2023山东济南中考数学-答案及解析

2023年济南市数学学考试题一、选择题〔本大题共15个小题，每题3分，共45分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1.(2023山东济南，1，3分)－6的相反数是()A.B.C.－6D.6【答案】D【考点解剖】此题考查如何求实数的相反数，解题的关键是正确掌握相反数的概念．【解题思路】(1)只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；(2)互为相反数的两个数，绝对值相等.(3)互为相反数的两个数在数轴上位于原点的两侧，且到原点的距离相等.【解答过程】解：∵6和－6在原点的两侧，且到原点的距离都是6，应选D.【方法规律】互为相反数的两个数的和为0．【关键词】相反数.【易错点睛】考查相反数的选择题往往会在四个选项中设置一些倒数和负倒数的选项，因此注意审题是正确解答的关键.2.(2023山东济南，2，3分)以下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是()ABABCD正面【答案】A【考点解剖】此题考查识别简单几何体三视图的识别，了解主视图的概念是解题关键.【解题思路】从正面看过去就是左边一个立方块，右边两个立方块.【解答过程】解：因为从正面看过去就是左边一个立方块，右边两个立方块，因此选A.【方法规律】三视图实际就是平行光线垂直照射该物体投到平面上的影子，“主视图、俯视图、左视图〞符合“长对正、高平齐、宽相等〞的规律.【关键词】三视图【易错点睛】看清题目中问的是主视图、左视图还是俯视图.3.(2023山东济南，3，3分)十八大以来，我国经济继续保持稳定增长，2023年第一季度国内生产总值约为118900亿元，将数字118900用科学记数法表示为()A.0.1189×106B.1.189×105C.11.89×104D.1.189×104【答案】B【考点解剖】此题考查用科学记数法表示一个数字，掌握将一个数表示成科学记数法的规律是关键.【解题思路】用科学记数法表示一个数时一般要分为两个步骤：第一步确定乘号前面的数，第二步确定10的指数.【解答过程】解：∵118900的整数位数为6，∴118900=1.189×105，因此选B.【方法规律】科学记数法就是把一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.绝对值大于1的数表示成科学记数法时，n等于要表示的数的整数位数减1；绝对值小于1的数表示成科学记数法时，n为负整数其绝对值等于表示的数的第一个非零数字前面所有0的个数.【关键词】科学记数法.【易错点睛】容易搞错n的符号和数值解题时的常犯错误.4.(2023山东济南，4，3分)如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1=130°，那么∠2的度数是()A.130°B.60°C.50°D.40°112abc【答案】C【考点解剖】此题考查平行线的性质和邻补角的性质.如解答图所示，知道∠3是求解∠2度数的桥梁，这是解题关键.【解题思路】先利用邻补角的性质求出∠1的邻补角∠3的度数为50°，再根据两直线平行同位角相等求得∠2的度数.【解答过程】解：如图，∵∠1+∠3=180°，∴∠3=50°，∵a∥b，∴∠2=∠3=50°.应选C.112abc3【方法规律】1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2.如果题目出现的和平行线有关的角中，角的位置关系不属于同位角、内错角、同旁内角的范围，那么一般要利用邻补角、对顶角的关系将其进行转化.【归纳拓展】选择题中的和平行线有关的试题多数都是和角联系在一起，因此其解题时多数都要用到平行线的性质.【关键词】平行线的性质，邻补角【易错点睛】要分清题目中三线八角的关系.5.(2023山东济南，5，3分)以下各式计算正确的是()A.B.C.D.a4·a2=a8【答案】A【考点解剖】此题考查幂的运算法那么和合并同类项法那么，正确选用相应的运算法那么是解题关键.【解题思路】利用幂的运算法那么和合并同类项法那么逐次判断每个选项的正确与否，B、C、D选项的正确结果分别应为：2a，3，a6.【解答过程】解：选项解答ABa+a=2aCDa4·a2=a4+2=a6应选A.【方法规律】1.对于幂的有关运算，关键掌握其运算法那么：名称运算法那么同底数幂的乘法同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，即：同底数幂的除法同底数幂的相乘，底数不变，指数相减，即：幂的乘方幂的乘方，等于底数不变，指数相乘，即：积的乘方积的乘方，等于各因数分别乘方的积，即：2.合并同类项法那么：只把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.【归纳拓展】在选择题中对于幂的运算考查主要有两种形式：〔1〕计算……的结果是；〔2〕以下运算正确的是……，其中第〔2〕类形式一般会与合并同类项、完全平方公式及平方差公式结合考查，解此类题的方法就是利用各自运算法那么仔细计算即可.【关键词】幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法.【易错点睛】此类题目中，易错点为：①符号问题，会无视式子中的符号而导致错误；②对有关运算公式不熟悉而导致错误.6.(2023山东济南，6，3分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()【答案】C【考点解剖】此题考查解一元一次不等式组和利用数轴表示一元一次不等式组的解集，先正确求得不等式组的解集是解题关键.【解题思路】分别求出两个不等式的解集，取其公共局部就是不等式组的解集.【解答过程】解：不等式①的解集为x＞2，不等式②的解集为x≤3，∴不等式组的解集为2＜x≤3，因此2用空心点，3用实心点.应选C.【方法规律】两大取大；两小取小；大于小数、小于大数取中间；小于小数、大于大数无解.【关键词】一元一次不等式组、数轴【易错点睛】用数轴表示不等式组的解集，要注意实心点与空心点的区别.7.(2023山东济南，7，3分)为了解七年级学生参与家务劳动的时间，李老师随机调查了七年级8名学生一周内参与家务劳动的时间(单位：小时)分别是：1，2，3，3，3，4，5，6.那么这组数据的众数是()A.2.5B.3C.3.375D.5【答案】B【考点解剖】此题考查众数的概念，正确理解众数的概念是解题关键.【解题思路】众数就是一组数据中个数最多的数，而这组数据之中个数最多的数据是3.【解答过程】解：因为数据“3〞的个数为3个，为最多，因此众数是3.应选B.【方法规律】一组数据中个数最多的数是这组数据的众数，注意众数不一定只有一个.【关键词】众数【易错点睛】一组数据的众数、平均数、中位数是选择题中经常要考到的内容，答题之前一定要准题目要求的是什么.8.(2023山东济南，8，3分)计算，其结果是()A.2B.3C.x+2D.2x+6【答案】A【考点解剖】此题考查同分母分式的加法以及分式的化简，正确掌握运算法那么是解题的关键.【解题思路】同分母分式相加，分母不变，分子相加.【解答过程】解：===2，应选A.【方法规律】分式的加减运算，要先看分母是否相同，分母相同时，直接把分子相加，分母不同时，需要找到各分母的最简公分母进行通分把异分母分式化为同分母分式.【思维模式】〔1〕在计算的时候，整式可以看作分母为1的分式；〔2〕分子、分母是多项式的时候，先将多项式因式分解，便于约分和通分．〔3〕计算后的结果应是最简分式．【易错点睛】分式的运算结果要注意化为最简分式，经常有同学忘记将分式的运算结果进行约分.【关键词】同分母分式加法、分解因式、约分.9.(2023山东济南，9，3分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(－2,0)，C(－3,1).将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，那么点B′的坐标为()A.(2,1)B.(2,3)C.(4,1)D.(0,2)xxyOABC【答案】A【考点解剖】此题考查平面直角坐标系、图形的旋转、三角形全等，借助网格确定旋转的角度是解题关键.【解题思路】先确定AB和AC旋转后的对应线段AB′和AC′，再连接B′C′即可得到旋转后的图形.【解答过程】解：如下图，点B′的坐标是(2,1).应选A.xxyOABCB′C′【方法规律】在网格中旋转的题目，解题时往往要借助全等三角形.【思维模式】网格的题目中用到的长和宽相等的矩形的对角线往往是平行或者垂直的关系.【关键词】平面直角坐标系、图形的旋转、全等三角形10.(2023山东济南，10，3分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，垂足为D，那么BD的长为()A.2B.3C.4D.6AABCOD【答案】C【考点解剖】此题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角、勾股定理，点D实际是BC中点，这是关键.【解题思路】根据垂径定理，BD是BC的一半，因此只要求出BC即可.【解答过程】解：因为AB是直径，因此∠C是直角，∴BC==8，∵OD⊥BC，根据垂径定理，BD等于BC的一半，所以BD=4.应选C.【方法规律】在圆的问题中，碰到直径往往要作直径做对的圆周角，碰到弦，经常要作垂直于弦的直径.【思维模式】在直角三角形中，知道两条边的长求第三边，经常要用到勾股定理.【关键词】垂径定理、勾股定理11.(2023山东济南，11，3分)，那么的值为()A.54B.6C.－10D.－18【答案】B【考点解剖】此题考查代数式求值、解一元二次方程，合理的将进行变形是解题关键.【解题思路】将条件的常数项移项到等式的右侧得到，然后代入待求值的代数式即可.【解答过程】解：由可得，所以==3×8－18=6.应选B.【方法规律】此类问题如果解出方程的根然后代入求值的话，计算量往往比拟大，因此恒等变形是解决此类问题的常用方法.【思维模式】这一类和方程有关的代数式求值问题，往往不需要解给出的方程，而是采取将该方程的常数项移到等号另一侧，采取代入求值的方式进行计算.【关键词】代数式的值、一元二次方程的解.12.(2023山东济南，12，3分)如图，小亮将升旗的绳子拉倒旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m.那么旗杆的高度(滑轮上方的局部忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m【答案】D【考点解剖】此题考查勾股定理、矩形的性质、解一元一次方程，如解答图，知道AB=AE是解题关键.【解题思路】欲求旗杆AE的长度，需利用绳子AB的长度，而作BC⊥AE后，可将旗杆的高度转化为AC+CE的和，CE与BD的长度相等，AC的长度可在Rt△ABC之中求得.【解答过程】解：如下图，作BC⊥AE于点C，那么BC=DE=8，设AE=x，那么AB=x，AC=x－2，在Rt△ABC中，,即，解得x=17.AABCDE【方法规律】求线段长的题目，除了可以利用三角形全等等知识直接求出的外，还经常需要将所求线段转化为几条线段的和或者几条线段的差..【思维模式】牵扯到和直角三角形有关的问题往往需要利用勾股定理转化成解方程的问题来解决.【关键词】勾股定理、矩形、方程与函数思想.13.(2023山东济南，13，3分)如图，□OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为(3,0)，点D为边AB的中点，反比例函数的图象经过C，D两点，假设∠COA=α，那么k的值等于()A.8sin2αB.8cos2αC.4tanαD.2tanαxxyOABCDα【答案】C【考点解剖】此题考查反比例函数、三角函数、平行四边形的性质、三角形中位线、全等三角形等知识，解题关键是能用点C坐标来表示点D的坐标.【解题思路】因为点C、D都在反比例函数的图象上，因此这两个点的坐标的乘积相等.可设点C的坐标为(a，atanα)，然后利用点C的坐标表示先表示出点B的坐标，然后再表示点D的坐标即可求出k的值.【解答过程】解：设点C(a，atanα)，那么点B(a+3，atanα)，因此点D(3+，)，所以，解得a=3或a=6(舍去)，所以k=2·2tanα=4tanα.应选C.【方法规律】先设出一个点的坐标，然后设法用点的坐标去表示题目中另外的点的坐标是解决此类问题的常用方法.【方法指导】(1)在和直角三角形有关的一些问题中，利用三角函数来表示线段的长，比用相似比表示来的更加直观；(2)一个点的纵坐标与横坐标的比值往往会和正切联系在一起.【关键词】反比例函数、三角函数、平行四边形的性质、三角形中位线.14.(2023山东济南，14，3分)直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如下图，AB=4，BC=6，那么tanα的值等于()A.B.C.D.AABCDαl1l2l3l4【答案】C【考点解剖】此题考查相似三角形的性质、三角函数、平行线的距离，找出相似三角形是解题的关键.【解题思路】过点A、C分别作AM⊥l4于点M，CN⊥l4于点N，构造相似三角形△ABM和△BCN.在两个三角形中，利用比例关系可求得答案.【解答过程】解：如图，做AM⊥l4于点M，做CN⊥l4于点N，那么AM=h，CN=2h，∠ABM+∠BAM=90°，∴BM=AM·tanα=htanα，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABM+∠α=90°，∴∠BAM=∠α，∴△ABM∽△BCN，,∴htanα=·2h，∴tanα=.应选C.BBCDαl1l2l3l4AMN【方法规律】设法构造相似的直角三角形是解决此类问题的常用方法，如下图是一个解题中经常见到的图形，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，MN为经过顶点C的一条直线，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，那么此时有结论△ACM∽△CBN成立.AABCMN【方法指导】相邻的两条平行直线间的距离均为h，是一个重要的潜在条件【关键词】相似三角形的性质、锐角三角函数、平行线的距离、矩形15.(2023山东济南，15，3分)如图，二次函数的图象经过点(1，－2)，与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，且－1＜x1＜0，1＜x2＜2，以下结论正确的是()A.a＜0B.a－b+c＜0C.D.yyxO12－1－2【答案】D【考点解剖】此题考查二次函数的相关知识，先正确判断a、b、c的符号是关键.【解题思路】根据抛物线开口方向可判断a的符号；自变量x=－1时对应的函数值是a－b+c；根据对称轴的位置可判断－的值的范围；可转化为判断＜2，而这根据抛物线的最值即可得出结论.【解答过程】解：根据图象可知：(1)a＞0；(2)当x=－1对应的函数值a－b+c＞0；(3)对称轴在0和1之间，因此0＜＜1；(4)函数的最大值小于2，因此＜2，即.应选D.【方法规律】这种和抛物线有关的选择题，要熟悉一些特殊的函数值的意义，比方自变量取0，±1，±2等值时对应的函数值是多少.【思维模式】对于这一类和二次函数图象有关的问题往往需要首先判断a、b、c、、的符号.【关键词】二次函数二、填空题〔本大题共6个小题，每题3分，共18分．把答案填在题中的横线上．〕16.(2023山东济南，16，3分)计算：3(2x+1)－6x=___________.【答案】3.【考点解剖】此题考查去括号法那么、合并同类项法那么，掌握正确的运算顺序和运算法那么是关键.【解题思路】根据单项式乘以多项式的法那么，先去掉3(2x+1)的括号.【解答过程】解：3(2x+1)－6x=6x+3－6x=3.故答案为3【方法规律】这一类的简单的整式化简的题目，一般是先去括号再合并同类项.【关键词】单项式、多项式、去括号、合并同类项17.(2023山东济南，17，3分)分解因式：a2－4=_____________.【答案】(a+2)(a－2)【考点解剖】此题考查平方差公式，选对公式是关键.【解题思路】此题是利用平方差公式分解因式.【解答过程】解：a2－4=a2－22=(a+2)(a－2).故答案为(a+2)(a－2)【方法规律】1.能用提公因式法分解因式的多项式，各项必须存在公因式，这个公因式可以是单项式，也可以是多项式；2.能用平方差公式分解因式的多项式应满足条件是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能用完全平方公式分解因式的多项式应符合a2±2ab+b2=(a±b)2，左边是三项式，两项都能写成平方的形式且符号相同，另一项为哪一项这两个数乘积的2倍．【思维模式】因式分解时，先考虑能否用提公因式法，再考虑公式法.【关键词】因式分解、平方差公式.18.(2023山东济南，18，3分)小明和小华做投掷飞镖游戏各5次，两人成绩〔单位：环〕如下图，根据图中的信息可以确定成绩更稳定的是______________.(填“小明〞或“小华〞)【答案】小明.【考点解剖】此题考查折线统计图，正确理解成绩稳定的含义是解题关键.【解题思路】成绩稳定的意思就是成绩的波动比拟小.【解答过程】解：由图中可以看出小明的设计环数都在8环上下，因此小明的成绩更稳定一些.故答案为小明.【方法规律】折线统计图可以直观的判断数据的波动性，方差或者标准差是用数字来衡量数据的波动性，方差或者标准差较小时说明数据的波动性小.【关键词】折线统计图19.(2023山东济南，19，3分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAO=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，那么∠C=__________度.OOABCD【答案】20.【考点解剖】此题考查切线的性质、圆的根本性质、直角三角形的性质、三角形外角定理等知识点，作出过切点的半径、掌握直角三角形两锐角的关系是关键.【解题思路】作半径OD构造直角△COD，又∠BAO的度数可求得∠DOC的度数，进而可求得∠C的度数..【解答过程】解：连接OD，那么∠ODC=90°，∠DOC=2∠BAO=70°，因此∠C=90°－70°=20°.故答案为20°.OOABCD【方法规律】和切线有关的问题往往需要连接圆心和切点.【关键词】切线、直角三角形、外角定理.20.(2023山东济南，20，3分)假设直线y=kx与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，那么k的取值范围是___________.xxy1212Oy=kx【答案】≤k≤2【考点解剖】此题考查平面直角坐标系、求一次函数解析式，找准题目中四条直线围成的正方形是关键.【解题思路】直线过点(1,2)时的位置是最上边的位置，直线过点(2,1)时的位置是最下边的位置，其它都在这两条直线之间，因此只要求出上述两直线的斜率即可求得k的取值范围..【解答过程】直线过点(1,2)和(2,1)时的解析式分别为y=2x和，故答案为≤k≤2.【方法规律】求取值范围的题目往往需要先找到边界的位置，求出边界直线的解析式即可确定k的取值范围.【方法指导】直线过点(1,2)和(2,1)时与正方形只有一个公共点，在这两者之外那么与正方形没有公共点.21.(2023山东济南，21，3分)如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，假设S△ABC=6，那么S1－S2=_________.AABCDEF【答案】1.【考点解剖】三角形的面积,通过转化的思想将所求问题转为求△ABE和△BCD的面积之差是关键.【解题思路】将△ADF加上四边形BDFE补成△ABE，△CEF加上四边形BDFE补成△BCD.【解答过程】解：∵AD=2BD，BE=CE，∴S△ABE=S△ABC=3，S△BCD=S△ABC=2，∴S1+SBDFE=3，S2+SBDFE=2，∴S1－S2=3－2=1.故答案为1.【方法规律】高相等的三角形的面积之比等于其底之比.【关键词】三角形的面积.三、解答题〔本大题共7个小题，共57分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕22.(2023山东济南，22，7分)(1)计算：()0+tan45°【考点解剖】此题考查0指数、45度的正切值、实数的运算，掌握正确的运算顺序是解题关键.【解题思路】先求出()0和tan45°的值，再计算.【解答过程】解：()0+tan45°=1+1=2.【方法规律】要牢记任何一个非零实数的零次幂都是1以及特殊角的三角函数值.【关键词】零次幂、正切(2)解方程：【考点解剖】此题考查分式方程的解法，确定正确的最简公分母是解题关键.【解题思路】先在方程的两侧乘以分母的最简公分母去分母化为整式方程.【解答过程】解：去分母得：3x－3=2x，解得x=3，经检验，x=3是原方程的根.【方法规律】解分式方程的一般步骤：1.去分母；2.解化简后的整式方程；3.检验.【考前须知】1.去分母的方法是在方程两边乘以分母的最简公分母；2.解分式方程一定要记得验根.【关键词】解分式方程23.(2023山东济南，23，7分)(1)如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B、C、E在一条直线上.求证：∠A=∠D.AABCDE【考点解剖】此题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，知道利用全等三角形对应角相等来得出结论是关键.【解题思路】需要先证明△ABC≌△DCE，然后利用全等的性质证明∠A=∠D.【解答过程】解：∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，∵AB=DC，BC=CE，∴△ABC≌△DCE，∴∠A=∠D.【方法规律】全等三角形的对应角相等是证明角相等的常用方法.【方法指导】∠A和∠D分别在两个三角形中，因此应该考虑证明这两个三角形全等.【关键词】全等三角形、平行线的性质.(2)如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.AABCDO【考点解剖】此题考查矩形的性质，等边三角形判定和性质，根据条件推得△AOB是等边三角形是解题关键.【解题思路】由矩形的对角线相等且互相平分得到OA=AC，而OA的长可在判断出△AOB是等边三角形后求得.【解答过程】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4，∴AC=2AO=8.【方法规律】矩形的对角线的夹角为120度和60度是等价的，这时候矩形的对称中心和矩形的短边构成等边三角形.【关键词】矩形、等边三角形.24.(2023山东济南，24，8分)某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人.该校360名住宿生恰好注满这50见宿舍.求大、小宿舍各有多少间.【考点解剖】此题考查列一元一次方程(二元一次方程组)解应用题，找出题目中的等量关系是解题关键.【解题思路】设大宿舍有x间，那么小宿舍有(50－x)间，从而大宿舍可住8x人，小宿舍可住6(50－x)人.【解答过程】解法1：设大宿舍有x间，那么小宿舍有(50－x)间，8x+6(50－x)=360，解得x=30∴50－x=20(间)答：大宿舍有30间，小宿舍有20间.解法2：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据题意得，解得.答：大宿舍有30间，小宿舍有20间.【方法规律】列方程解应用题一般有设未知数、根据等量关系列出方程、解列出的方程、写答案这四个步骤.【方法指导】和实际问题有关的应用题，有时候需要检验求出来的解是否符合实际情况，不符合的要进行一些取舍.【关键词】一元一次方程、二元一次方程组.25.(2023山东济南，25，8分)在一个不透明的袋子中，装有两个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同.(1)搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸到红球的概率；(2)如果第一次随机摸出一个小球(不放回)，充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率.(用树状图或列表法求解)【考点解剖】此题考查概率的求法，掌握概率的概念是解题关键.【解题思路】两个红球可以编号，这样有利于解题时的描述.【解答过程】解：(1)因为共有两个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，所以搅匀后从中随机摸出一球，摸到红球的概率为；第2次(2)第2次第1次第1次红1红2白红1红1，红2红1，白红2红2，红1红2，白白白，红1白，红2总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次都摸到红球的情况有两种，∴P(两次都摸到红球)==.【方法规律】概率问题是中考试题中的必考题型之一,对于摸球问题,通常采用列表法或者树状图法加以解决.【方法指导】1.要注意放回和不放回的区别.2.在利用列表法求解概率的问题时，要注意不要把次序弄反了.【关键词】概率.26.(2023山东济南，26，9分)如图，点A的坐标是(－2,0)，点B的坐标是(6,0)，点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F.(1)求直线BD的函数表达式；(2)求线段OF的长；(3)连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由.xxyOABDCEF【考点解剖】此题考查一次函数表达式、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，能够确定题目中隐含的全等三角形是解题关键.【解题思路】(1)由△OBC是等边三角形可确定∠OBD=60°，从而可求得点D的坐标；(2)要求得OF，可先求得CF的长；要求得CF的长，可先求得CE的长；而CE的长可由BE的长来确定；(3)可通过证明△COE和△OBF全等来得到结论.【解答过程】(1)∵△OBC为等边三角形，∴∠OBC=∠BOC=∠OCB=60°，OB=BC=CO，∵B(6,0)，∴BO=6，∴OD=OB·tan60°=6，即点D坐标为(0，6)，设直线BD的表达式为y=kx+b，那么，∴，∴直线BD的函数表达式为.(2)解法1：∵点A(－2,0)，∴OA=2，∴AB=8，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=6－4=2，∴CF=2CE=4，∴OF=OC－CF=2.解法2：∵点A(－2,0)，∴AO=2，∵OB=OC=BC=6，OA=2，∴AB=8，∵AE⊥BD，∠OBC=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=4，∴CE=BC－BE=6－4=2，∴CF=，∴OF=OC－CF=6－4=2.(3)BF=OE.解法1：由(2)问可知OF=CE，有∵∠FOB=∠ECO=60°，OB=CO，∴△OBF≌△COE，∴BF=OE.解法2：过点E作EG⊥AB，垂足为G，那么EG=BE·sin60°=2，EF=CF·sin60°=2，∴OE=,BF=.xxyOABDCEFG【方法规律】求一次函数解析式的根本方法就是待定系数法，当直线和30°、45°、60°等特殊角度联系在一起时，其k值就是、1、等.【思维模式】此题采用了多种学生熟悉的几何图形组合在一起，如△OBD为一个锐角为30度的直角三角形(30度角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于短直角边)，△OBC为等边三角形(高等于边长的，面积等于边长的平方的)，熟悉括号中的这些常用结论对解题帮助很大.【关键词】待定系数法、一次函数、等边三角形、勾股定理、三角函数.27.(2023山东济南，27，9分)如图1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点(不与点A、C重合)，点M关于AB所在直线的对称点为N，△CMN的面积为S.(1)求∠CAD的度数；(2)设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？(3)S的值最大时，过点C做EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN(如图2).P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的NP的长.AMAMNCBDAMNCBDE【考点解剖】此题综合考查了等腰三角形、轴对称、三角形内角和定理、三角形的面积、二次函数的最值、菱形等知识点以及函数思想、方程思想、分类思想等，第(2)问中求得S取得最大值时x的数值是继续解答(3)问的关键.【解题思路】∠CAD的度数是∠CAB的度数的2倍；(2)如何用x表示AN的长是求关键，根据对称AN=AM，而AM=4－CM=4－x；(3)分为三种情况：①MN为对角线时；②MN、NP为菱形的边时；③MN为菱形的边，NP为对角线时.【解答过程】解：(1)∵AB=AC，∠ABC=67.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠CAB=45°，∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，∴∠BAD=∠CAB=45°，∴∠CAD=90°.(2)有(1)可知AN⊥AM，∵点M、N关于AB所在直线对称，∴AM=AN，∵CM=x，∴AN=AM=4－x，∴S=CM·AN=x(4－x)=x2+2x=(x2－4x)=(x－2)2+2，∴x=2时，S有最大值.AAMNCBDE(P)QF(3)如图3，MN为对角线时，此时点P与点E重合，作NF⊥CE于点F，那么NF=AC=4，EF=CE－CF=4－2=2，∴NP=.AAMNCBDEPQ如图4，MN、NP为菱形的边时，NP=MN=AM=2.AAMNCBDEPQH如图5，MN为菱形的边，NP为对角线时，③MN为菱形的边，NP为对角线时，连接EM，那么S△EMN=SANEC－S△AMN－S△CEM=(2+4)·4－·2·2－·2·4=12－2－4=6,∴EN·MH=6∴·2·MH=6，∴MH=，∴NH=，∴NP=2NH=.【方法规律】.和函数有关的最值的问题，不要想当然认为所求得函数解析式一定二次函数，当一次函数将自变量限定在某个范围之内的时候，也是有最值的；【方法指导】1.压轴综合题的一些和具体数值有关系的结论可以先采用量一量、测一测的方法得出结论；2.合理分类是解决满足某种特定条件的图形的个数的先决条件，分类的原那么是不重不漏.【关键词】等腰三角形、轴对称、三角形内角和、函数表达式、