高三数学一轮复习大题专练《数列中的结构不良型（一）》突破解析

一轮复习大题专练36—数列（结构不良型2）1．在①，，成等比数列②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．已知是公差不为零的等差数列，为其前项和，，______，是等比数列，，，公比．（1）求数列，的通项公式；（2）数列和的所有项分别构成集合，，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．解：（1）选①，因为是公差不为0的等差数列，设公差为，由，，成等比数列可得，由于，所以，又，所以，解得，，所以．选②，因为，，所以，，可得，，所以．选③，因为，所以，因为，所以，即有，所以．因为是等比数列，由，，，得，，解得，，所以．（2），，所以的前80项中，数列的项最多有5项，其中，为公共项，又，所以的前80项是由的前77项及，，构成．．2．在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前项和，若____．（1）求；（2）记，求数列的前项和．解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为，则解得，；选择条件②：，当时，即，当时，，也适合上式，，；选择条件③：设等差数列的公差为，则，解得，，或，，不合题意，舍去，，；（2）由（1）可知，，．3．设等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，其满足，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若____，求数列的前项和．在①，②，③这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，，，设正项等比数列的公比为，则，，由题意，可得，化简，可得，整理，得，解得（舍去），，，，，，，（2）方案一：选条件①，则，方案二：选条件②，，，两式相减，可得，，方案三：选条件③，．4．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答．问题：已知数列的前项和，等比数列的前项和为，，且______，判断是否存在唯一的，使得，且．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：因为数列的前项和，当时，，当时，，经检验，当时也适合上式，故数列的通项公式为，所以，若选①：因为，所以，，又，所以，则等比数列的公比为，故数列是递增的等比数列，且，故不存在，使得，且．若选②：因为，所以，故，则等比数列的公比为，故数列的通项公式为，所以数列是递减的等比数列，当时，使得，所以存在唯一的，使得，且．若选③：因为，所以，设等比数列的公比为，则，解得，所以数列是摆动的等比数列，且，当时，使得，当时，使得，故不存在唯一的，使得，且．5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设是数列的前项和，且，______，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．解：选①因为，，所以是首项为4，公比为的等比数列．所以．当为奇数时，，因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；当为偶数时，，且，综上，存在最大值，且最大值为4．选②解法1：因为，，所以是首项为4，公差为的等差数列．所以，由于，得，所以存在最大值，且最大值为或，因为，所以的最大值为50．选③因为，所以，所以，，，，所以，由于，所以，当时，，故不存在最大值．6．已知首项为，公比为的等比数列前项和为，若_____，是否存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求；若不存在，请说明理由．从（1）；（2）这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：选择（1），，为等比数列，即，假设存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，则，，即，，观察可知左边为奇数，右边为偶数，即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列．选择（2），可知，，，可得，解得，，数列各项的绝对值相等，且相邻两项的符号相反的等比数列，任意三个不同的正奇数或任意三个不同的正偶数，，，都满足，当为正奇数时，，当为正偶数时，，．7．在①，的等差中项是3，②，的等比中项是，③．这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答．如果选多种方案解答，按第一种方案计分．已知正项等比数列满足_____，____．（1）求数列的通项公式；（2）