2015考研数一真题及解析

8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图 ，则曲yf(x)的拐点的个数 数异号。因此，由f(x)的图形可得，曲线yf(x)存在两个拐点.故选（C）.y1e2xx1xyaybycex 个特解， a3,b2,ca3,b2,ca3,b2,c 【解析】由题意可知，e2x、exyayby0 为特征方程r2arb0a(12)3b12211y3y2ycexyxex代入得c1.故选若级数

条件收敛，则x

3与x3依次为幂级数nan(x1)n的 【解析】因为ax2为幂级数a(x1)n的条件收敛点，所以a(x n

1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na(x1)n 区间还是(0,2).x

3x3依次为幂级数na(x1)n的收敛点，发散点.故选3 D2xy14xy1yxyfxyDfxydxdyD

3

1

frcos,rsin 2sin

3

frcos,rsin 2sin

3

1sin1

frcos,rsin 2sin

3d4

12sinsin12sin

frcos,rsin22yoyo DD

f(x,y)dxdy34

sin1 2sin

f(rcosrsin)rdr，故选 1 A

，b

，若集合12，则Axb a2 d2 (A)a,d(B)a,d(C)a,d(D)a,d【解析】Ab

1 1 1 1

a d 2

(a1)(a (d1)(d r(Ar(A,b3a1或a2d1d2。故选 设二次型fx1,x2,x3在正交变换为xPy下的标准形为2y2y2y2，其中Pe1,e2,e3，若Qe1,e3,e2，则fx1,x2,x3在正交变换xQy下的标准形 2y2y2 33 2y2y2 2y2y2 2y2 xPy 0PTAP 0 0QP 1 0

xTAxyT(PTAPy2y2y2y2.

xTAxyT(QTAQy2y2y2y2。选

PABPAPPABPAP2

PABPAPPABPAP2【解析】由于ABA,ABB，按概率的基本性质，有P(AB)P(A)且P(AB)P(B)从而P(AB) ，选(C)2设 量X,Y不相关且EX2,EY1,DX3则EXXY2 (A) (B) (C) (D)44E[X(XY2E(X2XY2XE(X2E(XY2E(XD(X)E2(X)E(X)E(Y)2E(X32221225，选(D) 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在指定位置上lncoslim 112

0ln(cos

sin

tan limcosxlim 1方法二： ln(cos cosx方法二： sin2(1cosxx)dx 2224 sin 【解析】

xdx

2xdx 21cos zz(xy由方程exxyzxcosx2确定，则F(xyzezxyzxcosx2

(0,1) 55 F(x,y,z)yz1sinx,Fxz,F(x,y,z)ez x0y1ez1z0 zx(0,1)F(0,10)z

(0,1)

0，因而 是由平面xyz1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，(x

2y14

3z)dxdydz_____11(x2y3z)dxdydz6zdxdydz60zdzdxdy Dzz截空间区域1(1z)2. (x2y3z)dxdydz6zdxdydz61z1(1z)2dz31(z32z2z)dz1 20022002(13)n2020022002【答案2n1.2002202Dn00222Dn1(1)n12(1)n12Dn1002662(2Dn22)222 2222n2n1 2n1(14)设二维随量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则P{XYY0} 12X~N(1,1),Y~N(0,1X、YP{XYY0}P{(X1)Y0}P{X10,Y0}P{X10,YP{X1}P{Y0}P{X1}P{Y0}

11111 三、解答题：15～23小题,94分.请将解答写在指定位置上.解答应写出文字说明、证明(15)(10分)fxxaln(1xbxsinx，g(xkx3x0a,bk的值 ,k xaln1xbxsin

xgx【解析】法一：原式

3 3xax oxbxx ox

2 1axbax2ax3bx4 2

lim 1

即1a0,b a1,b1,k 77

xaln1xbxsinx bsinxbxcos 1 0，则a 2bcosxbxsin1lim

10b

1

2bsinxbsinxbxcos1，k a1,b1,k 在点x0,fx0处的切xx0x轴所围成区域的面积恒4，且f02，求f的表达式f(x

.4【解析fx在点x0fx0处的切线方程yfx0fx0xx0,fx00y0xfxx00 fx002fx0x0x42fx0fx40yy211xC y02，得到C111x1 888fxx4.8已知函数fx,yxyxyCx2y2xy3，求fx,y在曲【答案】【解析】因为fx,y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模fx'x,y1y,fy'x,y1xgradfx,y1y,1x，模1y21此题目1y21

，1y21在约束条件Cx21y21d(xy1y21x2在约束条件Cx2y2xy3下的最构造函Fxy1y21x2x2y2xyF21y2yx0M1,1M1,1M2,1M1,2

Fx

xy3dM18,dM20,dM39,dM49 3.(18)(本题满分10分)9,设函数u1(x),u2 ,un(x)可导，f(x)式

u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x) limu(xh)v(xh)u(xh)v(x)u(xh)v(x) 99limu(xh)v(xh)v(x)limu(xh)u(x) u(x)v(x)f(x)[u1(x)u2 u(x)u (19)(10分

un un(x) 2x2y2

u1(x)u2 L的方程为

起点为 2,0，终点为B0, 2,0，计LIyzdxz2x2ydyx2y2dzL2 2 【解析】由题意假设参数方程y 2sin，:2zπ22π22

2sincos)sin2sincos(1sin2)sin]d2sin2sincos(1sin2)sind2 2222sin2d α1α2α3内R3β=2α+2kαβ=2αβ=α+k+1α 为R α,α,当k为何值时，存在非0向量ξ在基 3与基123下的坐标相同，并求所有ξ1,2,321+2k3,22,1+k13 1,, 3 k 0 0 0 k

4 k βββ为R k11k22即

k11k22k33,k111k222k3330,ki0,i12,3k121+2k31k2222k31+k+1330k11+2k3k22k31+k30有非零解1+2k3,2,1+k3 即 00，得 k11k22k31k20,k1k3k11k13,k1

0设矩阵A 3相似于矩阵B= 0

【解析】(I)A~Btr(Atr(B3a1b AB 3 a2ab3b AA

3

1 0 0 0

3E 3 1 3

3

1 3 1 C的特征值120,30时(0EC)x0的基础解系为(2,1,0)T;3, 5时(4EC)x0的基础解系为3(1A的特征值A1C P,,

1 1 P1AP1 5 量X的概率密度为fx x(I)求Y【解析】(I)p为观测值大于3的概率，则pPX3)2xln2dx1 从而P{Yn}C1p(1p)n2p(n 121)()(

n2，n 为Y 7 7 7 7(E(Y)nP{Yn}n(n1)() (

n(n

2(

(8)

S1(x)n(n1)x

1x1

)(1x)3S2(x)n(n

xn(n

n2

xS(x) (1 2

S3(x)n(n

xn(n

xS1(x)(1x)3S(xS1(x2S2(xS3(x)E(YS7168

24x(1

1