科学与逻辑方法论0710悖论课件

科学与逻辑方法论第讲悖论

PARADOX科学与逻辑方法论0710悖论课件要知道自己是否为勇者吗？要知道自己是否为仁者吗？要知道自己是否为智者吗？

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什么是悖论？先从两个熟悉的悖论实例谈起…

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芝诺悖论说谎者悖论

科学与逻辑方法论0710悖论课件低估说谎者悖论和其它悖论的重要性，把它们当作诡辩或笑料，从科学进步的角度看来是十分危险的。事实上，我们在这里处于一种荒谬的境地，我们被迫肯定一个假句子。…如果我们认真对待自己的工作，就不能容忍这个事实。我们必须找出它的原因…。-----塔斯基科学与逻辑方法论0710悖论课件 一个认识共同体，被迫接受一个假句子。这就是悖论。这里被迫的含义是：第一，假句子是明显的，因而是显然不可接受的；第二，找不到得出假句子的推理错在哪里；第三，找不到得出假句子的前提错在哪里。科学与逻辑方法论0710悖论课件 因此，悖论具有以下本质特征：第一，它相对于某个认识共同体而言。第二，它是一个论证。第三，它的前提是公认正确的背景知识。第四，它的推理在逻辑上无误。第五，它的结论明显虚假（其中最为典型的是自相矛盾）。

注意，第二、第三两点都是相对于认识共同体而言的。科学与逻辑方法论0710悖论课件

关于佯悖“理发师悖论”“以子之茅，攻子之盾”科学与逻辑方法论0710悖论课件“理发师悖论”是罗素悖论的俗本或拟化形式。为什么罗素悖论称为悖论，而“理发师悖论”只是佯悖？科学与逻辑方法论0710悖论课件

逻辑学家为什么对悖论感兴趣？

悖论是对认识共同体的共识，即公认正确的背景知识的挑战。“根号2”的解悖开始了一个新的数学时代！

科学与逻辑方法论0710悖论课件对于人类认识共同体来说，任何悖论终将被证明是佯悖！

科学与逻辑方法论0710悖论课件悖论的两种思考模式：哲学思辩逻辑分析科学与逻辑方法论0710悖论课件芝诺悖论：关于运动的哲学思辩。哲学思辩的力量。哲学思辩的软肋。警惕：莫使辩证法成为逻辑矛盾和诡辩的庇护所。（---张家龙：《论逻辑悖论》）科学与逻辑方法论0710悖论课件解决悖论三原则：

第一，消除悖论；（不要出了火海，又入油锅）；第二，代价尽量小；（尽量保留一切有价值的东西） 第三，自然。

科学与逻辑方法论0710悖论课件悖论的分类语形（syntactic）语义（semantic）语用（pragmatic）

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集合论-语形悖论及其研究科学与逻辑方法论0710悖论课件

素朴集合论概括规则：对于任一性质，所有具有该性质的对象就构成一个集合。所有不具有该性质的对象不属于该集合。对任一性质P，存在唯一的集合A：对任一对象a，a∈AiffP（a）（iff=ifandonlyif=当且仅当）

科学与逻辑方法论0710悖论课件两种性质：自有性质：例如，“可理解”这种性质自身是可理解的。因此，“可理解”是自有性质。非自有性质：例如，“红”这种性质自身并不红，因此，“红”是非自有性质。如果P是自有性质，则P（P）成立；如果P是非自有性质，则P（P）成立。科学与逻辑方法论0710悖论课件[思考]

以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？

诚实大于等于6的偶数具有科学研究的价值不具有科学研究的价值可用汉语准确表达只能用汉语准确表达

科学与逻辑方法论0710悖论课件[思考]

以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？

诚实 （非自有）大于等于6的偶数 （非自有）具有科学研究的价值 （自有）不具有科学研究的价值 （非自有）可用汉语准确表达（自有）只能用汉语准确表达（非自有）

[思考]现在的问题是：非自有性质本身是自有的，还是非自有的？

非自有性质是自有的=非自有性质具有非自有性质=非自有性质是非自有的非自有性质是非自有的=非自有性质具有非自有的性质=非自有性质是自有的。

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因此，

非自有性质是自有的非自有性质是非自有的悖论！

科学与逻辑方法论0710悖论课件为什么称这种类型的悖论为语形悖论？非自有性质P可在二阶逻辑中得到形式定义：

X（P（X）

X（X））（1）读作：对于任一性质X，X具有性质P，当且仅当X不具有性质X。这就形式地定义了非自有性质P。

既然（1）式对任一性质X成立，其中自然包括性质P。因此，由对（1）式作全称限定，即在（1）式中消去全称量词X，并用P替换X，得：

（P（P）

P（P））（2）（2）式的意思正是：非自有性质是自有的非自有性质是非自有的科学与逻辑方法论0710悖论课件

性质分两类：“非自有”性质和“自有”性质。类似地，集合分两类：第一类不以自己为元素，即满足“非自有”。例如“人”这个集合不是人。第二类以自己为元素，即满足“自有”。例如“可用语言表达的对象”这个集合自身也是可用语言表达的。现在问：上述第一类集合，即所有不以自己为元素的集合所构成的集合，是否以自己为元素？

“非自有性质”确定了这样一个集合S，这一集合称为罗素集：S以并且只以所有不以自己为元素的集合作为自己的元素。现在的问题是：S是否以自己为元素？显然有

S以自己为元素S不以自己为元素。这就是罗素悖论。科学与逻辑方法论0710悖论课件最大基数悖论康托定理：对任一集合S，S的幂集的基数大于S的基数。（已证）现考虑所有集合的集合T。（1）由康托定理：T的幂集的基数大于T的基数。（2）由幂集的定义，可知T的幂集的元素都为集合，因此，T的幂集为T的子集，其基数不大于T的基数。矛盾！科学与逻辑方法论0710悖论课件

罗素悖论引起的震动第三次数学危机！科学与逻辑方法论0710悖论课件

集合论-语形悖论的消解

罗素的分支类型论从素朴集合论到公理集合论科学与逻辑方法论0710悖论课件

罗素的分支类型论

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恶性循环原则：“凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一分子”----罗素

总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。----张家龙

科学与逻辑方法论0710悖论课件“非自有”性质所确定的集合红诚实善不具有科学研究价值非自有科学与逻辑方法论0710悖论课件

在上面图示的集合中，“非自有”是总体性质。“红”尽管具有这种性质，但“红”的定义不必涉及这种总体性质。“善”、“诚实”等也是如此。但是，“非自有”的定义必须涉及这种总体性质。因此，根据恶性循环原则，“非自有”不能作为这个集合的分子。科学与逻辑方法论0710悖论课件

恶性循环原则：任何集合不能以自己作为分子。

x（x∈x）科学与逻辑方法论0710悖论课件

分支类型论目标：恶性循环原则。性质的“型”和“级”

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性质的“型”

类型0：个体----这朵花类型1：个体的性质----红类型2：个体的性质的性质----鲜艳…类型n：个体的n－1类型的性质的性质科学与逻辑方法论0710悖论课件

性质的“级” 在类型n的性质中（n＞1），如果某个性质的定义不要依据总体性质，则属于0级；某个性质的定义，如果要用到n级性质的总体性质，由属于n+1级。科学与逻辑方法论0710悖论课件

罗素规定：

每一类型的性质只有当其使用于低于它的那个类型的对象时，才是有意义的。每一级的性质只有当其使用于低于它的级别的性质时，才是有意义的。

n+1级的性质，决不能包含在n级性质中。 问某个n+1级性质是否具有相应的n级性质，这个问题是没有意义的。这个规定确实可以消解罗素悖论。科学与逻辑方法论0710悖论课件“非自有”性质所确定的集合

红诚实善不具有科学研究价值非自有科学与逻辑方法论0710悖论课件

在上例中，“红”、“善”、“诚实”等的总体性质是“非自有”。“红”、“善”、“诚实”尽管具有这种性质，但它们的定义不必涉及这种总体性质。而“非自有”这种性质的定义必须涉及这种总体性质。因此，如果“红”、“善”、“诚实”等性质属于n级，则“非自有”这种性质属于n+1级。

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“非自有”这种性质是否非自有？这个问题实际上是问：一个n+1级的性质是否具有n+1级性质？这个问题是不成立的。因为n+1级的性质只能为m（m≤n）级性质所具有。类似地，不难理解，对于任何集合x（相应于某种性质），问x∈x是否成立是没有意义的。因此，对于罗素悖论S，问

S∈S

是否成立是没有意义的。这就消解了罗素悖论。

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对罗素解悖方案的思考科学与逻辑方法论0710悖论课件解决悖论三原则：

第一，消除悖论；（不要出了火海，又入油锅）；第二，代价尽量小；（尽量保留一切有价值的东西） 第三，自然。

科学与逻辑方法论0710悖论课件根据罗素解悖方案，以下问题都成为伪问题。这很不自然。以下哪些性质是自有的，哪些是非自有的？

诚实大于等于6的偶数具有科学研究的价值不具有科学研究的价值可用汉语准确表达只能用汉语准确表达

科学与逻辑方法论0710悖论课件恶性循环原则：“凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一分子”----罗素

总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。----张家龙

科学与逻辑方法论0710悖论课件拉姆赛（罗素的学生）提出了一个例子：“这间房子里个子最高的那个人”这个分子的定义显然要涉及所有分子的总体性质。假设这个人1.8m。则总体性质：不高于1.8m。上述定义必然涉及这个总体性质。根据罗素的恶性循环原则，上述定义被视为伪定义。很不自然！

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也许这就是为什么人类认识共同体至今未宣布罗素悖论为佯悖！

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从素朴集合论到公理集合论公理集合论的基本思想科学与逻辑方法论0710悖论课件

语义悖论及其研究科学与逻辑方法论0710悖论课件

多姿多彩的语义悖论

科学与逻辑方法论0710悖论课件[思考]

（1）我说的话都是谎话。（2）我说谎。为什么句（1）不能称为悖论？句（2）可以称为悖论？[分析]由句（1）真，可推出句（1）假。（因此，句（1）不可能真，必为假。）由句（1）假，（不能推出“我说的都不是谎话”，只能推出“我说的话有的不是谎话”，因此）不能推出句（1）真。因此，句（1）是句假话，但不是悖论。由句（2）真，可推出句（2）假；由句（2）假，可推出句（2）真。因此，句（2）是悖论。

[思考]

比较以下两个悖论

（1）我说谎（2）本方框中的语句是假的

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嫌疑人悖论甲乙两人涉嫌作案被拘审。甲：我没作案。乙：我俩只有一人说真话。如果乙说真话，可推出：甲作案。如果乙说假话，可推出：甲作案。（思考：为什么）乙说真话或说假话，二者必居其一。因此，不管甲事实上是否作案，只要乙说了上面这句话，都可合乎逻辑地推出：甲作案。科学与逻辑方法论0710悖论课件理查德悖论

自然数的任一性质均可用有限多的文字表达。如偶数、奇数、素数、3的倍数、能被7整除的数，等等。现把所有这些性质排序，序号均为自然数。如果一种性质的序号不具有此种性质，则称该序号（自然数）为理查德数；否则就为非理查德数。例如，如果偶数这种性质的编号是3，则3是一个理查德数，因为3不是偶数；如果奇数这种性质的编号是5，则5是非理查德数，因为5是奇数。理查德数也是自然数的一个性质，因此，也有一个序号，记为n。

现在问：n是否为理查德数？显然有

n是理查德数，当且仅当n不是理查德数。悖论！

科学与逻辑方法论0710悖论课件这些悖论的产生都涉及“直接自指”。悖论是否一定产生于“直接自指”呢？以下这个中世纪学者构造的悖论其意义不涉及“直接自指”：假定苏格拉底只说过唯一的一句话：“柏拉图说谎。”而柏拉图只说过唯一的一句话：“苏格拉底说真话”。问：苏格拉底的话是真话还是假话？科学与逻辑方法论0710悖论课件

题外思考：

有人说，苏格拉底和柏拉图一生中不可能只说一句话，因此，上述论证的假设不成立，因此，论证本身及其结论都不能成立。如果剖析这种似是而非的话？科学与逻辑方法论0710悖论课件

间接自指卡片悖论：一张卡片的正面只写着：“本卡片反面的语句是假的”； 同一张卡片的反面只写着：“本卡片正面的语句是真的”

[思考]以下断定哪些能构成悖论？

①设有五个语句A、B、C、D、E。A和B都真，C和D都假。E断定：上述五个语句中，真语句比假语句多。②设有五个语句A、B、C、D、E。A和B都真，C和D都假。E断定：上述五个语句中，假语句比真语句多。科学与逻辑方法论0710悖论课件③2+2=5或者本析取句为假④2+2=4并且本合取句为真科学与逻辑方法论0710悖论课件⑤（1）地球围绕太阳转（2）太阳围绕地球转（3）句（1）是本方框中唯一的真语句科学与逻辑方法论0710悖论课件

②、③和⑤均悖①和④均不悖科学与逻辑方法论0710悖论课件

语义悖论和语形悖论的区别在哪里？

语形悖论，如罗素悖论：

x（xSxx）

因此有：SSSS

语义悖论，如说谎者悖论：

本方框中的语句是假的科学与逻辑方法论0710悖论课件

语形悖论可形式地得出，不必涉及语句的真假。语义悖论涉及语句的真假。科学与逻辑方法论0710悖论课件

语义悖论的消解

科学与逻辑方法论0710悖论课件[方案1]禁止语句自指。

概念和语句的使用和提及任何概念和语句不得同时既使用又提及。禁止语句自指。科学与逻辑方法论0710悖论课件

“单独概念”不是单独概念。这是个真句子，并不悖。此句中出现的两个“单独概念”，前者被提及，但并不同时被使用；后者被使用，但并不同时被提及。科学与逻辑方法论0710悖论课件

我说谎。

如果上面的这句话所断定的谎话包括自身，则这一语句就是既使用，又提及。科学与逻辑方法论0710悖论课件

禁止语句自指，自然消解了所有的语义悖论。但是…科学与逻辑方法论0710悖论课件在日常思维中，有时语句必须自指，否则正常的思维及其交流会被迫中断。甲：我中了体育彩票头奖。500万！（1）乙：是吗？（表示不信）甲：我说的是真话！（2）显然，句（2）不仅指句（1），而且必须自指。

科学与逻辑方法论0710悖论课件[方案2]禁止语句否定性自指。肯定性自指：断定自身具有某种性质。否定性自指：断定自身不具有某种性质，例如断定自身假、不可证等等。

科学与逻辑方法论0710悖论课件甲：我中了体育彩票头奖。500万！（1）乙：是吗？（表示惊讶）甲：（笑）我是骗你的！（2′）显然，句（2′）仅指句（1），但并不自指。禁止句（2′）这样的语句否定性自指是很自然的。

科学与逻辑方法论0710悖论课件甲：我中了体育彩票头奖。500万！（1）乙：是吗？（表示惊讶）甲：（笑）我是骗你的！（=我说谎）（2′）显然，句（2′）仅指句（1），但并不自指。 上例说明，语句“我说谎”，在日常运用中，并不自指。

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我说谎（1）句（1）的自指，是一种否定性自指。通过禁止语句的否定性自指来排除句（1）这样的说谎者悖论，是自然的。因为句（1）自身的含义并不确定地包含断定自身。事实上，在日常运用中，句（1）并不自指。不自然地规定它自指，然后导出悖论，这是违背日常思维习惯的矫揉之作。

科学与逻辑方法论0710悖论课件语义悖论的最重要特征是涉及语句的否定性自指。禁止语句的否定性自指确实可以消解几乎所有的语义悖论。但是…科学与逻辑方法论0710悖论课件

比较以下两个悖论

（1）我说谎（2）本方框中的语句是假的

科学与逻辑方法论0710悖论课件（2）本方框中的语句是假的

根据确定的经验事实和句（2）的含义，句（2）确定无疑地否定性自指。禁止句（2）这样的语句否定性自指，是不自然的。

科学与逻辑方法论0710悖论课件哥德尔不可判定性命题哥德尔在算术形式系统中构造了一个公式A，A的含义是：A在系统中不可证。不可判定性命题就是哥德尔明确无误地构造出来的否定性自指命题。

禁止语句的否定性自指，就意味着从根本上否定哥德尔的成果。

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不可判定性命题≠悖论

A的含义是：A不可证。哥德尔证明了：如果系统是一致的，则A和A在系统中都不可证。因为A不可证，所以A是真命题，即一个不可证的真命题。因此，如果算术系统是一致的，则存在不可证的数学真理。这里没有出现悖论。

[方案3]区分语言层次

塔斯基关于“真”理论

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什么是“真”？如何定义“语句p真”？说是者为非，或说非者为是，是为假；

说是者为是，或说非者为非，是为真。----亚里士多德

T等式：

X是真语句当且仅当p。-----塔斯基

T等式：

X是真语句当且仅当p。

这里，p是语句，X是p的名称，可以是p的引号名称，也可以是p的摹状名称。

T等式：X是真语句当且仅当p。

显然，以下作为T等式实例的断定都成立：

“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。“毛泽东是湖南人”是真的，当且仅当毛泽东是湖南人。“金属都导电”是真的，当且仅当金属都导电。……因此，有理由概括出定义任意语句p真的一般形式：“p”真，当且仅当p

这里，T等式中的X用p的引号名称“p”代入。