人口增长模型-课件

第5讲

建模实例——

人口增长模型第5讲建模实例——背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长背景年16251830问题提出

马尔萨斯（Malthus）人口增长模型或指数增长模型.问题提出模型假设1.时刻t的人口函数是连续可微的.2.人口的增长率是常数.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.模型假设模型建立

设t时刻的人口数为x(t),增长率为r（常数）.依平衡原理，在时间段△t内，有人口增长数=出生人口数-死亡人口数+迁入人口数-迁出人口数模型建立

由假设3，上式后两项忽略.于是人口增长数=出生人口数-死亡人口数（5.1）

由假设3，上式后两项忽略.人口增长数=出生人口

又出生或死亡人口数均依赖于两个因素：（1）时间间隔△t的长短.（2）时间间隔开始时的人口总数x(t),且均为正比例关系，即

△t间隔内的出生人数=k1x(t)

△t△t间隔内的死亡人数=k2x(t)

△t其中k1，k2分别为出生率和死亡率.又出生或死亡人口数均依赖于两

代入（5.1）式，得到△t间隔内人口的增量为x(t+△t)-x(t)=(k1-k2)x(t)△t或代入（5.1）式，得到△t间隔内人口的令△t→0，得按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数为x0，便构成一个初值问题令△t→0，得按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数为x模型求解x(t)=x0ert(5.2)模型求解模型分析、评价与检验1961年世界人口总数为3.06×109，在1961—1970年这段时间内，每年平均的人口增长率为2%，代入（5.2）式，得x(t)=3.06×109e0.02(t-1961)(5.3)当t=2670时，x=4.4×1015,即达到4400万亿人，这相当于地球上每平方米至少要容纳8个人.模型分析、评价与检验模型假设1.时刻t的人口函数是连续可微的.2.人口的增长率是常数.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.模型假设模型修改与重建1.将增长率r表示为人口x的函数r(x)，按前面的分析，r(x)应为x的减函数.假定其为x的线性函数

r(x)=r-sx其中r,s>0，这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率.显然，对任意的x>0,r(x)<r.模型修改与重建2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为xm（也称最大人口容量）.()故（5.4）2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为xm其中常数r，xm要根据人口统计数据确定.其中常数r，xm要根据人口统计数据确定.3.将指数模型中r的换为（5.4）式便得到新模型(5.5)称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克（Logistic）人口增长模型.3.将指数模型中r的换为（5.4）式便得到新模型(5.5)称用可分离变量方程的解法可得其解为（5.6）用可分离变量方程的解法可得其解（5.6）4.模型解的再分析与检验对（5.6）式求二阶导数可得（5.7）由此，分析人口总数x(t)的变化规律:4.模型解的再分析与检验（5.7）由此，分析人口总数x(t)人口总数x(t)的变化规律:dx/dtx0xm/2xm人口总数x(t)的变化规律:dx/dtx0xm/2xmx(t)~S形曲线,x增加先快后慢txmx0x0xm/2x(t)~S形曲线,x增加先快后慢txmx0x0xm/2（1）,即无论人口初值如何，人口总数均以xm为极限，其中x=xm是图形x(t)的水平渐进线.（2）当0<x<x时，，

x(t)是单调增加的.（1）,又由（5.7）式知，当时，;当时，，即是x(t)图形的拐点.人口变化率函数在