学案2导数的应用课件

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1.函数的单调性（1）一般地，设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果>0,则f(x)为

；如果<0，则f(x)为

.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法:①确定函数f(x)的定义区间;②求，令

，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根;增函数减函数名师伴你行SANPINBOOK返回目录1.函数的单调性增函数减函数名师伴你行S③把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定f′(x)在各小开区间内的符号，根据

判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值(1)极值的概念一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点，都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))，则称f(x0)为函数的一个

，称x0为

.极大(小)值极大（小）值点名师伴你行SANPINBOOK返回目录

③把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和（2）求可导函数f(x)的极值的步骤:①求导数；②求方程=0的根；③检查在方程=0的根的左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得

；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f(x)在这个根处取得

.极大值极小值名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）求可导函数f(x)的极值的步骤:极大值极小３.函数的最大值与最小值（１）设y=f(x)是定义在区间［a,b］上的函数，y=f(x)在（a,b）内有导数，求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值，可分两步进行:①求f(x)在(a,b)内的极值;②将f(x)的各极值与

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.（２）若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)为函数的

，f(b)为函数的

；若函数f(a)在［a,b］上单调递减，则f(a)为函数的

，f(b)为函数的

.f(a),f(b)最小值最大值最大值最小值名师伴你行SANPINBOOK返回目录

３.函数的最大值与最小值f(a),f(b)最小值最考点一函数的单调性与导数【例1】已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.【分析】求f(x)的导数，令f(x)>0即可求增区间；令<0,求减区间，但解题过程中要注意讨论参数a的范围.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【例1】已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.【【解析】函数f(x)的导数:=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.(2)当a>0时,由2x+ax2>0,解得x<-或x>0;由2x+ax2<0,解得-<x<0.所以,当a>0时,函数f(x)在区间（-∞,-）内为增函数,在区间（-,0）内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】函数f(x)的导数:名师伴你行SANPINBOOK返(3)当a<0时,由2x+ax2>0,解得0<x<-;由2x+ax2<0,解得x<0或x>-.所以当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间（0,-）内为增函数,在区间（-,+∞）内为减函数.【评析】本题通过求单调区间考查导数的性质，通过解不等式考查了学生的运算能力及分类讨论的数学思想.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(3)当a<0时,【评析】本题通过求单调区间考查导数的性质，＊对应演练＊设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中实数a≠0.（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（2）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（3）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（（1）∵=3x2+2ax-a2=3（x-）(x+a),又a＞0,∴当x＜-a或x＞时，＞0;当-a＜x＜时，＜0,∴f(x)在（-∞,-a）和（，+∞）内是增函数，在（-a，）内是减函数.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（1）∵=3x2+2ax-a2=3（x-（2）由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1.即x［x2-(a2-2)］=0恰有一根（含重根）.∴a2-2≤0,即.又a≠0,∴a∈［)(］.∵g(x)=a（x-）2+1-,∴h(a)=1-,a∈(0,］,∴h(a)的值域为(-∞,1-］.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1.名（3）当a＞0时，f（x）在（-∞,-a）和（，+∞）内是增函数，g（x）在（，+∞）内是增函数.a＞0a≥a≥当a＜0时，f（x）在（-∞,）和（-a，+∞）内是增函数，g（x）在（-∞,）内是增函数.a＜0a+2≤,a+2≤综上可知，实数a的取值范围为（-∞,-3］∪［1,+∞).由题意得，解得a≥1.由题意得解得a≤-3.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（3）当a＞0时，f（x）在（-∞,-a）和（，+∞考点二函数的极值与导数【例2】已知a∈R，讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.【分析】先求f′(x)，再令f′(x)=0，求出方程的解.通过列表判定f′(x)的符号来确定是否是极值点，是极大值点还是极小值点.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【例2】已知a∈R，讨论函数f(x)=ex(x【解析】f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.（1）当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2，不妨设x1<x2,于是f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).从而有下表：x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)f(x1)为极大值f(x2)为极小值↗↗↘即此时f(x)有两个极值点.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+（2）当Δ=0即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是f′(x)=ex(x-x1)2,故当x<x1时，f′(x)>0；当x>x1时，f′(x)>0，因此f(x)无极值.（3）当Δ<0即0<a<4时，x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0,故f(x)为增函数，此时f(x)无极值.因此当a>4或a<0时，f(x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f(x)无极值点.【评析】f′(x)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件.要注意总结求极值的步骤和方法.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）当Δ=0即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(＊对应演练＊设函数f(x)=ln(x+a)+x2.（1）若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊设函数f(x)=ln(x+a)+x2.名师伴你行(1)f′(x)=,依题意，有f′(-1)=0,故a=.则f(x)的定义域为（,+∞）.当<x<-1时，f′(x)>0;当-1<x<时，f′(x)<0;当x>时，f′(x)>0.从而f(x)分别在区间（,-1）,（,+∞）上单调递增，在区间（-1,）上单调递减.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(1)f′(x)=,名师(2)f(x)的定义域为（-a,+∞）,方程2x2+2ax+1=0的判别式Δ=4a2-8.①若Δ<0,即-<a<,在f(x)的定义域内f′(x)>0,故f(x)无极值.②若Δ=0,则a=或-.若a=,x∈(-,+∞),当x=时，f′(x)=0;当x∈（-,-）∪（-,+∞）时，f′(x)>0，所以f(x)无极值.若a=-,x∈(,+∞),f′(x)=>0,f(x)也无极值.③若Δ>0,即a>或a<-,名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(2)f(x)的定义域为（-a,+∞）,名师伴你行SANPI则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根当a<-时，x1<-a,x2<-a,从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值；当a>时，x1>-a,x2>-a,f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f(x)在x=x1,x=x2处取得极值.综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(,+∞).所以f(x)的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)++ln(x2+a)+=ln+a2-1>1-ln2=ln.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根名师伴你行考点三函数的最值与导数【例3】如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进.与此同时，乙以每小时10km的速度向其正北方向跑步前进.问经过多少时间甲、乙相距最近？【分析】引入变量，建立目标函数，用导数法求最值.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【例3】如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑【解析】设经过x小时甲、乙相距f(x)km，此时甲到达位置A，乙到达位置B.故问题转化为在x>0时，求f(x)的最小值点.令f′(x)=0得x=4.在区间(0,4)内,f′(x)<0，函数f(x)单调递减；在区间(4,+∞)内，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.故x=4为其极小值点，也是最小值点.所以当x=4（小时）时，甲、乙两人相距最近为20km.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】设经过x小时甲、乙相距f(x)km，此时甲到达位置【评析】（1）注意到f(x)>0，因而只要求出［f(x)］2的最小值点即可.（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′(x)=0,且在两侧f′(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】名师伴你行SANPINBOOK返回目录＊对应演练＊某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，即，所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+）x=256（）+（2+）x=+m+2m-256.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，名师伴你行SAN（2）由（1）知，f′(x)令f′(x)=0,得=512，所以x=64.当0＜x＜64时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，64）内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0