2022届(全国乙卷)理科数学模拟试卷四(学生版+解析版)

保密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷四（全国乙卷·理科）学校: 姓名班级考号 题号题号一二三总分得分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．上．写在本试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．评卷人得分12560评卷人得分5分是集合M|ax22x10,a成立的必要不充分条件的是（ A．a(,0)C．a(,1]

1

B．a(,0]D．a(,2)2．(本题5分)设复数z是纯虚数，若z2是实数，则z=（ ）A．2i B．

C．i D．2i3．(本题5分)已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（ ）A．－6 B．6,．本题5分已知平面向量ab的夹角为,3A．4 B．2

D．10，且|a2,|b1，则|a2b（ ）6D．65．(本题5分)角终边经过点P 若把逆时针方向旋转后得到，则4tan（ ）3A．3 3

C．D．3本题5分)“”的几何体，该3几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如3图所示的曲池，其高为，AA31

底面，底面扇环所对的圆心角为 ，2

AD长度为弧BC长度的3倍，且CD2，则该曲池的体积为（ ）A．2

B．C．2

D．本题5分.入.20132019.给出三个结论：①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；①一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；①一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.其中正确的是（ ）A．① B．① C．①① D．①①8．(本题5分)若是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ A．若a//b//c，则共面 B．若过同一点，则共面C．若ac,bc，则a//b D．若a//b,ac，则bc1，9．(本题5分)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知客运车票增加了621，A．15 B．16 C．17 D．1810．(5分)fxsinx0fx个单 23 23gx的图象，点A，B，Cfxgx图象的连续相邻的三个交点，若ABC是钝角三角形，则的取值范围是（ ）3A． ,3

B． ,

2C．0, 2

3D．0, 33

2

2

3 2 25分)xyz04xC4

1,b4y1,c4z1则a,b,c三个（ ）y z x4D5分)如图所示Ax2a2

y21a0,b0上的三个点，点A，b2B关于原点对称，线段AC经过右焦点F，若BFAC且BFFC，则该双曲线的离心率为（ ）173

15 2

D．102评卷人得分10二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分评卷人得分1013．(本题5分)已知(x1)3(xa)2(aZ)的展开式中x的系数等于8，则a等于 ．14．(本题5分)正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面的棱长．15．(本题5分)已知数列an

an1an2

a an

2an1

，且a1

1,a2

1，则3

的通项公式an .16．(5分)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最10为底的常用对数lgx，并出版了常用对数表，以下是部分数据（保留到小数点后三位，瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系判断下面的结论其中正确的序号．

106,107

内；①250是15位数；①若kk，则m9；①若m100

m

是一个70位正整数，则m5．参考数据如下表：真数x235711131719lgx（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279评卷人得分三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17～212223评卷人得分（一）必考题：共60分17．(本题12分)已知①ABC中，asinA=bsinB.c=1，acosA=sinC，求①ABC.12分着“绿水青ft就是金ft银的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼x（kg）如图所示，已知P(x0.5)0.04,P(x1.5)0.26．

N2,2，内的概率；重量范围（kg）重量范围（kg）条数132①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从63条，记随机选出的3中体重在XX的分布列和数学期望；①94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000中带有标记的有2内的鱼的总数的40%鱼的条数．19．(本题12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，ABCE，AECD，BC∥AD，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.是锐角；AE=10A-BE-C.20．(本题12分)已知椭圆C

:x2y2

b0)的左、右焦点分别为F、

，P为椭1 a2 b2 1 2F；椭圆

的右焦点为抛12 1物线C2

:y22px的焦点．求椭圆C1

与抛物线C2

的方程；过椭圆CQl交抛物线CABOOA、1 21OBCD两点，OCD的面积为110

，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为S

l使得S2

S/的方程；若不存在，3 1请说明理由． 21．(12分)fxax2cosxx0, 2当a1fx的值域；2fx.（二）1022、23的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．(本题10分)在直角坐标系xOyx1tcos

中，曲线C的参数方程为x2cos为参数，直y 线l的参数方程为y2tsin

t为参数．求C和l的普通方程；若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．[选修4—5:不等式选讲]23．(本题10分)已知函数fxxa2x1．当a2fx4的解集；若fxx2成立，求实数a的取值范围．保密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷四（全国乙卷·理科）学校: 姓名班级考号 题号题号一二三总分得分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．上．写在本试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．评卷人得分12560评卷人得分 本题5分)下列选项中是“是集合M x|ax22x10,aR的真子 必要不充分条件的是（）A．a(,0)C．a(,1]B．a(,0]D．a(,2)【答案】D【分析】 由题意可知M 即方程ax22x10有实数解当a0时符合题意当a0时，由40解得a的范围即“是集合M x|ax22x10,aR的真子 立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.【详解】 若“是集合M x|ax22x10,aR的真子”所以M x|ax22x10,aR 所以方程ax22x10有实数解，当a0时，由2x10x1，符合题意，2当a0时，由40可得a1，所以a1且a0， 综上所述：M x|ax22x10,aR 的充要条件为a 即“是集合M x|ax22x10,aR的真子成立充要条件为a1；所选集合是a1的必要不充分条件，则,1应是所选集合的真子集，由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；故选：D.

1i2．(本题5分)设复数z是纯虚数，若z2是实数，则z=（ ）【答案】D

i D．2i【分析】zbi(bRb0)【详解】设zbi(bR,b0)，

1i是实数得到b.z21i所以

1i

(1i)(2bi)

2b(2b)i是实数，z2 bi2 (2bi)(2bi) 4b2所以2bz2i,z2i.故选：D3．(本题5分)已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（ ）A．－6【答案】B

B．6 C．0 D．10【分析】由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，由已知条件可得{an－bn}是常数列，从而可求得答案【详解】由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选：B.,．本题5分已知平面向量ab的夹角为,3

，且|a2,|b1，则|a2b（ ）A．4【答案】B【分析】

B．2 C．1 D．6 26先求解|a2b|的平方，因为|ab2ab ，利用平面向量相关的运算法则求解出结果，开方后求得|a2b|【详解】aab|2ab2a24abb2a24abcos4b23,因为向量ab的夹角为,3

，且|a2,|b1，ab21所以|ab2442 ab212故选：B5．(本题5分)角终边经过点P 若把逆时针方向旋转后得到，则343tan（ ）3A．3 3【答案】B

C．D．【分析】先求出tan的值，由条件可得，由正切的和角公式可得答案.4【详解】角终边经过点P 则tan

32 31 32 3把逆时针方向旋转4

后得到，所以44tantan1tan4

12 3 33所以

1tan

1 3故选：B本题5分)“”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如3图所示的曲池，其高为，AA31

底面，底面扇环所对的圆心角为AD长度为弧2BC长度的3倍，且CD2，则该曲池的体积为（ ）A．2【答案】B【分析】

B．C．2

D．利用柱体体积公式求体积.【详解】ADRBCrADBC长度3倍可知RCDRr2r2，即r1.故该曲池的体积V (R2r2)3.4故选：B本题5分.入.20132019.给出三个结论：①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越其中正确的是（ ）A．①【答案】C【分析】

B．② C．①② D．②③20132019.【详解】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故两者之间存在负相关关系，结论①正确；恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.故选：C8．(本题5分)若是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）若a//b//cC．若ac,bc，则a//b【答案】D【分析】

共面D．若a//b,ac，则bcABC三项举出反例即可说明，D选项结合线线关系即可判定.【详解】A设a,b确定的平面为，当c//时，a､b､c不共面，故A错误；Ba､b､ca､b､cB错误；C若a,b为平面cacbca,b不一定平行，C错误；D若a//bac，则bc，故D1，9．(本题5分)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知1，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（ ）A．15【答案】C【分析】

B．16 C．17 D．1831 m1 31 m1由题意得A2 A2

62化简计算可得n 由于m 10可得 ，nm n

m 2 m 2从而可求出1m8，经验证可得答案【详解】原来n个车站有A2种车票，新增了m个车站，有A2 种车票，由题意得A2nm

nA2n

nm62，即(mn)(mn1)n(n1)62，31 m1整理得2mnm2m62，∴n ，m 2∵m 1，n0，∴31m1，∴m2m620，解得1m1 249，即1m8.m 2 2当m3,4,5,6,7,8时，n均不为整数，只有当m2时，n15符合题意，mn171710．(本题5分)已知函数fxsinx0，将fx的图象向右平移个单 23 23gx的图象，点A，B，Cfxgx图象的连续相邻的三个交点，若ABC是钝角三角形，则的取值范围是（ ）A． 3,

B． ,

2C．0, 2

3D．0, 33

2

2

3 2 2【答案】D

【分析】由函数图象的平移可得gxcosxπ，作出函数的图象，结合三角函数的图象与3333性质、平面几何的知识即可得出π【详解】

1，即可得解.gxcosxπ，作出两个函数图象，如图： 3 3ABC不妨设Bx轴下方DAC的中点，.2π由对称性可得ABC是以BACT

2CD，3由cosxcosxπ，整理得cosx 3sinx，得cosx ，3则y y C B

33 33，所以BD2y2 B

2 3，要使ABC为钝角三角形，只需ACB

π即可，4由tanACB【点睛】

BD 1，所以0 π.33DC π 333关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可.5分)xyz04xC4【答案】D【分析】

1,b4y1,c4z1则a,b,c三个（ ）y z x4D由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．【详解】假设三个数4x14且4y14且4z1

4，相加得：y z x14x 1 1 4y 4z12，由基本不等式得：x y z4；1z4；14x 4；14；1z4；x y相加得：

14x14y1

4z12，与假设矛盾；x y z所以假设不成立，三个数4x1、4y1、4z1至少有一个不小于4．y z xD．【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．5分)如图所示Ax2y2a2 b2

1a0,b0上的三个点，点A，B关于原点对称，线段AC经过右焦点F，若BFAC且BFFC，则该双曲线的心率为（ ）173【答案】D

15 2

D．10210【分析】10A,C坐标利用几何条件将C达式，并代入选项验证即可得解【详解】由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，所以AB2OA2OF2cm2n2c2设Am,n且在第一象限，则满足

解得m ,nb2m2a c2a c2b2

n2

1 c ca c2b2a c2b2A ,

a2 c2a c2b2, B ,b2 a c2b2

Cx,y所以

c c

c c 设 b2c2x ,y

b2c2 因为BFAC 则yxb因为BFAC 则yxb20ca c2b2c1,化简得yxc2b2c2b21……BFFC则ca c2b22 b22c xc y将代入后可分别化简得c22c2a c2b2c2a c2b2c2b2c2b2 b2c2c将C c

c2c2a c2b2c

b2a2 a3因为在双曲线中b2

c2a2,eca

所以上式为c2b2c2c2c2b2c2c2a22c2a2 b2a 2c2a2 c22a2

c2a2a2

c22a2 a3即 a a2

整理为e22 2e211将选项代入验证，D选项满足等式故选：D评卷人得分二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分评卷人得分13．(本题5分)已知(x1)3(xa)2(aZ)的展开式中x的系数等于8，则a等于 ．【答案】2【分析】把(x1)3和(xa)2(aZ)展开，根据展开式中x的系数等于8，求出a的值．【详解】解：(x1)3(xa)2(x33x23x1)(x22axa2)，x的系数等于3a22a8，解得a2或a4，3因为aZ，所以a2．故答案为：2．14．(本题5分)正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面的棱长．6【答案】26【分析】将正四面体还原为一个正方体，由正四面体和正方体内接同一球求解.【详解】因为正四面体内接于球则相应的一个正方体内接球设正方体为ABCDABCD ，111 1则正四面体为ACBD，1 13R，则R2R3，3所以AC1

6则正方体的棱长为2 ，6所以正四面体的棱长为AD2 ，616故答案为：2615．(本题5分)已知数列an

an1an2

a an

2an1

，且a1

1,a2

1，则3

的通项公式a .n2【答案】nn1【分析】 1由已知条件可得

1 1

11，从而有1

1是以2为首项，1为公a a a a

a a n2 n1

n1 n

n1 n差的等差数列，进而可得n项和公式即可求解.【详解】

1 1a an1 n

21n1，最后利用累加法及等差数列的前a a 1 1 2 1 1 1 1,得解：由an1,得

n1

2an1 a

a a

1，则

1，a a a

a an2由a1,a

n1得11

2

n2

n

n2

n1

n1 n1 2 3 a a2 1所以1 1是以2为首项，1为公差的等差数列，a a1所以a

n1a

n21n1，n1 n当n21

1

1 1

1

1

11a an n

n1 n1

a a a an2 2 1 1a n121n1a 2所以a 2 ，n nn11当n1a1也适合上式，1所以a 2 ，n nn12故答案为：nn1.16．(5分)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最10为底的常用对数lgx，并出版了常用对数表，以下是部分数据（保留到小数点后三位，瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系判断下面的结论其中正确的序号．

106,107

内；15位数；③若kk，则m9；④若m100

N

是一个70位正整数，则m5．参考数据如下表：真数x235711131719lgx（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279【答案】①④【分析】利用对数的运算性质求出lgN，由此分析求解即可．

220，则lglg22020lg2200.3016.02，所以106,107 ， 因为lg25050lg2500.30115.05，所以250

，即250是16位数，故②错误；因为lg32020lg3200.4779.54，即320109.54100.461010，所以kk，则m10，则③错误；因为lgm100100lgm

是一个70位正整数，所以69100lgm70，所以0.69lgm0.7，所以m5，故④正确故答案为：①④评卷人得分三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17～212223评卷人得分（一）必考题：共60分17．(本题12分)已知△ABC中，asinA=bsinB.c=1，acosA=sinC，求△ABC.【答案】（1）证明见详解1（2）1

3或1 32 4 2 4【分析】利用正弦定理即可得证；利用正弦定理求出，利用余弦定理求出a.（1）证明：在三角形中，根据正弦定理a b又asinAbsinB

sinA sinBa2b2，即ab，得证（2）解：由上式可知aba c根据正弦定理cc1

sinA sinCsinCsin(2A)sin2AsinAa2sinAcosAsinAcosA1a 2aacosAsinCsinC12故C或C6 6根据余弦定理有a2b22abcosC2a22a2cosCc21cosC 3或cosC 32 2代入上面式子可得a22ABC所以当C时，SABC

或a22331 1 1 1 absinC a2sinC (2 3) 3331 1 1 1 当C56

6

2 2 2 2 2 43ABC1 1 1 1 absinC a2sinC (2 3) 3ABC1 1 1 1 2 2 2 2 2 412分着“绿水青ft就是金ft银的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼x（kg）如图所示，已知P(x0.5)0.04,P(x1.5)0.26．

N2,2，内的概率；重量范围（kg）重量范围（kg）条数132633中体重在XX的分布列和数学期望；941000中带有标记的有2内的鱼的总数的40%鱼的条数．【答案】（1）0.22；（2）①分布列见详解；1；②47000；4136.【分析】根据正态分布曲线的对称性有P(2.5x3.5)P(0.5x1.5)P(x1.5)P(x0.5)，计算后即可得出答案；X0，1，2情况的概率，可得到其分布列，再由公式求出数学期望；N 1000②设水库中共有N条鱼，根据题意有 ，先求出N，又由（1）可知94 2P(2.5x3.5)0.22，从而可求出应捕捞体重在[2.5,3.5]内的鱼的条数.（1）解：已知鱼的重量x（单位：kg）近似服从正态分布x

N2,2，由正态分布的对称性可知，P(2.5x3.5)P(0.5x1.5)P(x1.5)P(x0.5)0.260.040.22，0.22.（2）6条鱼中，体重在263X0，1，2，C0C3 4P(X0)

2 4 ；C3 206C1C2 12P(X1)

2 4 ；C3 206C2C1 4P(X2)

2 4 ；C3 206XP所以XXP0124124202020数学期望EX04112241.20 20 20N②设水库中共有N条鱼，根据题意有

1000，则N10009447000（条，2所以估计水库中有47000条鱼；由（1）可知P(2.5x3.5)0.22

94 2则体重在[2.5,3.5]内的鱼应捕捞470000.220.44136（条）.19．(本题12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，ABCE，AECD，BC∥AD，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.是锐角；AE=10A-BE-C.【答案】6109（1）证明见解析6109（2）109【分析】ABDCMEBCE和平面ABE.（1）延长AB、DC交于点M，连接EM，如下图所示：因为AD2BC10，所以BC为AMDABBM3CDCM4BC5，BM2CM2BC2，故CDAB，ABCE，AECDCECDCABDEMCDAME，因为MEDEMMEAME所以MEABMECD，ABCDM，所以ME

AEA，令MEt0AE2AM2ME236t2DE2DM2ME264t2，所以cosAED

AE2DE2AD2

t2 0，所以AED是锐角.（2）

2AEDE AEDE以M为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系：由题意可知，A(0,6,0)，B(0)，E(0,0,8)，C(4,0,0)，D(8,0,0)，M(0,0,0)，BC

，BE

，CD(4,0,0)，n(x,y,z设平面BCEn(x,y,z1 1 1由BCn04x3

0

8

6，

3， 1 1BEn0

3y8z0 1 1 11 1从而n(6,8,3)从而因为CDAME

CD

是平面ABE的一个法向量，ABEC为钝二面角，6109| 6109故cos

nCD|| n|

，109从而二面角A-BE-C的余弦值

.6109109610920．(本题12分)已知椭圆C

:x2y2

b0)的左、右焦点分别为F、

，P为椭1 a2 b2 1 2F；椭圆

的右焦点为抛12 1物线C2

:y22px的焦点．求椭圆C1

与抛物线C2

的方程；过椭圆C1

的右顶点Q的直线l交抛物线C2

ABO、OB分别交椭圆于C、D两点，OCD的面积为S1

，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为S

l使得S2

10S3

？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．【答案】x2y21y24x4 3xy20xy20．【分析】由焦点三角形周长，通径和椭圆的关系式可求abc，进而求解CC；1 2lxmy2Ax

、Bx

、Cx,y

、Dx,

，联立直1 1 2 2 3 3 4 4线与抛物线方程，得出关于y,y1 2S

的韦达定理，再通过OA,OB直线方程联立椭圆方程求1|OA||OB|sinAOB2出y,y3 4

，结合正弦面积公式

AOBS1

1|OC||OD|sin2

进一步化简即可求解.（1）由题意得32a6 a232b2

3 ，解得， a ca2b2c2 所以椭圆的方程x2y2

1，抛物线的方程为y24x；4 3（2）由题意得l0l的方程为xmy2Ax

Bxy、Cx,y3 3

Dxy，4 4

1 1 2 2xmy2由 y24x

，得y24my80,yy1 2

4m,yy12

8，10 S

1|OA||OB|sin2

|OA||OB| 13∵S 2

S，∴ 3 1 S

1|OC||OD|sin

，|OC||OD| 31 2 3 4 34y1yy2yyyy1yy2yyy12yy∵y24x，∴直线的斜率为1 ，即直线的方程为y x，1 1y4 y由 1

y2

x y y1 1 1 364 ，x24

y213

3364

3y2641y24

3y264，2364 364 64y2y2 ，3 4 3y264 3y264 48m21211S 2

2yy12yy22121yy12yy22∴ AOB

，S1 34

9 32得m1，l，方程为xy20xy20． 21．(12分)fxax2cosxx0, 2当a1fx的值域；2fx.【答案】2,（1） 8 1 （2）当a 或a 时，fx无极值点，当1x1 时，f(x)有1个极大值1 2 2 点，无极小值点.【分析】f(xfx的值域；对参数a.（1）因为fx1x2cosx，所以f(x)xsinx，2gx)xsinxgx1cosx， x0,gx0g(x 2g(x)g(0)0f(x0， 所以f(x)在x0,2上单调递减， 2f(0)1,f( ) ，2 8fx2 8 8（2）fxax2cosxfx)2axsinx，设hx)2axsinxhxcosx， x0,，则cosxhx2a,2a 2（1）当2a10，即a1hx0h(xhx)h(0)0，2f(x)0f(xf(x无极值，（2）当0，即a0hx0h(xhx)h(0)0，f(x)0f(xf(x无极值，2a0当

即1a0hxx0,上单调递减，2a10 2

2x

，使得hx

0，即2acosx

0，

0,，0 0

0 2当0xx0hx0h(x单调递增，当xx0 2

hx0h(x单调递减，因为h(0)0，所以h(x0

)0，ha1，22①当a10，即1

a0时，h20，即h(x)0恒成立， 即f(x)0，f(x)单调递增，f(x)无极值，②当a10，即1a12

h20，则存在x

x

,，使得hx0，1 02 1x0,xh(x)0fx)0f(x单调递增，1xx,时，h(x)0，f(x)0，f(x)单调递减，21