《空间几何体、三视图和直观图》导学案

PAGE13空间几何体、三视图和直观图

导学目标：1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4会画某些建筑物的三视图与直观图．

自主梳理1．多面体的结构特征1棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形．2棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．3棱台可由__________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．2．旋转体的结构特征1圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．2圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．3圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．4球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括________、____________、________4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：1在已知图形中取互相垂直的轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠′O′y′＝________2已知图形中平行于轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于__________的线段．3已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度变为___________________．4在已知图形中过O点作轴垂直于Oy平面，在直观图中对应的′轴也垂直于′O′y′平面，已知图形中平行于轴的线段，在直观图中仍平行于′轴且长度________．5．中心投影与平行投影1平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．2从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形．自我检测1．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

3．将正三棱柱截去三个角如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图或称左视图为

4

如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝eq\f3,2BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图也称主视图是

5．如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正主视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正主视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A．3 B．2 C．1 D．0

探究点一空间几何体的结构例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1下列结论正确的是A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二空间几何体的三视图例2如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f1,2，则该几何体的俯视图可以是

变式迁移2在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为

探究点三直观图及斜二测画法例3

用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是

变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于\f\r2,4a2 B．2eq\r2a2 \f\r2,2a2 \f2\r2,3a2

1．画几何体三视图的基本要求是：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．2．三视图的安排规则是：正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方．3．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝eq\f\r2,4S

空间几何体、三视图和直观图答案自主梳理1．1平行平行长度相等全等2公共顶点3平行于棱锥底面相似21一边所在直线2一条直角边所在直线3垂直于底边的腰所在直线4直径3正视图侧视图俯视图4斜二测145°或135°2′轴、y′轴3不变原来的一半4不变自我检测1．D[在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]2．D[A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D]3．A[∵原几何体是正三棱柱，且AE在平面EG中，∴在侧视图中，AE应为竖直的．]4．D[由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥′＝eq\f3,2BB′，且△ABC为正三角形，故正视图应为D中的图形．]5．A[底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．]课堂活动区例1解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．③④⑤⑥解析

①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥变式迁移1D[

A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．

C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]例2解题导引三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．C[当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为eq\f1,2，高为1的圆柱，体积为eq\fπ,4；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为eq\f1,2；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的eq\f1,4，且体积为eq\fπ,4]变式迁移2D[由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D]例3解题导引本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．A[按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意．]变式迁移3B[根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在轴上或与轴平行