高中数学《等比数列的前n项和公式》课件

1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及其证明思路.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,会用等比数列的前n项和公式

解决与等比数列有关的问题.3.理解等比数列前n项和公式的函数特征,应用等比数列前n项和公式的有关性质

解题.4.3.2等比数列的前n项和公式南方绕弯已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式Sn=

Sn=

1|等比数列的前n项和公式1.当公比q≠1时,设A=

,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型函数.2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.2|等比数列前n项和公式的函数特征南方绕弯已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其

前n项和公式可推得Sn有如下性质:1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.2.当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则

=q;若项数为2n+1,则

=q.4.当q=1时,

=

;当q≠±1时,

=

.3|等比数列前n项和的性质南方绕弯1.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3·2n-3,则该数列是等比数列.

(√)提示:等比数列前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn(q≠1)的形式,所以该数列是等比数

列.2.已知数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=

.

(

✕)提示:当a=1时,Sn=n,结论不成立.3.已知等比数列{an}的公比为

,则该数列的前100项中,偶数项的和与奇数项的和之比为25.

(

✕)提示:当等比数列的项数为2n时,

=q,所以

=

.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。4.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍构成等比数列.

(

✕)提示:当公比为-1时不成立.5.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.

(

✕)提示:当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,从而{Sn}是递减数列,结

论错误.南方绕弯1|等比数列前n项和公式及其应用1.等比数列的前n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此,当公比未知时,要

先对公比进行分类讨论,再求和.(1)若数列{an}的通项公式为an=an,则{an}的前n项和为Sn=

(2)若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn=

求Sn较简便;若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn=

求Sn较简便.2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个基本量,已知其中三个量就可利用通项

公式和前n项和公式求出另外两个量.南方绕弯设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.思路点拨思路一:设Sn=Aqn-A

由S4=1,S8=17,求出A,q

求出Sn.思路二:将S4=1,S8=17代入Sn=

中,求出a1,q

求出Sn.南方绕弯解析解法一:由S4=1,S8=17,知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0,q≠±1),∴

两式相除,化简得q4=16,∴q=±2.当q=2时,A=

,Sn=

(2n-1);当q=-2时,A=

,Sn=

[(-2)n-1].解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,由S4=1,S8=17,知q≠±1,∴

南方绕弯两式相除并化简,得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.当q=2时,a1=

,Sn=

=

(2n-1);当q=-2时,a1=-

,Sn=

=

[(-2)n-1].在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.解析

由题意得,若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,得S3=

=

=6,化简并整理,得(q+2)(q-1)2=0,解得q=-2.此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.解题模板1.an=a1qn-1,Sn=

(q≠1)两公式共有5个量.解题时,已知3个量可求出另外2个未知量.2.当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个

公式.所以解题时要判断q的值能不能等于1,若q不能等于1,直接应用公式;若q可

以等于1,则要进行分类讨论.南方绕弯2|等比数列前n项和的性质及其应用根据等比数列的定义和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性质,在

等比数列前n项和的有关问题中,把握好等比数列前n项和性质的使用条件,恰当

运用性质能帮助我们简化运算,快速解题.南方绕弯已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于

(

B)A.80B.30C.26D.16思路点拨思路一:由Sn,S3n的值,求出a1,q

求出S4n.思路二:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q

求出S4n.思路三:由Sn=

,推出Sn,S3n与S4n的关系

求出S4n.思路四:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列

求出S4n.南方绕弯解析解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.由已知得,Sn=

=2①,S3n=

=14②,

,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,由于数列{an}各项均为正数,∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q=

.∴a1=

=2(

-1),∴S4n=

=

=2×15=30.解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值,∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1,由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3=

=14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.∵an>0,∴q=2,∴S4=

=2×15=30.解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由解法一知,q≠1,则S4n=

=

=

+qn·

=Sn+qnS3n.这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,要求S4n,只需求出qn即可.由于S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+

q2n),∴

=1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.解法四:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列,且Sn=2,S3n=14,得(S2n-2)2=2×(14-S2n),

即

-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵

=

=2,∴S4n-S3n=Sn·23=16,∴S4n=S3n+16=30.解题模板通过对比四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解法二采

用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n项和的

性质,简化运算,且思路清晰.3|与等比数列有关的数列求和1.数列求和要先求数列的通项公式,通过观察通项公式的特点,选择合适的求和方

法.注意各求和方法的使用条件及注意事项.一般地,若{an},{bn}中一个是等差数

列,一个是等比数列,则常用错位相减法求数列{anbn}的前n项和,常用分组求和法

求数列{an±bn}的前n项和.2.错位相减法已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,由这两个数列中项数相同的项的

乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}的各项乘{bn}

的公比q,并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的

求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分

类讨论.南方绕弯求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等

比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1·

;当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,∵q≠1,∴Sn=

+db1·

.南方绕弯设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.解析

(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).∴{an}的通项公式为an=2·2n-1=2n.(2)Sn=

+

=2n+1+n2-2.已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N*,且n≥2),a4=81.(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;(2)若数列

为等差数列,求实数p的值;(3)求数列{an}的前n项和Sn.思路点拨(1)由an=2an-1+2n-1及a4=81,递推出a3,a2,a1的值.(2)利用等差数列