学案1离散型随机变量的分布列课件

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1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做

.（1）离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值，可以

，这样的随机变量叫做离散型随机变量.（2）连续型随机变量:如果随机变量可以

，这样的随机变量叫做连续型随机变量.随机变量按一定次序一一列出取某一区间内的一切值名师伴你行SANPINBOOK返回目录1.随机变量的概念随机变量按一定次序一一列出（3）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a,b是常数，则η

.2.离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）：设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ=xi)=pi，则称表为随机变量ξ的

，简称为ξ的

.也是随机变量ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…概率分布分布列名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（3）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a,b是常数，则也是（2）二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=

.其中k=0,1,…,n,q=1-p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从

，记作ξ~B（n,p），其中n,p为参数，并记k=b(k;n,p).二项分布ξ01…k…nP……名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在考点一随机变量的分布列【例1】已知随机变量ξ的分布列为：分别求出随机变量η1=ξ,η2=ξ2的分布列.ξ-2-10123p名师伴你行SANPINBOOK返回目录

考点一随机变量的分布列【例1】已知随机变量ξ的【分析】根据题设，随机变量的数值将发生变化，解题时，应注意变化后的随机变量与相应的概率之间的关系.【解析】由于η1=ξ，对于不同ξ的取值-2,-1,0,1,2,3可得到不同的η1,即η1=-1，-，0，，1，.显然，尽管分布列中的随机变量的数值已经产生了变化，但其相应的概率并不发生变化，故η1=ξ的分布列为:名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【分析】根据题设，随机变量的数值将发生变化，解题时，应注意变由于η2=ξ2对于ξ的不同取值-2，2及-1，1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4时，其概率应是ξ取-2与2时的概率之和；η2取1这个值的概率应是ξ取-1与1时的概率之和，故η2的分布列为:ξ-101p名师伴你行SANPINBOOK返回目录

ξ-101p名师伴你行SANPINBOOK返回目录【评析】在得到η1或η2的分布列中，η1或η2的取值中，要求无重复的数值，相应的概率均应非负，且每项之和等于1.η20149p名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】在得到η1或η2的分布列中，η1或η2的取值中，＊对应演练＊设随机变量ξ的分布列P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5).求：（1）常数a的值；（2）P(ξ≥);（3）P(<ξ<).（1）a·1+a·2+a·3+a·4+a·5=1，得a=.（2）分布列为P(ξ=)=k(k=1,2,3,4,5),名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊设随机变量ξ的分布列P(ξ=)=ak(k=解法一：P(ξ≥)=P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)=++=.解法二：P(ξ≥)=1-[P(ξ=)+P(ξ=)]=1-(+)=.（3）因为<ξ<，只有ξ=,,时满足，故P(<ξ<)=P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)=++=.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

解法一：P(ξ≥)=P(ξ=)+P(ξ=考点二求随机变量的分布列【例2】某君参加射击，击中目标的概率为.（1）设ξ为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ的分布列；（2）设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求η的分布列；（3）若他连续射击6次，设δ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求δ的分布列；（4）若他只有6颗子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数ξ的分布列.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【例2】某君参加射击，击中目标的概率为.名师伴你行【分析】这4个小题中的随机变量的意义都很接近，因此准确定义随机变量的意义是解答的关键.【解析】（1）随机变量ξ服从二项分布B(6,)，而ξ的取值为0,1,2,3,4,5,6,则P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4,5,6)，故ξ的分布列为：ξ0123456P名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【分析】这4个小题中的随机变量的意义都很接近，因此准确定义随（2）设η=k表示他前k-1次未击中目标，而在第k次射击时击中目标，则η的取值为全体正整数1,2,3,…该君射击过程可看作取球过程，击中一次目标看作取出一个绿球，而未击中目标看作取出一个红球，所以η表示前k-1次取得红球，而第k次取得绿球，这种取球显然是有放回的取球，则P(η=k)=(k=1,2,3,…).故η的分布列为：η123…k…P……名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）设η=k表示他前k-1次未击中目标，而在第k次射击时击（3）设δ=k表示前k次未击中目标，而第k+1次击中目标，δ的取值为0,1,2,3,4,5，当δ=6时表示射击6次均未击中目标，则P(δ=k)=(k=0,1,2,3,4,5)，且P(δ=6)=.故δ的分布列为：δ0123456P名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（3）设δ=k表示前k次未击中目标，而第k+1次击中目标，δ（4）设ξ=k表示前k-1次未击中，而第k次击中，k=1,2,3,4,5,∴P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5)；而ξ=6表示前5次未击中，∴P(ξ=6)=.ξ的分布列为：ξ123456P名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（4）设ξ=k表示前k-1次未击中，而第k次击中，k=1,2【评析】从上面各小题可以看出求随机变量的分布列，必须首先弄清ξ的含义及ξ的取值情况，并准确定义“ξ=k”,问题解答完全后应注意检验分布列是否满足第二条性质.注意射击问题与返回抽样问题是同一类问题.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】从上面各小题可以看出求随机变量的分布列，＊对应演练＊从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列.（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件（1）ξ的取值为1,2,3,4.当ξ=1时，即只取一次就取得合格品，故P（ξ=1）=；当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P（ξ=2）=×=.类似地，有P（ξ=3）=××=,P(ξ=4)=×××=，所以，ξ的分布列为：ξ1234P名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（1）ξ的取值为1,2,3,4.ξ1234P名师伴你行SAN（2）ξ的取值为1,2,3,…,n,….当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故P（ξ=1）=；当ξ=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P（ξ=2）=×;当ξ=3时，即第一、第二次均取到次品，而第三次取到合格品，故P(ξ=3)=××=()2×.类似地，当ξ=n时，即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品，故P(ξ=n)=（）n-1,n=1,2,3,…因此，ξ的分布列为：ξ123…n…P……名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）ξ的取值为1,2,3,…,n,….ξ123…n…P……（3）ξ的取值为1,2,3,4.当ξ=1时，即第一次就取到合格品，故P(ξ=1)=.当ξ=2时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时，这批产品有11个合格品，2个次品,故P(ξ=2)=×=;类似地，P(ξ=3)=××=,P(ξ=4)=×××=.因此，ξ的分布列为：ξ1234P名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（3）ξ的取值为1,2,3,4.因此，ξ的分布列为：ξ123考点三分布列的应用【例3】甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布及不用赛满五局就能决出胜负的概率（精确到0.0001）.【分析】五局三胜制，比赛局数最少要进行三局，最多要进行五局，即ξ的可能取值为3,4,5;而不用打满五局，即比赛场数为3场或4场.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【例3】甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲【解析】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4.比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局.因而P(ξ=3)=0.63+0.43=0.28.比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜.因而P(ξ=4)=×0.62×0.4×0.6+×0.42×0.6×0.4=0.3744,比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜.因而名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,乙队胜甲队的概率为P(ξ=5)=×0.62×0.42×0.6+×0.62×0.42×0.4=0.3456.所以ξ的概率分布为:p=p(ξ=3)+p(ξ=4)=0.28+0.3744=0.6544.ξ345P0.280.37440.3456则比赛不用赛满五局就能决出胜负的概率名师伴你行SANPINBOOK返回目录

P(ξ=5)=×0.62×0.42×0.6+【评析】（1）关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：①写出ξ的所有可能取值；②利用随机事件概率的计算方法，求ξ取各个值的概率；③利用①②的结果写出ξ的分布列.（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取此范围内各个值的概率之和.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】（1）关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：名师伴＊对应演练＊某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,,，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示).名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回解法一：（１）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ａi(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=∴该选手被淘汰的概率P(A1+A1A2+A1A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)（2）ξ的可能值为１，２，３.P(ξ=1)=P(A1)P(ξ=2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(ξ=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)名师伴你行SAN