控制系统的数学模型及性能分析

关于控制系统的数学模型及性能分析1第1页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四2

数学模型通常是指表示该系统输入和输出之间动态关系的数学表达式。具有与实际系统相似的特性，可采用不同形式表示系统内外部性能特点。建立系统数学模型，一般是根据系统实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。2.1.1数学模型的含义2.1数学模型概述第2页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四3

2.1.2数学模型的建立方法（1）解析法：根据系统内在运动规律及系统结构和参数，按照元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系，最终推导出系统输入和输出之间关系的数学表达式。（2）实验法：对系统加入特定输入信号，采用检测仪器对系统的输出响应进行测量和分析，得到相关实验数据，从而建立系统的数学模型。第3页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四42.2微分方程2.2.1微分方程的建立1.实例分析【例2.1】由弹簧—质量—阻尼器构成的机械位移系统如图2-1所示。该系统表示质量为的物体受到外力的作用，克服阻尼器的阻力和弹簧力产生位移的运动规律。建立该系统的微分方程。第4页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四5图2-1机械位移系统第5页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四6解：系统输入量是外力，输出量为位移。（1）机械位移系统的受力情况可根据牛顿运动定律表示为：

（2）从式中可看出，系统有3个中间变量，即物体运动的加速度、阻尼器的阻力、弹簧力，为了得到系统输入量和输出量之间的描述，需要找出中间变量与位移Y的对应关系：；加速度是位移对时间的二次导数第6页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四7

（3）将上述中间变量带入原始方程式中，削去中间变量整理可得到系统的输出量和输入量之间的数学描述：；阻尼器的阻力与物体运动速度成正比；弹簧力与物体的位移成正比第7页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四82.建立微分方程的过程和步骤（1）根据系统性质确定给定的输入输出变量；（2）根据系统或元部件遵循的物理化学定律列出原始方程式，忽略一些次要因素影响；（3）找出原始方程式中间变量与其它因素关系式；（4）消去中间变量得到系统输出与输入变量之间的微分方程式；（5）按照规范书写方式，将微分方程各项输出量位于等号左端，各项输入量位于等号右端，且按阶次降幂排列。第8页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四9

2.3.1传递函数的基本知识1.传递函数的定义线性定常系统在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数，可表示为：2.3传递函数第9页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四102.传递函数的求取如果已知系统的微分方程，将等号两端的各项进行相应的拉普拉斯变换，根据传递函数的定义，即可得到该系统的传递函数描述。【例2.5】弹簧—质量—阻尼器构成的机械位移系统如图2-1所示，求取该系统的传递函数。解：根据【例2.1】中的分析，已知该系统微分方程为：

第10页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四11（1）根据拉普拉斯变换的性质，对上式两端各项分别取拉氏变换如下：

第11页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四12（2）令系统的初始条件为零，将微分方程所对应的各项拉氏变换带入原始方程，合并同类项后可得：（3）按传递函数定义，取系统输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：第12页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四13

3.传递函数的性质（1）只适用于线性定常系统。（2）只能反映系统在零初始状态下输入与输出变量之间的动态关系。（3）由系统的结构和参数来确定，与输入信号的形式无关。（4）同一个系统对于不同作用点的输入信号和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。（5）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统可有相同的传递函数。第13页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四144.传递函数的零极点表示线性定常系统传递函数其分子和分母均为S的多项式，利用数学手段可将其分解为因式相乘的关系：（1）k为常数，也称为放大系数或系统增益；（2）为传递函数的分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；第14页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四15

（3）为传递函数的分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。（4）系统的结构和参数决定了传递函数的零、极点分布，而系统的稳定性和动态性能将取决于传递函数零、极点在S复平面上的分布情况。第15页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四162.3.2典型环节及其传递函数在控制系统性能分析中，传递函数具有一般性，可将系统传递函数分解为若干个典型环节的组合，便于讨论系统的各种性能。常用的典型环节主要有：比例环节惯性环节一阶微分环节积分环节振荡环节延迟环节第16页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四17

2.3.3自动控制系统的传递函数

如图2-8所示的闭环控制系统：

图2-8闭环控制系统典型结构图第17页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四181.系统开环传递函数闭环系统在开环状态下的传递函数称为系统的开环传递函数。表示为：

从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。第18页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四192.输入信号作用下的系统闭环传递函数令干扰信号为0，系统输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。表示为：第19页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四203.干扰信号作用下的系统闭环传递函数令输入信号为0，系统输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。

表示为：第20页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四214.闭环系统的误差传递函数（1）输入信号作用下的误差传递函数令干扰信号为0，以E(S)为输出信号，与输入信号R(S)之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。表示为：

（2）干扰信号作用下的误差传递函数令输入信号为0，以E(S)为输出信号，与干扰信号N(S)之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统误差传递函数。表示为：

第21页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四225.系统的总输出在输入信号和干扰信号的共同作用下，系统的总输出可以采用叠加原理来求得。组合可得系统的总输出为：第22页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四232.4动态结构图及其等效变换

动态结构图是描述控制系统一种常见数学模型，可表示复杂控制系统的内部结构，采用特定的方框图形式，将方框图中各时域变量用拉普拉斯变换代替，方框中元件名称用传递函数表示，标明信号的传递方向。特点是直观形象，易于系统的性能分析和中间变量的讨论。2.4.1结构图的组成及绘制

1.结构图的组成符号、名称及功能系统动态结构图的组成符号主要有4种，如图2-9所示。第23页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四24图2-9系统动态结构图的组成符号（1）信号线：信号流通方向，标明信号对应变量。（2）引出点：信号从该点取出。（3）比较点：表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加。（4）方框：表示输入、输出信号之间的动态传递关系。方框输出信号＝方框输入信号×方框中传递函数第24页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四25

2.结构图的绘制步骤（1）列出系统中各元部件的微分方程，确定系统输入、输出变量。（2）以典型环节或组合来取代系统中的具体元部件，将各环节的传递函数填入方框中，标出信号及其流向。（3）按系统中信号的流向，把代表各环节的方框连接起来即构成系统的结构图。第25页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四262.4.2结构图的等效变换1.串联结构的等效变换如果前一环节的输出量是后一环节的输入量，就称为环节的串联连接，如图2-12所示。图2-12环节的串联等效第26页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四27串联等效环节的传递函数为：可见，串联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的乘积。当n个环节串联时，忽略负载效应后，其等效传递函数为：第27页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四28

2.并联结构的等效变换如果各环节的输入信号相同，输出在相加点进行叠加，就称为环节的并联连接，如图2-13所示。图2-13环节的并联等效第28页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四29并联等效环节的传递函数为：

可见，并联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的代数和。当n个环节并联时，其等效传递函数为：

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3.反馈结构的等效变换如果环节的输出信号反馈到输入端与输入信号进行比较即为反馈连接，如图2-14所示。进入比较器的信号极性相同称为正反馈；进入比较器的信号极性相反称为负反馈。

图2-14环节的负反馈连接第30页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四31负反馈连接的系统闭环传递函数为：当反馈环节的传递系数时，称为单位反馈系统。第31页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四322.5状态空间描述在系统性能分析与仿真时，常常要考虑到系统内部各变量的状态和初始条件，此时可采用状态空间描述。2.5.1状态变量设控制系统的输入量为U，输出量为Y，描述系统动态过程的微分方程可以表示为：

引入n个状态变量第32页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四33这n个状态变量的一阶导数与状态变量和微分方程各导数项对应关系为：第33页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四34

2.5.2状态方程将矩阵进行简化，可得到如下表达式：称为系统的状态空间描述。其中：

A——状态变量系数矩阵

B——输入变量系数矩阵

C——输出变量系数矩阵

——称为系统的状态方程

——称为系统的输出方程第34页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四35

2.6数学模型的相互转换2.6.1数学模型转换的意义实际工程中，解决自动控制问题所需要的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往是不一致的，要得到最简单而又最方便的数学模型，就需要对给定控制系统的数学模型进行转换。在不同应用场合，由于实际系统所给定的数学模型形式各异，在仿真时要进行模型的转换，即将给定模型转换为仿真程序能够处理的模型形式。通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式，当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。

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2.6.2数学模型转换的应用实例

【例2.10】某控制系统的微分方程为将其分别转换为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。解：（1）将微分方程两端取拉普拉斯变换，并令初始值为零，有以下表示：第36页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四37根据传递函数定义有：

（2）给定为二阶系统，可以引入两个状态变量，转换成一阶微分方程组形式：第37页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四38（3）按照状态空间描述，将各变量和系数用矩阵表达为：

第38页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四392.7控制系统的时域分析法

2.7.1典型输入信号及其响应1.概述系统在给定信号作用下的输出随时间变化的状况称为系统的响应。暂态响应反映出系统在过渡过程中的各项动态性能指标；稳态响应反映出系统的稳定性和稳态误差的大小。第39页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四402.典型输入信号工程设计中比较常见的典型输入信号主要有以下5种：（1）阶跃函数信号（2）斜坡函数信号（3）抛物线函数信号（4）脉冲函数信号（5）正弦函数信号第40页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四413.典型信号的响应初始状态为零的控制系统在典型输入信号作用下的输出称为典型信号的响应。工程中3种常用的典型输入信号响应如下：（1）单位阶跃响应（2）单位斜坡响应（3）单位脉冲响应第41页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四42

2.7.2一阶系统的时域响应一阶系统是指采用一阶微分方程来描述其暂态过程的系统，典型结构如图2-16所示。图2-16一阶系统结构图系统传递函数为：第42页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四431.一阶系统的单位阶跃响应

一阶系统单位阶跃响应的特点是：在单位阶跃信号作用下，系统输出量随时间变化的规律是单调上升的指数曲线，响应的最终稳态值为1，惯性时间常数T是描述系统响应速度的唯一参数，Ｔ值越小，暂态过程时间越短，响应速度越快。第43页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四442.一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位斜坡响应存在一个位置误差，其数值等于时间常数T，T值越小，跟踪误差也越小。

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3.一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应是一条单调下降的指数曲线，输出量的初始值为，时系统达到稳态，输出稳态分量为零。

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2.7.3二阶系统的时域响应1.二阶系统模型与参数的对应关系采用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统，其典型结构如图2-20所示。图2-20二阶系统结构图第46页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四47二阶系统的传递函数为：

求解二阶系统的闭环特征方程：可得到方程的特征根：

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3.二阶系统的性能指标计算为了方便分析，设定二阶系统工作在欠阻尼状态下，输入单位阶跃函数，其单位阶跃响应如图2-22所示。图2-22二阶系统欠阻尼状态下的单位阶跃响应第48页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四49

2.7.4控制系统的稳定性分析1.系统稳定的概念如果系统受到内外部干扰偏离原来的平衡状态，在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的性能，且去掉扰动量后系统能够按照一定精度恢复到原始状态，这样的系统就称为稳定的系统，反之，则称为不稳定系统。稳定性是去掉扰动后系统自身的一种恢复能力，是系统的固有特性，这种特性只取决于系统本身的结构和参数，而与外作用信号及初始条件无关。第49页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四50

2.系统稳定的条件（1）稳定的必要条件是特征方程式的系数具有相同的符号，且均不为零，也即特征方程不缺项。（2）稳定的充要条件是特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在S平面的虚轴之左。3.劳斯稳定判据英国人E.J.劳斯（Routh）提出一种代数判据，根据系统特征方程式的系数直接判断特征根的实数部分的符号，从而确定系统的稳定性。第50页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四51已知控制系统的特征方程为：

将特征方程的系数组合成劳斯阵列表，劳斯稳定判据有如下内容：（1）系统特征方程系数全部为正，且不缺项；（2）劳斯阵列表中第一列所有元素的值均大于零；（3）当劳斯阵列表第一列元素值出现负号时，表示系统不稳定，符号改变的次数等于系统特征右根的个数。第51页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四524.劳斯稳定判据的应用劳斯判据可判断给定系统的稳定性，也可判断系统特征根位置的分布情况，还可合理选择使系统稳定的开环放大系数。第52页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四532.7.5控制系统的稳态误差分析

1.稳态误差是衡量系统控制精度的性能指标，在特定输入信号作用下由系统结构和参数来决定。

2.静态误差系数法是分析讨论系统稳态误差的一种常用方法，利用拉普拉斯变换的终值定理进行计算。

3.静态误差系数与系统的稳态误差成反比关系，对于稳定的系统，静态误差系数反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数越大，稳态误差越小；而系统的型别越高，限制或消除稳态误差的能力就越强。

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4.减少和消除稳态误差的方法（1）组成系统的元器件应具备较高的精度和稳定性。（2）在前向通道中串联放大环节，提高系统开环放大系数，降低系统稳态误差。（3）在前向通道中串联积分环节，可提高系统型别，增强系统跟随输入信号的能力。（4）通过误差补偿或局部校正，可减小系统内外部扰动信号所引起的稳态误差。第54页，共60页，2022年，5月20日，23点2分，星期四552.8控制系统的频率分析法频域内讨论系统性能的方法称为频率分析法，其实质是采用频率特性来研究系统控制过程的性能，包括系统的稳定性、动态性能及稳态精度。该方法间接运用系统开环频率特性曲线来分