无穷积分的性质与收敛判别

关于无穷积分的性质与收敛判别第1页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五一、无穷积分的性质第2页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五第3页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五证极限的柯西准则,此等价于收敛的充要条件是:(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1第4页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.第5页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五性质2第6页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若第7页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五再由柯西准则的充分性,第8页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.何有限区间[a,u]上可积,性质3

(绝对收敛的无穷积分必收敛)若

f在任第9页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因第10页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例2的收敛性.判别解由于第11页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理(非负函数无穷积分的判别法)设定义在

上的非负函数f

在任何收敛的充要条件是:第12页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五证设增函数的收敛判别准则,

从而F(u)是单调递增的由单调递第13页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五非负函数

f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.2(比较判别法)

设定义在上的两个存在满足第14页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五证

由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.第15页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五例3判别的收敛性.解显然第16页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例4证由于第17页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且第18页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五证

即第19页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五第20页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五推论2设f是定义在上的非负函数,在任何限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:

推论3是推论2的极限形式.第21页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五例5

讨论的收敛性(k>0).解(i)第22页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五Ex1解所给广义积分收敛．Ex2解根据柯西极限审敛法

，所给广义积分发散．第23页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五Ex3解根据柯西极限审敛法

，所给广义积分发散．第24页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五第25页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五证Ex6:

用比较审敛法证明：即收敛.第26页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五Ex7解所以所给广义积分收敛.第27页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五三、一般函数无穷积分的判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.定理11.3(狄利克雷判别法）证故第28页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五使得因此,由柯西准则，第29页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五证[证法1]定理11.4(阿贝尔判别法)由

g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的使得第30页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五由柯西准则,第31页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五[证法2]由狄利克雷判别法收敛,所以第32页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五例6的收敛性.收敛.解由狄利克雷判别法推知另一方面，第33页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五狄利克雷判别法条件,是收敛的；第34页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五类似可证:第35页，共38页，2022年，5月20日，0点19分，星期五当x→+∞时,被积

函数即使不趋于0,

甚至无界,无