高中数学《数列的概念》课件

1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的有关概念.2.了解数列的表示方法(列表、图象、通项公式).3.了解数列是一种特殊的函数.4.1数列的概念1.数列的概念和简单表示

1|数列及其相关概念和简单表示南方绕弯2.数列与集合的区别

数列集合示例区别数列中的项是有序的,

两组相同的数字,按照

不同的顺序排列得到

的是不同的数列集合中的元素是无序

的如数列1,3,4与1,4,3是

不同的数列,而集合{1,

3,4}与{1,4,3}是相同的

集合数列中的项可以重复

出现集合中的元素满足互

异性,即集合中的元素

不能重复出现如数列1,1,1,…,每项都

是1,而集合不可以3.数列与函数的区别和联系

数列函数区别数列的定义域是正整数集函数的定义域可能是其他数集数列的图象是孤立的点函数的图象可能是光滑的曲线联系当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1),f(2),…,f(n),…就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列{f(n)}南方绕弯1.按项数分类2.按项的变化趋势分类类别含义有穷数列项数⑥有限的数列无穷数列项数⑦无限的数列类别含义递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列2|数列的分类如果数列{an}的第n项an与它的序号⑧

n

之间的对应关系可以用一个式子

来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.3|数列的通项公式南方绕弯1.递推关系(1)初始条件:已知数列的第1项(或前几项);(2)递推公式:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表

示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.2.由递推关系确定数列(1)递推公式也是表示数列的一种重要方法,它和通项公式一样,都是关于序号n的

恒等式.(2)利用首项和递推公式,可以通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何

一项和所需的项.4|数列的递推关系1.数列的前n项和我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,

即Sn=a1+a2+…+an.2.数列中an与Sn的关系对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有an=

5|数列的前n项和公式南方绕弯1.每一个数列都有通项公式.

(

✕)提示:不是所有的数列都有通项公式.2.若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.

(√)提示:由数列{an}的前n项和的定义知S1=a1.3.数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.

(

✕)提示:数列的项数为2n,不是无穷数列.4.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(

✕)提示:数列1,-1,1,-1既不是递增数列,也不是递减数列.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。5.数列{an}中,若

=2an,n∈N*,则数列{an}的所有项都能确定.

(

✕)提示:数列{an}中的首项不确定,则其他项也不能确定.6.数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n+1,n∈N*.

(

✕)提示:数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n-1,n∈N*.南方绕弯1|如何写出数列的一个通项公式要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中各项的构成规

律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化

部分随序号变化的规律,进而将an表示为n的函数关系.1.由数列的前几项写出它的一个通项公式的方法:首先从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特征;(2)各项能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:(1)熟记一些特殊数列的通项公式,熟悉它们的变化规律,并灵活运用;(2)将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如分式形式的数列,可分别求分子、分母的通项公式;(3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或

(-1)n+1来实现;(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,可以考虑用分段的形式给出,也可以

将给出的各项统一化成某种形式.2.记住下列简单数列的通项公式:(1)1,2,3,4,…的一个通项公式为an=n,n∈N*;(2)-1,1,-1,1,…的一个通项公式为an=(-1)n,n∈N*;(3)1,3,5,7,…的一个通项公式为an=2n-1,n∈N*;(4)1,4,9,16,…的一个通项公式为an=n2,n∈N*;(5)1,2,4,8,…的一个通项公式为an=

,n∈N*;(6)9,99,999,9999,…的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*.南方绕弯写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,-

,

,-

;(2)

,2,

,8;(3)7,77,777,7777;(4)-

,

,-

,

.思路点拨分析前4项的组成结构,分别写出各部分的通项公式,进而得到数列的通项公式.解析(1)这个数列的前4项的绝对值的分母就是序号,并且奇数项为正,偶数项为

负,所以它的一个通项公式为an=

,n∈N*.(2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:

,

,

,

,…,分母均为2,分子为序号的平方,所以它的一个通项公式为an=

,n∈N*.(3)这个数列的前4项可以化为

×9,

×99,

×999,

×9999,即

×(10-1),

×(102-1),

×(103-1),

×(104-1),所以它的一个通项公式为an=

×(10n-1),n∈N*.(4)将这个数列的前4项的分母因数分解得,-

,

,-

,

,其分母都是序号数乘比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=

,n∈N*.南方绕弯2|数列的单调性及其应用1.数列单调性的判断方法和应用(1)数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an和an+1的大小来判断

的,常用方法是定义法、图象法和函数法.(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围.解决此类问题常利用以下的等价关

系:数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*);数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*).2.求数列{an}的最大(小)项的常用方法(1)当

(n≥2,n∈N*)时,an是数列中的最大项;当

(n≥2,n∈N*)时,an是数列中的最小项.(2)利用函数的单调性求最大(小)项.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是(B)A.107

B.108

C.

D.109思路点拨将an=-2n2+29n+3看作关于n的二次函数

根据二次函数的性质求an的最大值.解析由已知得,an=-2n2+29n+3=-2

+

,由于n∈N*,所以当n取距离

最近的正整数7时,an取得最大值,最大值为a7=108.易错警示

利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意定义域为正整数集或其有限子集这

一约束条件,题中二次函数的最大值在图象的对称轴处取得,而数列的最大值在n

取距离图象的对称轴最近的正整数时取得.南方绕弯已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)×

(n∈N*),试问数列{an}是否有最大项?若有,求出最大项;若没有,请说明理由.思路点拨判断数列的单调性,寻求数列的最大项或假设an是数列的最大项,解不等式.解析

解法一:作差比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.由题意得,an+1-an=(n+3)×

-(n+2)×

=

×

,n∈N*.当1≤n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>5时,an+1-an<0,即an+1<an,故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…,所以数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6=

.解法二:作商比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.由题意得,

=

=

,n∈N*.令

>1,解得n<5;南方绕弯令

=1,解得n=5;令

<1,解得n>5.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…,所以数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6=

.解法三:假设{an}中有最大项,且最大项为第n项,则

即

解得

即5≤n≤6.故数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6=

.3|数列的递推关系及其应用1.递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.递推公式只有知道首项(或前

几项),才能依次求出其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.2.数列的通项公式与递推公式的区别(1)通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与

项之间的关系;(2)求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推

公式,则必须通过逐项计算求出该项;(3)递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便,

而通项公式可以“把握”整个数列.南方绕弯3.由递推公式求通项公式的方法(1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈

N*)求出通项公式,这种方法叫累加法;(2)形如

=f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1·

·

·…·

=an(n≥2,n∈N*)求出通项公式,这种方法叫累乘法.数列{an}中,a1=1,a2=

,且

+

=

(n∈N*,n≥2),则a6=

(B)A.

B.

C.

D.7思路点拨由

+

=

,得

=

-

,将n=2代入求出a3,依次类推求出a6的值.解析由

+

=

得,

=

-

(n∈N*,n≥2),则

=

-

=

-1=2,∴a3=

,依次类推,可得a4=

,a5=

,a6=

.南方绕弯已知数列{an}满足a1=-1,

=an+

-

,n∈N*,求数列{an}的通项公式.思路点拨由

-an=f(n)知,用累加法求数列的通项公式.解析∵

-an=

-

,∴a2-a1=

-

,a3-a2=

-

,a4-a3=

-

,……an-an-1=

-

(n≥2,n∈N*),将以上(n-1)个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-

)=

+

+…+

,即an-a1=1-

(n≥2,n∈N*).∴an=a1+1-

=-1+1-

=-

(n≥2,n∈N*),经检验,当n=1时,a1=-1也符合上式,∴an=-

,n∈N*.南方绕弯4|数列的前n项和的求法及其应用1.数列{an}的前n项和就是将数列{an}的前n项a1,a2,…,an加起来得到的和,求数列

{an}的前n项和要根据数列的不同特点,按不同的方法求解.2.“裂项相消法”求和“裂项相消法”求和的关键就是将数列的每一项拆成两项(或多项)差的形式,使

数列中的项出现有规律的抵消,从而达到求和的目的.利用“裂项相消法”求和

时要注意抵消后的剩余项有多少,剩余项之间是相加还是相减.常见的裂项方法有:(1)

=

;(2)

=

(

-

);(3)

=

;(4)

=

;(5)loga

=loga(n+1)-logan.3.已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an的步骤:(1)由a1=S1求出数列的首项;(2)由an=Sn-

(n≥2)求出当n≥2时an的通项公式;(3)若an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n

≥2)也适合n=1的情况,数列的通项公式可用an=Sn-Sn-1(n∈N*)表示;若an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n

≥2)不适合n=1的情况,此时数列的通项公式采用分段形式表示,即