆矩阵
，有012
，即
0
0
0
，令
0
0
，然Q可，则
令
BQ
m
，显然可知
E四：证明：
P
，不妨设
x
aii
，又
xxAxAx
，则iAi
i
，从而
2
，又i
nnna1nninnna1nniA
，从而可知
x1即
x1
，即
PV1
，任取
x1
2
，所以
0
，且存在
k,1
,，x，Anii
，从而可知ixiiii
，从而
，即
1
2iiPnV1五：证明：由于B正，存在可逆矩阵有
T
，又由于对，从而nCAC
也对称，即存在正交矩阵
F
，使
FTCdiag
,1
n
，即,ACFE
n
，若取
S
，则有ASDS
T六：证明：
若A
的一个特征值
0
，有
，则此时0n
为严格对角占优矩阵，即
A可，这与A0
的特征值矛盾，从而，1
，则iAxi
0
从而为0
的一个特征值七：证明：由于
正定，从而，存在可逆矩阵
C
有，
，
C
C
C
C
C
C由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数
k,k
，使kC1
，即
k，12
线性相关
八：证明：
设
A
的特征多项式为
f
，
B
的特征多项式为
g
A,B
无公共特征值，从而
f
，所以
f
可逆，由于
XB
，故对于
，均有A
n
XXB
n
，就有
f
，即只零；
,
，由A所以是一个线性变换，由
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