高三不等式性质及解法

精锐教育学科教师辅导讲义学员 数：3学员 T（含绝对值不等式的解法1.（传递性）如果ab,bc那么a2.（加法性质）如果ab,那么acb3.（乘法性质）如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么ac推论1.如果ab,cd那么acbd2.如果ab,cd那么acb3.如果ab0,cd0那么ac4.如果ab0那么1 推论5.如果ab0dc0那么a 7.如果ab0那么anbn(nN*n ：对axb形式的不等式，当a0时解集为b,＋当a0时解集 b。当a0且b0时解集Ra0且b0时，解集为 a 因未限制a的符号，故axb可改为axb②一元二次不等 总可化为ax2bxc0和ax2bxc0a0两形式之一，记△=b24acax2bxcax2bxcRxxR且xb 2,x1(x2,)(x1x2x1,x2(x1x2g(x)f(x)0f(x)g(x) f(x)0f(x)gg(x) f(x0 f(x) g(x)g(x)0 f

f(x)f(x)g(x)g(x)

f(x)

f

f(x)g(x)g(x)1 23|f(x)|g(x)g(x)g(x)

f(x)

g(x)|f(x|g(x)g(x)0f(xg(x)不同时为0)f(xg(x)或f(x题型1：不等式的性例1、若abc，则一定成立的不等式是 A.acb B.ab C.acb 11 解：A错，当a c0时有acbc；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．故e2、若ab0cd0e0ea

bcd0cd0，又ab ∴acbd0， a b而e0ea b110，则下列结论不正确的是（ a2 B.ab ba D.|a||b||ab 2、已知1a1，比较1a和1

1a2

解：用做差法比较：因为(1a) 1 1 1

1

1，则

1

0，即1a111x23x4例1、不等式组x2x60的解集 （用区间表示x2

x2x2

x23xx2x

x

x(x(x1)(x2) - --- 由图知，原不等式的解集为1,012,类型三：绝对不等式的解法x3、不等式

x

|1的解集 例4、不等式(|x|2)(x1)0的解集 答案：[2,1]类型四：无理不等式5

x25x6x5(－53

x25x6x1x1 x25x6

x25x

x25x6x

或x1例6、32x x1解：定义域x-

x113x(x2)x14(x在此条件下两边再平方,(x1)(x2)(x10)解之并联系定义域得原不等式的解为{x|1x2或x x2x27、关于不等式组2x2(2k5)x5k0的整数解的集合为{2}，则实数k答案： ②当m3时，原不等式可化为x x1 m3 m301x1xm③当m3时，原不等式可化为x (x1) m3 1

m，m m 当4m3 m

xm3当m4当m4

m1m

1原不等式的解集为1x1

m①当m4时，解为1x②当m4

1；m③当4m3

m

x⑤当m3x1x1x23x20

1m2、不等式110的解 x 答案(－113A{x|x25x60,xB{x|x2a|2,xR}，若 BR，则实数a的取值范围 12

a4、不等式|x1| x

x x

的解集 答案(－,1)(1,1)5、设关于x的不等式|x24xm|x4的解集为A，且0A,2A，则实数m的取值范围 答案：[4,)6、不等式ax2bx20的解集是(1)2

解析：不等式ax2bx20的解集是(11；即方程ax2bx20x111

2 故

a b112

分析：对x分x≥0、x＜0进 解：由题意知 解得 例2、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集分析：先求方程12x2－ax＝a2的根， ＝－4， 时，－＞ a a a 时，－＞ a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R 式．(2)判断方程的根的个数， 判别式Δ与0的关系． 式．例3、已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． a－1 a＋3a的取值范围是

ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时， a＝－244 答案C．a＝01≥0 当a≠0时，须 答案

检测题2：函数f(x)＝2x2＋x－3＋log3(3＋2x－x2)的定义域 解析依题意知x≤3 [1,3)当a＝0时，x∈∅.2 a＞0ax(ax－2)＜0ax－＜0 2a＜0 2a＝0a＞0时，不等式解集为x0＜x＜aa＜0 xa f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，2－a2≥a，解得－1≤a≤1.Δ＝4a2－4(2－a)≤0或a＜－1，g－1一元二次不等 总可化为ax2bxc0和ax2bxc0a0两形式之一，记△=b24acax2bxcax2bxcRxxR且xb 2,x1(x2,)(x1x2x1,x2(x1x2

x24mx

m分析：本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算较大。若化简成|x2m|m3，则解题过简单。在解题过程中需根据绝对值定义对m3的正负进行 解析：原不等式等价于|x2m|mm30即m3x3m3或xm

x2mm3或x2m(m当m30即m3时 |x6| 当m30即m3时 形如|fx|<a，|fx|>aaR①a>0时，|fx|aa<fxa；|fx|afxafx<a②a=0时，|fx|a无解，|fx|afx③a<0时，|fx|a无解，|fx|afx举一反三：关x的不等式|kx－1|≤5的解x|－3x≤2}，求k的值分析：按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理。解析：原不等式可化为－4≤kx≤64 k当k>0时，进一步化为kxk，依题意有

4 当k<0时，x

k综合题2：若不等式|x－4|+|3－x|<a的解集为空集，求a的取值分析：0，得到的值作为的分区点，然后再分区间绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|ab|≤|a|+|b|，便把解析：（法一）(1)当a≤0(2)当a>0时，先求不等式|x－4|+|3x|a有解时a的取值范围。x－4=0x=43x=0x=3解不等式组

x

74x 23<x<44xx－3<a得ax

7

772x

x3 3，∴a 综合①②③可知，当a>10<a≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1（法二）由|x－4|+|3x|1得当a>1时，|x－4|+|3x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。∴当a>1时，|x－4|+|3x|<a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。 2）fxa有解af ；fxa解集为空集af ；这两者互补。fxa恒 af fxa有解af ；fxa解集为空集af ；这两者互补。fxa恒 af fxaaaf fxaa

f f

fxa解集为空集afxa解集为空集a

f ；这两者互补。fxa恒成立f ；这两者互补。fxa恒成立af 对任x，若不等式|x+1|－|x－2|k恒成立，求k的取值范x到－1的距离，|x－2|的几何意义x2的距离，|x+1|－|x－2|的几何意义为x到－12解析：（法一）x，－1,2P、A、B，则原不等式即求 故当k<－3时，原不等式恒成 3,x （法二）令y=|x+1|－|x－2|，则y2x1,1x -要使|x+1|－|x－2|k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可。k<－3满足题意。1x2些问题里要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<aRa的取值范围解析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1 |PA|+|PB| y （三）y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由f(x)<g(x)=a有解得a>121 ④a>0时，|fx|aa<fxa；|fx|afxafx<a⑤a=0时，|fx|a无解，|fx|afx⑥a<0时，|fx|a无解，|fx|afx学法升1、整式不等式，分式不等式，一元二次不等式以及含绝对值不等式的解法2、含参数的一元二次不等式的解法，需要分 思想，分类按照“五问法”来分类；3、含参数的绝对值不等式的需要根据含有绝对值的个数进行分 ，在作出函数的图像分 课后作 11a12<(2) 2

2

依题意得ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝1x在Rb 1 b (2)>(2)>(2)>(2)，即2<(2 可取特值 ＝2＝4]作业2：已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是 ] 1∪

作业3：不等式4≤x－2的解集是 作业4：若关于x的不等式(m－1)x<4x－x2的解集为{x|0<x<2}，则实数m的值是( 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝4x－x2和y＝(m－1)x的图象，结合题意及图象可知，函数y＝(m－1)x的图象必经过点(2,2)，即有2(m－1)＝2，求得m＝2.故选C. C．m≤－1或m≥1 ∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题 00∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1. 由①和②得m≥1，故选A. 1 >2－x，即 a≥0时，|a|＝a；a<0时 1>2隐含 证明：－3≤f(x)≤3；