信号与系统：第 4 章 连续系统的复频域分析

第4章连续系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换4.2单边拉普拉斯变换的性质4.3单边拉普拉斯逆变换4.4连续系统的复频域分析4.5系统微分方程的复频域解4.6RLC系统的复频域分析4.7连续系统的表示和模拟4.8系统函数与系统特性1频域分析法的优点：(1)将时域中的微分方程转换成频域中的代数方程，从而简化了系统响应的求解过程。(2)信号的频谱具有明确的物理意义，在许多只需定性分析的问题中用频谱的概念来说明是很方便的。2(1)傅里叶变换的运用一般要受绝对可积条件的约束，而许多信号往往是不符合绝对可积条件的(2)频域分析法只能求解系统的零状态响应。频域分析法的缺点：3(1)对系统的微分方程进行变换时，可以自动引入初始条件，求系统的全响应。(2)对信号的适应性比傅里叶变换强。拉普拉斯变换法的优点：4拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名的拉普拉斯定理。拉普拉斯的著名杰作《天体力学》，集各家之大成，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著作。《宇宙系统论》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。54.1拉普拉斯变换

4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号

的傅里叶变换不存在。若将信号

乘以信号

，得到信号

，它满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。问题的引出6设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使f(t)e-σt绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。则有根据傅里叶逆变换的定义，则4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换7上式两边乘以eσt，得4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换复频率双边拉普拉斯变换，象函数Double-sidedLaplaceTransform拉普拉斯反变换，原函数84.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域ROCtheRegionofConvergence

任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-σt的傅里叶变换，因此，若f(t)e-σt绝对可积，即9例4.1-1

求时限信号f1(t)=ε(t)-ε(t-τ)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，τ＞0。10例4.1-2

求因果信号f2(t)=e-αtε(t)(α＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。解设f2(t)的双边拉氏变换为F2(s),则11

例4.1-3

求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。12上述两例收敛域图示图4.1-1双边拉氏变换的收敛域(a)F2(s)的收敛域；(b)F3(s)的收敛域13双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0,则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。小结144.1.3单边拉普拉斯变换Single-sidedLaplaceTransform

信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为把t=0时刻出现的冲激包含进去本章节只讨论单边拉普拉斯变换。15拉普拉斯变换的物理意义从物理意义上来说，拉普拉斯变换是把函数分解成无穷多个形式为est的指数分量之和。复频率s=+j可以方便地表示在一个复平面(s平面)，如下图：1617与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边区域，可表示为：单边拉普拉斯变换的收敛域184.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换192021224.2单边拉普拉斯变换的性质

1.线性232.时移性2425263.复频移27例4.2-3

f1(t)=cos(ω0t)ε(t),f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。28例4.2-4294.尺度变换若则式中，为常数，证30例4.2-5

已知求f1(t)的象函数。解因为315.时域卷积32

例4.2-6

已知图4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号fτ(t)的关系为f(t)=fτ(t)*fτ(t)，求f(t)的单边拉氏变换。图4.2-1例4.2-6图(a)f(t)的波形；(b)fτ(t)的波形33346.时域微分式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数，f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。35例4.2-7

求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。解(1)求f1(t)的单边拉氏变换。由于故根据线性得若应用时域微分性质求解，则有36

(2)求f2(t)的单边拉氏变换。由于因此得377.时域积分若f(t)←→F(s)，Re［s］＞σ0,则有：若f(-n)(t)表示从-∞到t对f(t)的n重积分，则有(4.2-12)(4.2-13)38例4.2-9

求图4.2-3(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。解

方法一由于根据单边拉氏变换的定义，得39图4.2-3例4.2-9图40方法二

f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为f(1)(t)的单边拉氏变换为Re［s］＞-∞Re［s］＞04110.初值和终值定理(1)初值定理若信号f(t)不包含冲激函数δ(t)及其各阶导数，并且Re［s］＞σ0

则信号f(t)的初值为42(2)终值定理若f(t)在t→∞时极限f(∞)存在，并且f(t)←→F(s)Re［s］＞σ0;-∞＜σ0＜0则f(t)的终值为43例4.2-12解由于cos

t·ε(t)←→，根据复频移性质，则有由初值定理得由终值定理得44表4.1单边拉普拉斯变换的性质45表4.2常用信号的单边拉普拉斯变换464.3单边拉普拉斯逆变换4.3.1查表法例4.3-1

已知 ，求F(s)的原函数f(t)。解F(s)可以表示为47由附录F查得编号为15的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号15的变换对为与本例中F(s)的表示式对比，则b1=1,b0=1，α=2，代入变换对得484.3.2部分分式展开法若F(s)为s的有理分式，则可表示为式中，ai(i=0,1,2,…,n-1)、bi(i=0,1,2,…,m)均为实数。若m≥n,则为假分式。若m＜n，则为真分式。49式中，ci(i=0,1,2,…,n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。

为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。

①若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和，即50则例如，51

②若为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1,2,…,n)。si可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。si又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体形式取决于si的上述性质。52

1.F(s)仅有单极点

若A(s)=0仅有n个单根si

(i=1,2,…,n)，则根据附录A中式(A-2)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为式中，各部分分式项的系数Ki为53故F(s)的单边拉普拉斯逆变换可表示为由于54例4.3-2

已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。解

F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2,s2=-3。因此，F(s)的部分分式展开式为55所以于是得56

2.F(s)有重极点若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1,…，n)，这些根的值是实数或复数，则由附录A中式(A-8)和(A-11)可得

式中：57先求F1(s)的逆变换，因为由复频移性质，可得F(s)的单边拉普拉斯逆变换为58例4.3-3

已知求F(s)的单边拉氏逆变换。解F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为59于是得603.F(s)有复极点如果A(s)=0的复根为s1,2=-α±jβ，则F(s)可展开为式中，K2=K*1。令K1=|K1|ejφ,则有61由复频移和线性性质得F(s)的原函数为对于F(s)的一对共轭复极点s1=-α+jβ和s2=-α-jβ，只需要计算出系数K1=|K1|ejφ(与s1对应)，然后把|K1|、φ、α、β代入式(4.3-8)，就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。62如果F(s)有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-α±jβ为例，其F(s)可展开为63式中：根据复频移和线性性质，求得F(s)的原函数为64例4.3-4已知求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。解

F(s)可以表示为F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2±j2,可展开为65于是得于是得66例4.3-5

已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。解

F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示为式中，F1（s）由线性和常用变换对得到由时移性质得利用性质计算逆变换67例4.3-6已知单边拉氏变换求F(s)的原函数f(t)。解

F(s)为有理分式，可用部分分式法求f(t)。但F(s)又可表示为因为，根据复频域微分性质，则F(s)的原函数为68例4.3-7

已知

求F(s)的单边拉氏逆变换。解

F(s)不是有理分式，不能展开为部分分式。F(s)可以表示为对于从t=0-起始的周期性冲激序列其单边拉氏变换为69由于因此，根据时域卷积性质得于是得70例4.3-7中f(t)与F(s)的对应关系可以推广应用到一般从t=0-起始的周期信号。设f(t)为从t=0-起始的周期信号，周期为T，f1(t)为f(t)的第一周期内的信号。f(t)和f1(t)如图4.3-1(a)、(b)所示。f(t)可以表示为令f1(t)←→F1(s),f(t)←→F(s),则有Re［s］＞071图4.3-1因果周期信号72例：求下列各象函数F(s)的拉氏逆变换f(t)734.4连续系统的复频域分析

H（s）是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性连续系统的系统函数。系统函数74零状态响应由于yf(t)=h(t)*f(t)，根据时域卷积性质，则yf(t)的单边拉普拉斯变换为系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1)求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s);(2)求系统函数H(s);(3)求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s);(4)求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)；75例4.4-1

已知线性连续系统的输入为f1(t)=e-tε(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若输入为f2(t)=tε(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。76f2(t)的单边拉氏变换为yf2(t)的单边拉氏变换为于是得774.5系统微分方程的复频域解设二阶连续系统的微分方程为式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f′(0-)均为零。78分别令完全响应y(t)零输入响应yx(t)零状态响应yf(t)系统的特征多项式79由于Yf(s)=H(s)F(s),则二阶系统的系统函数为设n阶连续系统的微分方程为：n阶系统的微分方程为80例4.5-1

已知线性系统的微分方程为求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。81f(t)的单边拉氏变换为解：

方法1

根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得8283求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得84方法2

分别根据yx(t)和yf(t)满足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)满足的微分方程为由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=y′f(0-)=0。yf(t)满足的微分方程为yx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx’(0-)=y’(0-)。85例：解：86因为t<0时yx(t)不一定为零874.6RLC系统的复频域分析（略）884.7.1连续系统的方框图表示图4.7-1系统的方框图表示4.7连续系统的表示和模拟一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示，如图所示。方框图左边的有向线段表示系统的输入f(t)，右边的有向线段表示系统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主体。89几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元(子系统)连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器(放大器)、积分器等。901.连续系统的串联图4.7-2连续系统的串联(a)时域形式；(b)复频域形式91设复合系统的冲激响应为h(t)，根据线性连续系统时域分析的结论，h(t)与hi(t)的关系为若h(t)和hi(t)为因果函数，h(t)的单边拉普拉斯变换即系统函数为H(s)，根据单边拉普拉斯变换的时域卷积性质，H(s)与Hi(s)的关系为922.连续系统的并联图4.7-3连续系统的并联(a)时域形式；(b)复频域形式93复合系统的冲激响应h(t)与子系统冲激响应hi(t)之间的关系为h(t)的单边拉普拉斯变换，即系统函数H(s)与hi(t)的单边拉普拉斯变换Hi(s)之间的关系为94例4.7-1

某线性连续系统如图4.7-4所示。其中，h1(t)=δ(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=δ(t-3)。

(1)试求系统的冲激响应h(t);(2)若f(t)=ε(t)，试求系统的零状态响应yf(t)。图4.7-4例4.7-1图95解

(1)求系统冲激响应h(t):图示复合系统是由子系统h1(t)与子系统h2(t)串联后再与子系统h3(t)并联组成的。设由子系统h1(t)和h2(t)串联组成的子系统的冲激响应为h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得96复合系统的冲激响应和系统函数分别为97

(2)求f(t)=ε(t)时系统的零状态响应yf(t):设系统零状态响应yf(t)的单边拉氏变换为Yf(s)，则求Yf(s)的单边拉氏逆变换得983.用基本运算器表示系统图4.7-5基本运算器的时域和S域模型(a)数乘器；(b)加法器；(c)积分器99例4.7-2

某线性连续系统如图4.7-6所示。求系统函数H(s),写出描述系统输入输出关系的微分方程。图4.7-6例4.7-2图100解Y(s)为右边加法器的输出，该加法器有两个输入，如图所示。因此有于是得(4.7-6)(4.7-5)101把式(4.7-5)代入式(4.7-6)，得系统函数为对上式应用时域微分性质，得到系统微分方程为102设：中间变量为X2-2-13例1：补充例题103解：系统函数为例2：已知如图所示系统。s

-1F

(s)s

-1-Y

(s)(1)求系统函数H(s)。(2)冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。解：补充例题104补充例题1051061071084.7.2连续系统的信号流图表示图4.7-7信号流图的规则109图4.7-7信号流图的规则110信号流图是由节点与支路构成的表征系统中信号流动方向与系统功能的图。其中节点代表信号（即系统变量），支路代表信号流动方向与支路的H(s)。信号流图基本上包含了框图所包含的信息。它是系统的另一种描述方法。用这种方法表示系统比用框图表示系统更加简明、清晰。信号流图的定义111关于信号流图，还有如下常用术语：(1)节点：信号流图中表示信号的点称节点。节点的变量值等于所有进入该节点的信号代数和，从节点流出的信号值都等于这个变量值；(2)支路：连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。(3)源点与汇点：仅有输出支路的节点称为源点；仅有输入支路的节点称为汇点。112(4)通路：从一节点出发沿支路传输方向，连续经过支路和节点到达另一节点之间的路径称为通路。

(5)开路：一条通路与它经过的任一节点只相遇一次，该通路称开路。

(6)环(回路)：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，则该通路称为环或回路。113信号流图的性质：1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积；2.当节点有几个输入时，节点将所有支路的信号相加，并将其和传送给与该节点相连的输出节点；1143.具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输增益的支路，可以把它变成输出节点；4.给定系统，信号流图并不唯一；1151.连续系统的信号流图表示图4.7-8信号流图与方框图的对应关系116常常需要将模拟框图转换为信号流程图。。。。117例4.7-3

某线性连续系统的方框图表示如图4.7-9(a)所示。画出系统的信号流图。

图4.7-9例4.7-3图(a)方框图；(b)信号流图118解系统的方框图中，H1(s)、H2(s)、H3(s)分别是三个子系统的系统函数。设加法器的输出为X1(s),子系统H1(s)的输出为X2(s)，则有119

例4.7-4

某线性连续系统的方框图表示如图4.7-10(a)所示。画出系统的信号流图。

图4.7-10例4.7-4图(a)方框图；(b)信号流图120

解设左边加法器的输出为X1(s)，左边第一和第二个积分器的输出分别为X2(s)和X3(s)，则有1214.8系统函数与系统特性4.8.1H(s)的零点和极点

线性时不变连续系统的系统函数H(s)通常是复变量s的有理分式，可以表示为122其中：si

称为系统函数的零点；

pj

称为系统函数的极点。零极点图零点极点123零极点图-1-3-2(2)11244.8.2H(s)的零、极点与时域响应

1.左半平面极点若H(s)在左半平面负实轴上有一阶极点p=-α(α＞0)，则H(s)的分母A(s)就有因子(s+α)，h(t)中就有对应的函数Ae-αtε(t)；若p=-α为r重极点，则A(s)中就有因子(s+α)r，h(t)中就有对应的函数Aitie-αtε(t)(i=1,2,…,r-1)。A、Ai为实常数。125图4.8-1H(s)的极点分布与时域函数的对应关系

126若H(s)在左半平面负实轴以外有一阶共轭复极点p1,2=-α±jβ，则A(s)中就有因子［(s+α)2+β2］，h(t)中就有对应的函数Ae-αtcos(βt+θ)ε(t)；若p1,2=-α±jβ为r重极点，则A(s)中有因子［(s+α)2+β2］r，h(t)中就有对应的函数Aitie-αtcos(βt+θi)ε(t)

(i=1,2,…,r-1)。A，Ai,θi为实常数。127图4.8-1H(s)的极点分布与时域函数的对应关系1282.虚轴上极点

若H(s)在坐标原点有一阶极点p=0，则A(s)中有因子s，h(t)中就有对应函数Aε(t),

A为常数；若p=0为r重极点，则A(s)中有因子sr，h(t)中就有对应函数Aitiε(t)(i=1,2,…,r-1)，Ai为实常数。129图4.8-1H(s)的极点分布与时域函数的对应关系130若H(s)在虚轴上有一阶共轭虚极点p1,2=±jβ，则A(s)中有因子(s2+β2)，h(t)中就有对应函数Acos(βt+θ)ε(t)，A、θ为实常数；若p1,2=±jβ为r重极点，则A(s)中有因子(s2+β2)r，h(t)中就有对应函数Aiti

cos(βt+θi)ε(t)(i=1,2,…,r-1)，Ai、θi为实常数。131图4.8-1H(s)的极点分布与时域函数的对应关系1323.右半平面极点若H(s)在右半平面正实轴上有一阶极点p=α(α＞0)，则A(s)中有因子(s-α)，h(t)中就有对应的函数Aeαtε(t)；若H(s)在右半平面有一阶共轭复极点p1,2=α±jβ，则A(s)中就有因子［(s-α)2+β2］，h(t)中就有对应的函数Aeαtcos(βt+θ)ε(t)；133图4.8-1H(s)的极点分布与时域函数的对应关系

134可见右半平面一阶极点对应的h(t)中函数的形式与左半平面一阶极点对应的h(t)中函数的形式相似左半平面极点对应的的时域函数以指数规律随时间增长而减小，而右半平面极点对应的时域函数以指数规律随时间增长而增大。135H(s)的极点分布确定了h(t)的时域波形模式(1)位于s平面左半开平面上的极点所对应的，是随时间的增长而衰减的，故系统是稳定的；(2)