扩展欧几里得算法详细举例解析_第1页
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扩展得算？②amodba-[a/b]b（[a/b]Pascaladivb）a|bmoda=0③(a,b)表示a和b的最大公约（这很重要现在证明一个重要的定理：(a,b)是a和b的最小的正线性组合例：a=6b=4，最小正线性组合为1*a+(-1)*b=2=(a,b)证明设(a,b)为d，ab的最小的正线性组合为∵d|a∴d|samods=a- =a- =a(1-[a/s]x)-ab的线性组∵amods<s，amodsab∴amods=0s|a同理由s|b∴s为a,b的公约∴d=s。证由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|Euclid首先先提出一个定理：(a,b)=(b,a- 为正整数）证明 (b,a-bx)=e,∴d|a- (b,a-bx)，即∵e|b,e|a- (a,b)，即 (a,b)，即∴d=e。证当x=1时，(a,b)=(b,a-b)。这就是辗转相减法当x达到最大时，即x=[a/b]时，(a,b)=(b,amodb)。这个就是Euclid算法它是不是Euclid我不知道但听说是在Euclid时代形成的所以就叫Euclidfunctionifb=0thenelseexit(Euclid(b,amod一次递归就会转为(b,a)，接着就能正常运行了。扩展前面，(a,b)可以表示为a和b的最小的正线性组合。现在就要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y。这个可以利用的Euclid算法。当b=0时，取x=1,y=0例：a=5，b=0，最小正线性组合为5*1+y*0=5,y为任意整数。这里为方便起见规定y=0性组合表示bx'+(amodb)y'，则 =bx'+(amod =bx'+(a- =ay'+b(x'-那么，x=y'，y=x'-[a/b]y'。这样就可以在Euclid的递归过程中求出x和yfunctionvarifb=0thenp:=(b,amodb);y:=n-adivb*y;现在还有一个问题：x,y是不是确定的？答案：不是。如果x,y符合要求，那么际上y可以取任何正整数。以(26,15)为例X=-4Y=3-1*(-4)=726*(-↑X=3Y=-1-1*3=-415*3+11*(-X=-1Y=1-2*(-1)=311*(-X=1Y=0-1*1=-14*1+3*(-X=0Y=1-3*0=1X=1Y=0种特殊情况，实际上呢，不定方程却是用Euclid算法解的。对于不定方ax+by=c，设(a,b)=d，如果ax+by=c有解，则d|c（这也是许多奥数题的切入点）。所以一旦d不是c的约数，那么ax+by=c一定无解d|c时，先求ax’+by’=d=(a,b)x'y'ax’+by’=dax’+by’=c，将c/d倍x=x'*c/d，y=y'*c/dax+by=cEuclid算法还可以求解同余方程ax≡b(modm)及其最小x。这其实和不定方程没有区别。（不定方程和同余方程一般都有范围限制，这其实也很容易解决，就不说了

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