定积分在几何学上的应用课件-2

1定积分有着广泛的用途,

先介绍建立定积分的一种适用的简便方元素法(微元法).第六章定积分的应用

本章介绍它在几何,物理上的简单应用,培养用数学知识来分析和解决实际问题的能力.法---Theapplicationofdefiniteintegral1定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种2问题的提出小结思考题第一节定积分的元素法第六章定积分的应用(微元法)2问题的提出小结思考题第一节定积分的元素法第六章3究竟哪些量可用定积分来计算呢。首先讨论这个问题。

结合曲边梯形面积的计算?一、问题的提出可知，用定积分计算的量应具有如下及定积分的定义许多部分区间，(即把[a,b]分成两个特点:(1)所求量I与[a,b]有关；(2)I在[a,b]上具有可加性则I相应地分成许多部分量，而I等于所有部分量之和)。3究竟哪些量可用定积分来计算呢。首先讨论这个问题。结合曲边4按定义建立积分式有四步曲:“分割、有了N--L公式后,对应用问题来说关键就在于如何写出被积表达式.得到

这个复杂的极限运算问题得到了解决.是所求量I的微分于是,称为量I的微元或元素.取近似、求和、取极限,4按定义建立积分式有四步曲:“分割、有了N--L公式后,对应5这种简化了的建立积分式的方法称为元素法或微元法.方法简化步骤)1(求出上任取一小区间在],d,[],[xxxba+也是它的的近似值上所求量(]d,[IxxxD+即的微分,d)()xxf.d)(xxfI»D5这种简化了的建立积分式的方法称为元素法或微元法.方法简化步6这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素得

曲边梯形面积的积分式也可以用元素法。地等于长为f(x)、宽为dx的小矩形面积,故有近似上任取一小区间在],[ba],d,[xxx+6这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素得曲边梯形面积7平面图形的面积体积第二节定积分在几何学上的应用第六章定积分的应用7平面图形的面积体积第二节定积分在几何学上的应用第六章8一、平面图形的面积

回忆的几何意义:曲边梯形的面积.

启示

一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算.定积分

下面曲线均假定是连续曲线.

注8一、平面图形的面积回忆的几何意义:曲边梯形的面积.启示9求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应(1)即1.直角坐标系中图形的面积小区间9求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它10(2)

由曲线和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应小区间10(2)由曲线和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA11例解画草图,求两曲线交点的坐标以便解方程组:交点面积元素法一选为积分变量,?确定积分限,xxxd)3(2+-=xxy22-=)3,3(·0=-yx11例解画草图,求两曲线交点的坐标以便解方程组:交点面积元素12法二选y为积分变量,面积元素法三?将图形看成:上方的三角形减去在上方的曲边梯形,再加上下方的曲边梯形:12法二选y为积分变量,面积元素法三?将图形看成:上方的三角13分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别(3)一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)13分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别(3)一般情况14上连续,与直线所围成的(4)

则曲线平面图形面积为?14上连续,与直线所围成的(4)则曲线平面图形面积为?15例解两曲线交点为由于图形关于y轴对称,故15例解两曲线交点为由于图形关于y轴对称,故2.参数方程形式下平面图形的面积162.参数方程形式下平面图形的面积1617解曲线的参数方程为由对称性,作变量代换,例其中总面积等于4倍第一象限部分面积．不易积分..12222的面积求椭圆=+byax17解曲线的参数方程为由对称性,作变量代换,例其中总面积等于解例18解例1819面积元素曲边扇形的面积3.极坐标下平面图形的面积由极坐标方程给出的平面曲线所围成的面积A.和射线曲边扇形19面积元素曲边扇形的面积3.极坐标下平面图形的面积由极坐标如何计算?20如何计算?2021解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例求双纽线所围平面图形的面积.曲边扇形的面积：21解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例求双纽线所围平22解利用对称性知曲边扇形的面积：22解利用对称性知曲边扇形的面积：23解求交点由对称性2例所围图形与求心形线qcos1-=rcos的公共部分的面积.圆盘q£r23解求交点由对称性2例所围图形与求心形线qcos1-=rc24练习解利用对称性知所围成图形和双纽线求q2cos212==r.的公共部分面积24练习解利用对称性知所围成图形和双纽线求q2cos212=思考与练习