2023年数学二真题+答案解析

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二PAGEPAGE132023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，假设，均是比高阶的无穷小，那么的取值范围是()(A)(B)(C)(D)(2)以下曲线中有渐近线的是()(A)(B)(C)(D)(3)设函数具有2阶导数，，那么在区间上〔〕(A)当时， (B)当时，(C)当时， (D)当时，(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是〔〕(A) (B) (C) (D)(5)设函数，假设，那么〔〕(A) (B) (C) (D)(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，那么〔〕(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7)行列式〔〕(A)(B)(C)(D)(8)设均为3维向量，那么对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的〔〕(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.((9)__________.(10)设是周期为的可导奇函数，且，那么__________.(11)设是由方程确定的函数，那么__________.(12)曲线的极坐标方程是，那么在点处的切线的直角坐标方程是__________.(13)一根长为1的细棒位于轴的区间上,假设其线密度,那么该细棒的质心坐标__________.(14)设二次型的负惯性指数为1，那么的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)求极限(16)(此题总分值10分)函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(此题总分值10分)设平面区域计算.(18)(此题总分值10分)设函数具有二阶连续导数，满足，假设，求的表达式.(19)(此题总分值10分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).(20)(此题总分值11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(此题总分值11分)函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(此题总分值11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个根底解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(此题总分值11分)证明阶矩阵与相似.2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，假设，均是比高阶的无穷小，那么的取值范围是()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由定义所以，故.当时，是比的高阶无穷小，所以，即.应选B(2)以下曲线中有渐近线的是()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】关于C选项：.，所以存在斜渐近线.应选C(3)设函数具有2阶导数，，那么在区间上〔〕(A)当时， (B)当时，(C)当时， (D)当时，【答案】D【解析】令，那么,,.假设，那么，在上为凸的.又，所以当时，，从而.应选D.(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】应选C(5)设函数，假设，那么〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因为，所以应选D.(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，那么〔〕(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得【答案】A【解析】记那么,所以在内无极值，那么极值在边界处取得.应选A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列.(8)设均为三维向量，那么对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的()(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】.记，，.假设线性无关，那么，故线性无关.举反例.令，那么线性无关，但此时却线性相关.综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件.应选A二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10)设是周期为的可导奇函数，且，那么__________.【答案】1【解析】且为偶函数那么又且为奇函数，故又的周期为4，(11)设是由方程确定的函数，那么__________.【答案】【解析】对方程两边同时对求偏导当时,故故(12)曲线的极坐标方程是，那么在点处的切线的直角坐标方程是__________.【答案】【解析】由直角坐标和极坐标的关系，于是对应于切线斜率所以切线方程为即(13)一根长为1的细棒位于轴的区间上,假设其线密度,那么该细棒的质心坐标__________.【答案】【解析】质心横坐标(13)设二次型的负惯性指数是1，那么的取值范围_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)求极限【解析】.(16)(此题总分值10分)函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【解析】由，得………=1\*GB3①此时上面方程为变量可别离方程，解的通解为由得又由=1\*GB3①可得当时，，且有：所以在处取得极小值，在处取得极大值即：的极大值为1，极小值为0.(17)(此题总分值10分)设平面区域计算.【解析】D关于对称，满足轮换对称性，那么：(18)(此题总分值10分)设函数具有二阶连续导数，满足，假设，求的表达式.【解析】由，由，代入得，即，令得特征方程得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解那么原方程通解为由，得,那么.(19)(此题总分值10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：〔I〕,〔II〕.【解析】〔I〕由积分中值定理，〔II〕直接由，得到〔II〕令由〔I〕知又由于单增，所以单调不减，取，得，即〔II〕成立.(20)(此题总分值11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.【解析】(21)(此题总分值11分)函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为,所以其中为待定函数.又因为那么，从而.令可得，当时，或，从而所求的体积为(22)(此题总分值11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个根底解系；(II