《曲线与方程》(5) 教学课件

【知识梳理】1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.这个方程曲线上2.求动点的轨迹方程的基本步骤任意x,y所求方程【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件;②方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线;③到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2;④方程y=与x=y2表示同一曲线.其中错误的是(

)A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②④【解析】选B.①正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.②错误.方程变为x(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.③错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时,是x2=y2,否则不正确.④错误.因为方程y=表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一部分,故其不正确.2.若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等,则动点P的轨迹是(

)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线【解析】选D.因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过F(1,-1)与直线l垂直的一条直线,故选D.3.实数变量m,n满足m2+n2=1,则坐标(m+n,mn)表示的点的轨迹是(

)A.抛物线 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线的一部分【解析】选D.设x=m+n,y=mn,则x2=(m+n)2=m2+n2+2mn=1+2y,且由于m,n的取值都有限制,因此变量x的取值也有限制,所以点(m+n,mn)的轨迹为抛物线的一部分,故选D.4.方程x2+xy=0表示的曲线是

.【解析】因为x2+xy=0,所以x(x+y)=0,所以x=0或x+y=0,所以方程x2+xy=0表示两条直线.答案:两条直线5.若方程ax2+by=4的曲线经过点A(0,2)和则a=

,b=

.【解析】因为曲线经过点A(0,2)和所以解得:a=16-8,b=2.答案:16-8

2考点1定义法求点的轨迹方程

【典例1】(1)(2014·北京模拟)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是_____

.(2)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.①求圆C的圆心轨迹L的方程;②求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.

【解题视点】(1)根据题设条件,寻找动点C与两定点A,B距离的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分,再求其方程.(2)①将圆C与另外两圆都相外切,转化为圆心距与两圆半径和之间的关系.②m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等.【规范解答】(1)如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为

答案:

(2)①两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.②因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.【易错警示】准确把握双曲线的定义在本例(1)中易出现的错误结果,其原因是对双曲线的定义理解错误或没有注意到顶点C始终在x=3的右侧.【规律方法】定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件:动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.(2)关键:定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义.提醒:弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.【变式训练】(2013·北京模拟)一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于点O的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠,使点A与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.