7-统计物理方法及其应用

统计物理方法在复杂网络中的应用1.3统计物理方法概貌统计计物理方法研究的对象是大量微观粒子组成的宏观物质系统，任务是按照物质的微观结构、微观粒子的运动特征及粒子间的相互作用，采用统计方法探求系统的宏观性质及其变化规律。由于粒子的数量是如此之大，无法去一一求解它们所遵从的运动方程，同时，粒子间的相互作用，外界对系统的干扰，导致粒子运动状态的不完全确定性，系统运动状态呈现随机性，但在一定条件下，系统的各运动状态均以一定的概率出现。一个宏观状态对应着瞬息万变的大量的微观运动状态，系统的某个物性的实测值是在给定条件下，各微观状态的相应量的统计平均值，统计物理学就是要找出这种统计规律性。该学科建立起微观运动与宏观运动之间的联系，阐明宏观运动形态的微观实质和基础，并日益渗透和广泛应用于凝聚态物理、核物理、网络科学、化学、生物等诸多学科，获得了许多重大成就。统计物理学或统计力学是用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学分支，它架起了从微观到宏观研究的桥梁，不仅为各种宏观复杂系统（气体、液体、固体、等离子体等）提供理论依据，而且现在为新诞生的网络科学提供了理论基础和有力工具，发挥着重要的作用。统计物理学分为平衡态统计物理学和非平衡态统计物理学。平衡态统计物理学研究宏观系统处于平衡态的物理现象和物理性质。1902年美国物理学家吉布斯（Gibbs）发表著名的《统计力学的基本原理》，建立了平衡态统计物理学体系。其要点是：一条基本假定--等概率原理，一个基本观点--统计平均和一种基本方法--统计系综。统计方法分别与经典力学和量子力学相结合，形成经典统计物理学和量子统计物理学，两者在运用统计方法上是相似的，差别在于对微观状态描述的不同。量子统计物理学是在基本统计假定下对系统采用所谓混合系综的描述方法，而基本统计假定是关于密度矩阵笋的论断。微观粒子的全同性原理和它们对量子态占有法则的差异导致两种不同的量子统计法：玻色-爱因斯坦（Fermi-Dirac）统计法（1926）。量子统计物理学解决了许多经典统计物理不能解决的困难，20世纪30年代后，量子场论方法用于统计物理使之取得了更大的进展。实际上，吉布斯首先提出了系综概念，建立了平衡态统计物理，其中对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综；对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正则系综。量子统计与经典统计的研究对象和方法基本相同，系综概念也都适用。所不同的是前者认为微观粒子的运动遵循量子力学规律而不是经典力学规律，微观运动状态具有不连续性，需用量子态而不是相宇来描述。非平衡态分布函数及其演化方程的建立，不仅成为输运过程微观统计理论的基础，而且由它定义的H函数及其遵循的H定理对理解宏观过程的不可逆性及趋于平衡的过程起过重要作用。特别是，熵的统计意义的阐明，熵增加原理的微观统计解释表明：统计理论已从平衡态向非平衡态发展，并能对热力学第二定律这样的普遍规律作出微观统计解释。对远离平衡态的物理现象中最重要的是突变（包括涌现）和有序结构，以及20世纪60年代以后建立了著名的三论（耗散结构理论，协同学和突变理论）等，对网络科学具有参考和指导意义。但是非平衡统计物理仍然在迅速发展中，还没有完全成熟。上述许多理论方法与许多科学交叉，大大超出本文的综述范围，本章并不作专门详细的介绍，请读者参考有关专著和研究生的教科书.非平衡态统计物理学研究宏观系统处于非平衡态的物理现象和物理性质。近平衡态自发的演化趋势是趋于平衡，故其性质与平衡态相似。涨落、弛豫和耗散（输运）是主要的近平衡过程，以昂萨格（Onsager）倒易关系、涨落耗散定理和最小熵产生原理为主要内容的线性不可逆热力学和近平衡态统计物理理论已发展成熟。远离平衡问题的研究60年代以来广泛开展，主要有非平衡统计物理的基本理论和方法，外场驱动下耗散系统的非线性动力学，非平衡涨落和非平衡相变等。对远离平衡的突变、有序与结构的出现，普利高津(Prigogine)等作了宏观描述，建立了耗散结构理论。之后，与混沌、孤子及分形等非线性问题的研究交织在一起，相互渗透和促进。非平衡统计物理迄今尚未形成系统的理论，但它可能突破传统的物理学理论和方法的框架，通过与其他学科交叉结合，比如，与复杂网络的研究紧密结合，可以向较成熟的、更普遍的非平衡系统理论的方向发展，是一门具有很强生命力的、新兴的前沿学科。1.4网络科学与统计物理的联系值得注意的是，首先提出无标度网络的学者Albert和物理学家Barabasi在美国著名的“现代物理评论”(ReviewofModernPhysics)上发表了题为“复杂网络的统计力学”的长篇综述"I，既系统地评述了复杂网络的研究进展，又精辟介绍了统计物理的主要理论和方法在网络科学中的应用，特别是关于网络拓扑特性及动力学的统计力学研究所取得的成果和重要进展,很好阐明了目前网络科学研究涉及到统计物理中的主要理论武器有：主方程、Forkker-Plank(福克-普朗克)方程，平均场理论方法，自组织理论，临界和相变理论，熵的概念，以及渗流理论等。接着,2002年Dorogovtsev与Mendes评述了网络演化问题［13,16］。2003年Newman对复杂网络的结构与功能的研究进展作了系统的综述［20］。2004年Park和Newman进一步把统计系综推广应用于复杂网络的平衡态研究联系"］，沟画了一种基本理论框架，这里结合我们的思路加以阐明和拓广，把它概括为图1-5所示的理论框架和基本路线图。它具有画龙点睛作用，真正深入理解这个路线图，有助于掌握统计物理在复杂网络中应用，下面各节较为详细介绍统计物理在复杂网络中应用的主要方法。图1-5复杂网络的平衡态统计方法的理论框架和基本路线示意图。1.5平均场理论方法1.5.1平均场理论方法的基本思想统计力学和复杂网络研究中常用的一种统计物理方法是平均场理论方法。该法通俗容懂，虽然是近似处理方法，但是结果的物理意义比较明显。在连续介质微观力学中，有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论就是，基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。也就是说，平均场理论是把环境对物体的作用进行集体处理，以平均作用效果替代单个作用效果的加和的方法。这一方法，能简化对复杂问题的研究，把一个高次、多维的难以求解的问题转化为一个低维问题，相当于把环境对研究对象的影响进行积分后再与研究对象发生作用，多用于运动状态混乱的气体，以及结构复杂的固体、液体的研究中，并构成了能带论、现代固体理论、量子多体理论等理论的重要的基础。尽管平均场理论带来了研究的便利，但是由于积分过程会掩盖掉环境中个别影响因素的涨落，因此在非平衡过程，强关联系统，以及瞬态过程中，平均场理论会带来比较大的误差。平均场理论最早的是范德瓦耳斯的状态方程，后来还有很多不同的名称。1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下。假定热力学函数是序参量的解析函数，这是一个热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数。在温度T高于临界温度Tc时和低于Tc时曲线结果是不一样的，高于Tc时，最小值是Mo=0，即没有自发磁化；如果温度T低于Tc，就有不等于0的极小点。按照平均场理论算出来，临界指数。等于二分之一；算出与磁场的关系，在临界点上存在这样的关系，d=3。可以算出平常说的磁化率，和T的相对温度之间有一个关系，指数是1。还可以算比热，从低温到高温时有一个跃变，本身是一个常数。如果铁磁体不是单轴各向异性，而是平面各向异性的，序参量会有两个分量。我们可以拿这个曲线转一圈，最低能量态是“简并”的，所有“酒瓶底”的状态都具有最低能量，实际体系可能处于某一个位置上。这就是对称破缺。平均场理论是“多次被发明”的理论。从最早的范德瓦耳斯方程，到外斯的分子场理论，描述合金有序化的布喇格一威廉姆斯理论，都说的同一回事值得一提的是在量子力学问题中，平均场理论也是量子多体理论的零级近似.绝大多数是量子多体系统的问题包括：量子多体系统结构的研究、量子多体系统碰撞与反应过程的研究和量子多体系统衰变性质的研究，平均场理论是进一步近似的出发点，也是最重要的最流行的量子多体理论，因而成为量子多体理论的基础。平均场理论所包含的物理概念:平均场概念，是（量子）多体理论的精华，这一概念具有客观意义，它深刻反映了微观多体世界的最重要的属性。量子力学中的平均场理论的基本思想：存在相互作用的多粒子系统，每个粒子都受到周围其他粒子的作用，这些周围粒子的相互作用的迭加并对其粒子密度分布（粒子云）的平均，在零级近似下，将产生一个平均势场。这个平均势场是一个单体算符，只依赖于受作用的这个粒子的坐标，但不是外界施加的外场，而是其他粒子对这个粒子相互作用迭加平均的结果。这个平均场一般随时间变化，但在定态极限下，它是静态的。对于全同粒子系统，特别是费米子系统，由于多体系统波函数或密度矩阵中存在着交换项，平均场相应地也包含一个非定域的交换项，它与动量相关势场等效。对于带自旋的粒子，平均场还包含自旋一轨道力。对于二体相互作用的多体系统，哈密顿量H包含一体算符（只依赖一个粒子的坐标）的动能项和二体算符（只依赖两个粒子的坐标）的相互作用项。而平均场是单体算符，它虽然可以包含二体相互作用的主要效应，但不能完全代替二体相互作用项，只能是对二体相互作用的单体近似。这些不能用平均场概括的二体相互作用，称为剩余相互作用。因此，考虑了平均场以后，系统有一个由平均场单体算子组成的哈密顿量，又称独立粒子近似下的哈密顿量，还有一个平均场不能包括的二体剩余相互作用。系统总的哈密顿量应为二者之和。产生平均场支配下的系统的独立粒子运动，类似于外场作用下产生的独立粒子运动；而剩余相互作用破坏独立粒子运动,把这些独立粒子运动耦合起来，产生各种各样的多体关联，以至于集体运动。多体系统中粒子-粒子相互作用产生平均场的过程,对于定态问题,是一个非线性的自洽反馈的过程：具有确定量子态的各个粒子对某个粒子相互作用的迭加并对这些粒子的密度分布求平均后，产生了一个单体平场场；这个单体的平均场反过来又产生出各个粒子的确定的量子运动；即所有粒子的量子状态决定了平均场，而平均场又产生出各个粒子的量子运动，这样就形成一个非线性的反馈过程。对于定态，这个过程必须达到自洽：产生平均场U的各粒子的量子态应当是平均场产生的量子态，产生各量子态的平均场应当是各量子态生成的平均场。总之，对于量子微观系统，平均场理论的基本思想概括为以下五个要点：（1）多体系统各粒子对某一粒子相互作用的迭加和平均，产生一个平均场；（2）这个平均是单体算符，包括非定域（动量有关）项和自旋-轨道力；（3）产生平均场的过程是一个非线性反馈的过程；对定态问题，还要求自洽；（4）平均场是对多体系统相互作用的非微扰的零级近似，对多体系统的正确描述应当是平均场加剩余相互作用；（5）平均场产生多体系统的独立粒子运动，而剩余相互作用要破坏这种独立粒子运动，引起量子态跃迁，产生粒子之间的多体关联，导致集团运动和集体运动。1.5.2平均场理论的应用之一：无标度模型网络科学诞生12年来，复杂网络理论模型中度分布求解广泛地应用了平均场方法得到近似解，实际上，平均场方法在复杂网络和一些实际问题应用中已经取得了重要的成果。平均场方法不仅适用于从连续相变和临界现象的研究，而且是网络科学研究的一种有力工具，应用范围十分广泛，凡是平均场方法的核心思想适用的问题，都可以应用它来解决各种各样的问题.首先，Watts-Strogatz（WS）小世界模型和Barabasi-Albert(BA)无标度模型中，理论上都是以平均场解析为基础的[2324].2000年Newman,Moore和Watts使用平均场近似对WS小世界模型平均距离的解析推导[23]o1999年Barabasi,Albert和Jeong使用平均场近似推导BA无标度模型的度分布[24].在这两文中，应用平均场方程估计相关量演化规律的几率，找到合适的近似，归结到一个自组织稳定临界演化方程来求解，而且这些方程都表述为微分方程的形式.这里并没有应用序参量和驱动量的概念，以及在临界点附近把序参量展开取近似的方法。WS小世界模型和BA无标度模型的改进模型WS小世界模型和BA无标度模型在科学界产生了深刻影响，1999年Newman和Watts讨论了WS小世界模型上信息或流行病传播的逾渗相变及其临界性质；2000年Dorogovtsev和Mendes建议在BA无标度模型中增加对节点活性随年龄衰减的考虑.2001年他们又建议在BA无标度模型中考虑节点数目加速增加的情况.这3篇论文都导出了平均场解析解。2002年Liu和Lai等人提出在BA无标度模型中考虑新节点在选择旧节点时部分优选、部分随机选择，并且做出了平均场解析，他们用主方程方法解析了非线性优选的BA无标度模型・在2003年Li和Chen提出了一个局域世界模型，重要的思想是优选需要网络的全局信息，而一个节点往往只可能掌握它所在附近的局域信息，因此，合理的演化机制是节点在一个局域中优选，而哪些节点构成局域世界则是随机的，也可用平均场方法作了解析・2002年Chneg、Wang和Ouyang提出了一个包含两类不同节点和两类不同边的网络演化模型，并且推导出平均场解析解.我们下面给出平均场方法求解BA模型的度分布的例子。以计算BA模型度分布为例，令k(t)表示在t时间步节点ii的度数，把k⑴看作连续动力学函数，得到近似的动力学方i程：-mtt(k)=m^i—-—l,k(i)二m(6t '乙k 2t'j

j解方程(k(t)=m(ti)b，其中b=12称为动力学指数.因为需要随机选择一个结点，所以k(t)中的i必须看成服i从均匀分布的随机变量.于是，由动力学方程解，网络度分布可以推导如下m2t m2tP{k(t)<k}=P{i }=1- i k2 k2(n+t)0P(k,t)-华H-2m2k二dk n+1再令t8，因此得到网络稳定度分布(密度)为P(k)-limP(k,t)x2m2k-y其中g=1+虻=3称为度（分布）指数，注意：尽管M2同-3dk=1，因为式（，对小度数会有较大的偏差.m该方法主要优点是简明易学，对许多增长网络模型，能够得到k⑺的明确表达式.为此，史定华小组提出了一种基于i动力学方程的群集系数计算方法，与模拟结果比较，它有很高的精度，该方法的缺点是若k（t）没有明晰解，无法得到网i络度分布，采用了'结点i度加1的概率为mn（k）'近似。i1.5.3平均场理论的应用之二：复杂网络中多尺度研究2010年HanshuangChen等人在物理评论（HanshuangChen,etal.PRE，82，0111107）提出复杂网络中临界现象（多尺度）统计一致性粗粒化（NetworkCoarseGraining）模拟方法。基于度合并的粗粒化方法可以用来处理由随机动力学描述的体系，采用了两个有代表性的模型体系，即平衡态Ising模型和非平衡SIS模型。他们的基本思路是：（1）基于局域平均场，提出合并网络的方法，即得到粗粒化网络邻接矩阵；（2）定义粗粒化变量，写出粗粒化哈密顿量和粗粒化反应速率；（3）提出统计一致性条件，对平衡态体系，这个条件是平衡态分布的一致性；对非平衡体系，这个条件是非平衡反应流的一致性；（4）提出基于度的粗粒化模拟方法，在退火网络近似下可以证明这个方法满足统计一致性条件；（5）给出不同网络下模拟结果，包括无关联和关联网络，验证了粗粒化方法的可行性。1.5.4在复杂网络中的应用之三：网络上传播问题复杂网络上的传播问题，不仅有流行病的传播，而且有舆论、物质、信息、能量等的传播，这些课题都具有重要理论和实际意义.例如，流行病传播网的平均场方法求解问题。在流行病停止流行的状态，病人的“密度"p为零，系统相对无序；而在流行病正在流行的状态p大于零，系统相对有序.所以可以把p定义为广义的序参量.对于流行病的传播，大量的实验和理论结果都证明存在一个传播速率久的阈值久,只有在A久时，流行病才能全局传播,因此可以把久A 定义为热力学驱动量.现在的问题就是利用平均场近似方法的思想，写出这类活动传播问题的平均场方程，然后在一定条件下求解.平均场方法的基本思想是把相互作用的总体效果等价于一个“平均场”，不去计算局部的、处处不同的相互作用情况.流行病的传播过程中虽然充满了基本单元周围局部信息的影响.但是平均场方法的思想就是不管这些具体细节，仅仅考虑全局的、平均的传播可能性，也就是仅考虑被看作常参量（或者是依赖于某几个全局因素的可变参量）的传播概率或者传播速率A，以及康复概率Y.这样，对于病人可治愈且终生免疫的情况，显然可感染人群、病人和治愈且终生免疫人群分别的人数变化率的最简化（线性，相当于级数展开后取一阶近似）表述就是SIR模型；而治愈后并不能免疫，可能立即再次感染情况的最简化表述就是SIS模型.所以，传统的SIR模型或SIS模型就是流行病传播的平均场方程.它们可以用大家熟悉的微分方程解法来求解，注意这时研究超越原来决定论的牛顿第二定律的还原论方法的含意。平均场方法的研究结果表明：SIR模型模拟结果相当于实际数据的一种平滑化，艮PSIR模型模拟的结果相当于全局的、平均的结果.又如，Kleczkowski和Grenfell在1999年首先研究了小世界网络上麻疹一类（康复后可免疫）流行病传播，给出了作为平均场近似的SIR方程，并且得到了解析解［47］.结果说明了小世界网络中的少数随机跳跃边大大加快了流行病的传播.Pastor-Satorras和Vespignani在2001年用平均场近似（SIS方程）解析地讨论了无标度网络上肺结核一类（康复后不可免疫）流行病的传播.这篇论文的平均场解析导出了一个重要结论,即一个无标度网络上流行病传播的有效传染几率阈值为0［48］.以文献［49,50］为代表的一批论文在此后热烈的讨论了这个问题，指出了例如网络大小、网络集团结构等多种因素对流行病传播阈值的影响.文献［19］曾经对上述进展做过一个综述.在文献［51］中，Liu和Hu曾经用生成函数方法帮助求解一个他们提出的在具有群落结构的复杂网络上流行病传播的模型，这是另一个生成函数方法在复杂网络研究中应用的例子.Shi,Duan和Chen在2008年用平均场方法（SIS方程）解析讨论了一个有新特色的、各种拓扑结构

复杂网络上流行病的传播模型，并提出了防止流行病传播的新策略［52］.1.6郎之万方程本节用概率方法讨论布朗运动中的非平衡态统计力学问题。首先了解郎之万方程的由来.随后各节讨论相关的主方程和福克和普朗克方程1.6.1布朗运动的物理机制布朗运动(Brownianmotion)英国植物学家R.布朗(1773-1858)在1827年用显微镜观察到悬浮在水中的花粉时发现的。花粉在水中受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。实际上，不只是花粉和小炭粒，统称“布朗粒子”对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动［“布朗粒子”直径为10一4〜10一5厘米，处在水中每秒被粒子撞击频率为1019，空气中1015。因此，布朗粒子的运动是无规撞击在一定时间尺度的统计效果。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论

的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。布朗粒子受两种力作用：(1)介质的宏观粘阻—仆，其中丫=6兀叫。(2)涨落剩余力F(t)。由牛顿力学易得：Mv—5(t)或写成：V―v+如)。假如在t=0时刻，注入一束大小为V。的粒子，由于即))=0，于是，(巧=_迥，解得(v)=/g。这意味着粒子的平均速度迅速衰减。布朗运动的机制对速度没有记忆效应。然而，统计剩余力是有时间关联的。，如皿)Wt—t同(t-t)- 1 2•' 2 1 2 1是偶函数，形状和高斯函数类似。由Wick由Wick定理矢口：(A(t1)A(t2).••A(tn)=Z(A(t1)A(t})--\A(tn1)A(tn))并且(A(t])A(t2)•••A(t2「)三0-1.6・2郎之万方程的求解由上面可知方程：v(t)二黛-t+e-打EA(t)，右边第一项很快00趋于零。真正速度由第二项决定。下面讨论速度的时间关联函数：v(t)v(t":',v(t)v(t'辛=fj'did气ey(t-t)e-顷s’)•以(t)A(t))•.00 (=ffdidie3(t+t，)eg•楠(t-t')00令t+t'="t-t'=0，积分兀didi'=2d^dO，并且由于$(t2-11)大致相当于5函数，将积分先坐一下改动不会有太大误差。则积分J(t')=ffdidi'eg(t+t楠(t'-t)00=2fdgeg&fdO$(O)+2fdgeg&fdO^(O)0Y t' -(2t'-&)令a化)=fdOgO)虽然关联函数的具体形式不知道，但是假定积分时用a代替a(T)引入的误差是不大的。于是J(t，)=三心-1).速度关联函数项(t的，)兰2ge，可以看出3*=2g，由统计力学.,v2=2L=导，则a=睥*，可以看出，涨落a与耗散门成正比。另外，直接将郎之万方程平方，也可以得到：V2=V2e-2gt+e-2gtftdTdleg(t+tnA(t)A(t')；00a aP——(1-e—2gt)P——2g 2g我们来讨论粒子的扩散

Ax=%(1-ef)+\dte~^t'\d^e^^A(&)g0 0(可见&"=0...Ax2；=jJdTdTv(t)v(『)：00=—\dTe-gTJdTef+地JdTefjdT'e-t2g 2g齐-—l齐-—l-e顼以 2kTkT~g2' Mg*3魁门'可以看出：位移平方和是与时间及温度成正比的，而是与粒子半径、介质的粘滞成反比的，这已被实验所证实。以上结果忽略了相互作用的细节，只是一种时间平滑后的粗粒化理论结果。这种理论还解不开不可逆性之谜。1.7主方程主方程在网络科学研究中有广泛的应用，它是统计物理学中描述一大类问题的重要方法，且对研究平衡和非平衡问题都是有效的方法，它揭示了微观可逆性与宏观不可逆性之间的关系，可给出趋向平衡的细致描述。普利高津于1971年至1977年将主方程用于耗散结构问题，先后采用生灭过程、相空间及非线性三种形式的主方程讨论涨落与耗散结构，获得关于耗散结构形成机制的解释，以及计算怎样由涨落触发耗散结构等结果。本节只是将简单地介绍该法的由来与基本思想.有兴趣的读者请仔细参阅主要参考文献[5,6].

1.7.1随机过程设y是我们感兴趣的变量。若y是决定性的，可以写成yQ)；若y是随机变量，则无解析式。但是受到概率的约束。概率可表为孕y,t)。纵使概率演化确定，系统演化仍不确定，比如，有分岔的出现。对于随机过程，事件之间有关联，需要引入联合概率密度P(y,t|y,t)，表示两种事件都发生的联合概率。类似还可以2、，11。22定义P(y,t|y,t|y,t)…联合概率的性质:(1)(1)(2)(3)P>0p”对其宗量交换是对称的n』dy…dyP(y,t|…y,ty,t••-|y,t)=P(y,t|--Jy,t)k+1 nn11kkk+1k+1 nnk11kk一般对于物理上感兴趣的问题，仅仅要知道有限的p就n足以描述相应的随机过程。而高阶的P往往用低阶的P^来组合表示。最简单的如独立统计模型：即〔y(t)...y(t)=.y(t))：...;y(t)s 了 11 n n 1 1 n n1.7.2马尔可夫过程：主方程马尔可夫过程定义为：演化过程中没有记忆效应的过程，也就是忘记历史的过程・或者说，假定演化每一步时的状态已知，则在 时的状态与之前的状态无关.马尔可夫过程是统计物理中最有意义的、最简单、最重要的过程。这种过程的全部信息包含在P(y,t)及P(y,t|y,t)中了。我们定义转移概率W(y,t|y,t):1 2 1V22 2 1122转移概率背后隐藏着微观力学机制的问题。转移概率w(y/伯,t)的性质：2 1122⑴w(y,t|y,t)>0TOC\o"1-5"\h\z2 1122』dyW(y,t\y,t)=12 2 1122P(y,t)=JdyP(y,t)W(y,t|y,t)1 2 2 11 11 2 112 2同样，我们来分析n阶转移概率w:n又称条件概率密度，表示在t至Ut的事件都发生的条件1 n-1下，t时刻发生y的概率。对于马尔可夫过程，w(y,t|y,t...y,t\y,t)=W(y,t\y,t)n1122n-1n-1nn2n-1n-1nn表示概率转移同历史无关。布朗粒子对自己速度历史的遗忘，就是马尔可夫过程的一个范例。遗忘性的背后，包含着时间的频繁性和运动本身的连续性。对于马尔可夫过程，凡是n>3的联合概率P都可以用p和P的乘积来表示。例如:n 1 2不难证明Smoluchowski方程：W(y,ty,t)=JdyW(y,t\y,t)W(y,ty,t)2 11 33 221122 2 22 33(这个方程体现了路径积分的思想。可以导出概率密度p(y,t)满足的积分微分方程。1P(y,t+t)=JdyP(y,t)W(y,t|y,t+t)1 2 11 1 2 121.7.3主方程在复杂网络中的应用由Dorogovtsev,Mendes和Samukhin提出主方程方法.他们考虑了一个更广的吸引模型，新结点有原始吸引度A,按BA模型择优从不指定的结点连出m条线，允许重复连线，因此每个结点有度k=q+a，其中q称为入度.吸引模型当只从新结点连出m条线时退化为BA模型，此时A=m.他们从概率角度，把q.⑴作为随机变量来处理，令P（q,i,t）表示第i时刻加入的结点i在t时有入度q的概率，可得P（q,t）满足的主方程，然后用结点度的平均P（q,t）=1tp（q,i,t）作为网络度的定义，ti=1对BA模型有t[P(q,t+1)-P(q,t)]+P(q,t+1)-dq^=^^^P(q-1,t)-2P(q,t) (假定limP(q,t)=P(q)存在，补充lim[P(q,t)-P(q,t)]=0，得t tP(q)= 她+ (q+m)(q+m+1)(q+m+2)式（12）右边是'精确解'，对小度数，它不是幂律，只对大的k=q+m才是幂律.这一方法的最大优点是概率清晰，但仍然不是严格的数学方法.尽管作者还提供了求解主方程的多种途径，如用母函数求解差分方程和转化为偏微分方程求解，复杂模型的主方程仍然会没有解析解.同时，常用的还有比率方程方法・比率方程方法（rate-equationapproach）在许多学科中已经有广泛的应用，因为该法简单物理直观，例如在等离子体物理、化学反应和具有各种相互作用的分子原子物理等领域经常使用。它主要是根据实证和模拟都是统计网络中度为k的(平均)点数气⑺代替研究k(t)而考虑气(t)的变化规律，同样采用m(k)=2mt去近似，根据连续性理论，网络点数叽(t)随时间变化的比率方程为：dN：、(t)_(k-\)N：、V)-kN：、(t)+8 (dt £kN(t) kmk在网络稳定度分布条件下，再利用大数定律将度数为k结点出现的频率作为网络有度数k概率的近似.于是，简化后得到以下差分方程k-1 kP(k)=—yP(k-1)--P(k) (此法特点是给了网络度分布一个统计定义，为实证研究提供了模拟网络度分布的基础，而且它还能够计算BA模型的度相关性.与平均场方法一样，它仍然是一种启发式的推导方法，同时也会遇到方程可能难解的问题。1.8马氏链方法对于马氏链方法(Markovchinsapproach)，它将K⑴看成一个随机过程，对BA模型，k(t)是非齐次马氏链，其参数空间t={i,+1,+L2,，状态空间W={m,m+1,m+2,L}-当k=m,m+1,L,m+t-i时，采用mH(k)近似，转移概率如下1-%，1_kP{K(t+1)_11K(t)_k}_<k2t,l_k+1 (0,l丰k,l丰k+1史定华等人借助他们提出的矩形迭代算法实现了网络度分布的快速数值计算，计算量为0(⑵.与其他3种方法不同，基于马氏链的数值方法避免了方程无解析的困难.对BA模型，取m=5,t=150000所得的数值结果(下弯)，150000步的模拟结果(黑点)和主方程方法的解析结果(虚线)一致，如图4(请看主要参考[9]:郭雷,许晓鸣，史定华等，复杂网络,上海:上海教育出版社,2006)图1-4对BA模型的模拟结果(黑点)和主方程方法的解析结果(虚线)比较。1.9福克和普朗克(F-P)方程福克和普朗克首先从朗之万方程导出，用来与描述随机系统的朗之万方程相对应的概率分布函数所遵从的演化方程，两者处理问题是等价的。设宏观变量a(t)代表一稳定的随机过程，遵从朗之万方程：&⑥=-7阳)+归⑥(式中随机力F(t)代表一噪声源，它满足下列白噪声条件：〈F(t)〉=0 (〈 F(t)F(t,) 〉 =2A3(t-t,)(其中A表示噪声强度。式(，且是一高斯过程，显然a(t)也是一个高斯过程，且是一个马尔科夫过程，即无后效性的

随机过程。a的概率分布函数P(a,t)遵从下列方程备F(M)=茶7好(")+£?君式(，第2项是扩散项，其中D=J8oD=J8oF(to)F(to+t)dt是扩散系数。方程(P(a)=Ce-Ya2/2D(而〈。2〉其中C为常数，Pe(a(而〈。2〉则是a(t)的平衡涨落的均方值，即a(t)的相关函oa(t)a(t))=(a2\e-丫卜-'的强度。方程式(值得一提的是，清华大学教授王明贞，在20世纪四、五十年代首次独立地从福克一普朗克方程和克雷默(Kramers)方程中推导出自由粒子和简单谐振子的布朗运动。与她的导师G.E.乌伦贝克(Uhlenbeck)合作写成“布朗运动的理论”论文至今一直作为了解和研究布朗运动最主要参考文献之，除了用于研究布朗运动和噪声理论，还被引用于有关DNA，甚至股票市场等研究中。1.10环境噪声或外部随机力的作用和影响从科学意义上讲，噪声是一种随机性的无规的扰动，或是一种涨落作用.当它来自系统的外部环境时，则成为环境噪声.他们可以是随机力、外部控制的各种参数的涨落和信号的扰动，并以各种不同方式普遍作用于所有与环境相联系的宏观系统.最吸引人注目的是，环境噪声与系统中的非平衡条件、非线性因素的相互作用，使宏观系统的行为发生了预料不到的惊人变换.例如，在环境噪声作用下，系统从原来的紊乱无序状态转变到规则的有序状态，或者从有序状态转变到混沌状态.混沌状态并非无序，而是一种非周期的新型有序状态，是一种高级形态的结构，其内部具有无穷的自相似结构和非整数维数的几何特征.系统还可以在不同的环境噪声影响下，在无序、有序、混沌等各种状态之间互相转变.物理上，系统的宏观态通常用"相”表示.把一个相转变到另一个相得现象，称为相变.在平衡条件和非平衡条件下各自产生的相变，分别称为平衡相变和非平衡相变・因而有环境噪声引起的系统在非平衡条件下发生的宏观状态的转变现象，称为噪声感应非平衡相变.在物理学的众多领域中，已发现这类非平衡相变的普遍性质.例如，对激光、流体力学、等离子体、非线性电路、非线性光学、凝聚态物理（如固体物理、丝状液晶）、超导、超流等，都从实验和理论上发现了它们的转变性质的惊人相似性・因此，在当今国际上正在崛起的“非线性科学”中，研究随机噪声对非线性系统的影响及产生这些影响的机制，已成为非线性、非平衡研究的一个热门课题.噪声如此普遍，影响又如此深亥I」，那么它们究竟有哪些类型？从统计性质上讲，噪声可以分为白噪声和有色噪声・白噪声的特点是其相关函数经傅里叶变换所得的谱密度与频率完全无关，与随机过程的历史也无关，即马尔科夫过程.有色噪声的谱密度则与频率有关，且可以是非马尔科夫过程.有色噪声有连续型、脉冲型、附加型、多重型等.实际上物理系统中的环境涨落从来就不是真正的白噪声，而几乎都是有色噪声，且有些还敏感地依赖于系统组元或子系统之间的相互作用程度，即关联程度.由于白噪声服从高斯分布及马尔科夫过程，数学上易于处理，因此对白噪声影响的研究，已有较好的统一的理论框架.从目前的实验和数值模拟计算发现，有色噪声不仅具有白噪声影响的类似性质，而且有色噪声的研究可以将白噪声包括在内，更具普遍性，因而有色噪声的研究是非线性研究中的一个重点课题.对于系统为单变量和受到外部环境单个噪声源作用的情形，系统的演化满足如下朗之万方程:=f(X)+g(X肉(t)， (ot其中x(t)可为白噪声，也可为有色噪声.当x(t)为白噪声时，X(t)为一个扩散过程，并且X(t)过程的相应几率密度P(X,t)满足如下福克-普朗克方程(FPE)：TOC\o"1-5"\h\zop o o o万―丽f(X)P+D齐g(X)^g(X)P (ot oX oX oX此方程与方程(23)是等价的，其中D为噪声强度，白噪声的关联函数为』函数.只要给予适当的边界条件和初值P=d(X-X)，就可求解方程(我们更关心的是方程(x(t)g(X)，称为多重噪声.由于有色噪声通常是非高斯分布和非马尔科夫过程的，因此迄今尚无严格求解方程(，也找不到与方程(，提出解决的方法的思想是：即使是有色噪声，也要通过近似方法，将方程(，然后再将它化为“有效的福克-普朗克方程”(简称EFPE).换言之，可以将随机噪声视为另一个动力学变量，从而将问题转化为具有两个变量的马尔科夫过程，于是只要求解两变量的随机微分方程，然后，再将随机微分方程转化为与之等价的二位FPE.二维FPE仍然难以求解，怎么办？下一步还得设法化为一维FPE，最后变成FEPE：oooo瓦P*)=-牛仍才心成g(X)D(XE)P (方程(25)与以前不同的是，引进了“有效扩散系数”D(X,t)，其中t为关联时间，当t®0时，D(X,t)®D.值得注o 0 o o意的是，有效扩散系数的具体形式将随采用的近似方法不同而不同，但是迄今所有的近似方法都是采用小r，以及各种0D与小^的不同组合.简言之，各种近似技术的根本不同之处0在于求出不同的有效扩散系数表达式・不过，只要采用相同的近似条件，就可导出相同的EFPE.主要的近似方法有以下几种.（1） 投影算符技术.此法运用泛函求导避免了d（X,r）=0的0出现.为了克服有效扩散系数变为零和接近于负值，此法采用一个假设项，即采用指数形式计算几率密度.（2） 路径积分技术.此法对指数形式采用小r处理，定义一0个时间依赖的有效扩散系数，运用路径积分，将积分围绕t展开到（t-r）量级.这样，积分将不依赖于动0力学，也不取决于涨落，从而能导出与上法相近的结果.（3） 解耦技术.此法用常数取代有效扩散系数中的态依赖函数＜f'（X）＞，又用未知的稳定值＜f（X）＞取代平均值.然后，通过自治方程算出这个值，或将它作为一个唯象参数来处理.（4） 累计求和技术.有效扩散系数在r?r时可用求和形式0表达，其中关联函数取指数形式，从而将EFPE化为所谓“最好的福克-普朗克方程”，再求出稳恒的几率分布解.此外，还有奇异摄动法、矩阵连分式展开法等等.通常上述方法只适用于t较小的情形，对于大t情形将遇到困难.因此，如何考虑适合不同关联时间t,将是理论上的关键所0在.就迄今理论现状，可以归纳为3类：（1）“小t”理论，0主要通过级数展开，如按噪声参数展开，所得到的理论本质上是马尔科夫白噪声理论；（2）线性化统计理论或平均场理论，此法有效地降低了FPE的维数；（3）从小t到大t的00近似统一理论，在小t和大t两种极限下可以得到精确的结00果，但该理论只适用于弱有色噪声和靠近平衡态的情形，不适用于中等强度的有色噪声和强有色噪声时的多重稳恒态情形，也不能描述指数大的（或小的）渐进统计量，如不能描述弱噪声下的所谓“逃逸”现象.我们把对噪声效应的主要研究结果概括如下35〜7]（1） 环境噪声能够引起各种转变现象，其主要表现为：导致原来的分岔参数的临界点发生移动，引起新的不稳定性；导致从固定点向极限环转变；导致不同极限环之间的相互转变；导致许多新的分岔和临界点，产生新态，等等.例如，在液氦中外部噪声引起超流-湍流转变.（2） 环境噪声还可以改变通向混沌的道路，例如环境噪声使得噪声映像中高周期窗口消失，分岔序列的分岔点变得模糊，从而使倍周期通向混沌的道路被截断，加速通向混沌等等.（3）已经研究并正在进一步开展用低维离散动力学代替高维的复杂的动力学系统，除出现与上述类似的结果外，还出现了更为复杂的转变现象.（4）环境噪声引起各种转变的机制是多种的，迄今尚未穷尽.目前已知的机制有极限环破缺机制、类似阵发混沌中的正切分岔机制、流域边界移动机制和后门机制等值得注意的是，环境噪声对复杂网络的拓扑特性和动力学

希望的影响同样非常重要，并有非凡的作用和效果。近年来，已经利用噪声架起复杂网络的拓扑结构与动力学特性之间的关系桥梁，我们将在第17章若干前沿与重要课题里介绍。1.11波色-爱因斯坦凝聚与复杂网络玻色一爱因斯坦凝聚（Bose-EinsteinCondensation,简称BEC）是一种非常普遍的物理现象，玻色和爱因斯坦在1924年首先从理论上预言了BEC现象的存在，发现理想玻色气体在一定临界温度、T_C、下会发生凝聚，即宏观数量的原子将占据动量为零的基态，即在一定临界温度下，无相互作用的玻色子会在最低能量量子态上突然凝聚，达到可观的数量.其他原子组成饱和理想气体。玻色一爱因斯坦凝聚的体系可以是气体，液体，固体，也可以是原子核和基本粒子，甚至还可以是中子星或超新星中的物质.BEC现象要在实验上观察到需要选择一种合适的特定体系.其温度要足够低，以至于粒子的德布罗意波长（，大于粒子间的平均距离。但是，很长时间由于找不到合适的实验体系以及实验技术的限制，BEC的早期实验研究进展极为缓慢.近年，BEC之所以成为物理研究中的热门，是因为实验进展取得了突破性进展。1989年，Wieman和Chu等人提出采用碱金属原子气体进行BEC实验.对于碱金属原子而言，如果要使其原子间的相互作用很弱，则原子的密度必须很小，温度必须足够低，这就需要寻求一种新的冷却方法一激光冷却与囚禁，正是由于激光冷却与囚禁中性原子的技术迅速发展为BEC的研究提供了实验条件。，1995年实验观察终于实现了气相原子的BEC.美国科罗拉多大学实验夭体物理联合研究所（JILA）和国家标准技术研究所（NIST）的Wieman小组于1995年7月首先报道了在实验上观察到的87Rb原子的玻色一爱因斯坦凝聚现象；同年8月，美国Rice大学的Bradley小组报道了7〃原子的玻色一爱因斯坦凝聚的观察结果；11月，MIT的Davis等人又报道了23Na原子的玻色一爱因斯坦凝聚的实验结果.这三个实验宣告了实验实现了BEC，这在物理界引起了强烈反响，成为BEC研究历史上的一个重要里程碑.那么玻色一爱因斯坦凝聚与复杂网络有什么关系呢？与宏观网络不同，量子网络系统的基本特征是其节点可以是粒子能级或微观粒子组成，它们从物理上反映微观粒子的动力学和拓扑性质的演化。例如，量子Bose网络，尽管它可能是非平衡的或不可逆的，但网络的演化可映射为Bose气体的变化，其节点对应于能级，其联线表示粒子；这时一个节点吸引了大量的联接线，其演化的结果可导致类似于波色-爱因斯坦(Bose-Einstein)凝聚现象间。考虑一个通过加入新节点而生长的网络，在每一时步内我们都加进一个新的节点并同m条联线连接起来。一个新节点连结m条联线中一条联线到节点i的几率依赖于度k和节点I的适应度I，所以有n=叩ii£门k (这样适应度门i和联接线数匕共同决定节点的吸引性和演化性。这样可赋予能量£i于每一节点，并由下式来决定适应度ni£i=了时 (这里P是1/T，T为温度；而连结两个节点i和j，具有能量七和七，对应于门i和门j的联线则刻画两个无相互作用且具有能量七和七的粒子。增加一个新节点在网络中去，相当于加了一个新能级为七.和2m个粒子到系统中(m个粒子进来联线和m个粒子出来联线)。每一个节点在时间匕加到系统中，且具有能量£，可被描述为占有数Et,。，记为节点在时间tI II I时的联接数。进而，我们来看波色-爱因斯坦凝聚与复杂网络之间的联系。由文献可知，在能级七上得到新粒子的速率方程是dk(£,t,t) e-P£-kG,t,t)——i——i—=m i——ii—dt Zi这里zi是配分函数，其定义为Z=簇e-阳k（,t,t）j=1假设每一个节点增加其联结性并遵循幂律法则:（这里八）是同能量有关的动力学指数。因为门是由分布pQ而随机性地选出来，所以能级可由分布gG）=6pC"£>*选出。现在可由gG）的平均来决定Zt。这是因为对任意P20有z>0，可引入化学势H它使我们有Z；e-叩=lim —」ismt利用上面方程，可发现解中的八）=e-「（"），并可推得利用上面方程，I(p,R)=jd£gG) 1 =1ep(")—1有趣的是上面所构造的系统不是一个平衡态Bose系统，其中一个原因是合格能级数（节点）和粒子数（联线）两者随时间呈线性增长，这同具有固定尺寸的量子系统不大一样。但计算表明在热力学极限（T3）时，适应度模型可以反映Bose气体的性质。解(1-30)式存在的条件是化学势k必须满足方程(30)。然而I(p,Q在式(1-33)中k=0处取极大值，而当I(P,k)<1时，式(1-33)是无解的！注意正是这无解，对应于Bose-Einstein凝聚态。图1-4详细示出复杂网络与Bose-Einstein凝聚类比及对应关系示意图，显示出一个有限却极多的n0(p)部分粒子凝聚在最低能级水平上，这样在Bose-Einstein凝聚态网络的适合节点吸引所有对应于密集低能级的连线，并使高能级变得很稀疏。图1-4复杂网络与Bose-Einstein凝聚类比及其对应关系示意图总之，上述从复杂网络谱结构出发，考察复杂网络的整体结构特征(自相似和对称性)，及其与动力学过程的联系，对于解决当前复杂网络面临的理论问题具有启发性和特殊价值。此外，统计力学中的渗流理论不仅可以应用于预测复杂网络中相变和大集团的的涌现，而且可以发现和理解实际网络的拓扑结构的某些新特性。例如，最近Gergely,Barabasi和Vicsek在Nature杂志发表“定量社会群落演化”一文［78］，就是利用集团渗流方法来研究科学家合作网和移动电话网，从而发现一些新现象，我们将后面介绍，随机图理论中存在一个临界随机概率pc，当p<pc网络全部是由分立的集团组成，但是当p>pc整个网络则由巨集团所覆盖，这个现象与渗流相变相似。Albert和Barabasi对于渗流理论应用于随机图及其对应关系也有很好的概述［19］。1.12渗流理论方法在网络中的应用渗流现象及相关理论是统计物理的一个重要研究课题，可与复杂网络联系起来研究。例如，渗流模型在原子核领域已有许多研究，可以用来描述原子核多重碎裂现象；也可以研究原子核高能碰撞的各种几何临界现象；品格气体模型也是一种渗流模型。关于渗流研究的概念、方法和结果，更与复杂网络的结构和动力学等研究有着密切的关系。在核碎裂的理论方面，理论模型基本上可以分为两类：静态模型和动力学模型。前者包括从标准的跟随统计两体衰变模型到瞬发的多重碎裂统计模型。后者的变化更为丰富，从核的破裂模型到亚稳定、不稳定理论，能描述重离子碰撞从初期到碎裂的整个过程。实验研究发现碎片质量分布是和碰撞的剧烈程度之间存在一定关系，存在三个质量不同的碎片区域：在低能碰撞中，发射出一个很大的碎片（如果裂变的话有两个），同时另一个较小碎片的大小分布服从指数分布;在高能碰撞中，没有发射重的碎片，所有碎片的大小分布服从指数分布；对于所有的碎片大小，能在中间区域出现一个幂律分布。该幂律分布正是复杂网络理论中的无标度特性。采用同位旋相关的晶格气体模型研究热核的碎裂过程时［14］，发现碎片的平均电荷（或质量）与碎片大小之间存在幂指数等于y=1的幂律关系。实质上，渗流是许多实际问题的理论抽象，油或水在有孔介质中的逾渗、火灾的扩散、疾病的传播、介质和导体混合物的传导特性等都可以用渗流模型描述，它们关心的都是一些在给定空间上一些随机分布的对象的连通性问题，是几何相变的著名模型。考虑在二维正方形网格上的渗流问题，以某个概率p随机地占据网格上的点（点渗流）或边（边渗流），当两个被占据的点或边相接触时，称其为连通的，互相连通在一起的所有点或边的集合称为连通集团。很显然，当概率p较小时，网格上只会有一些孤立的小的集团（或单点、边），而当p较大时（极限情况下p=1），则会形成连通网格边界的无限大集团（虽然渗流通常研究的都是有限大小的格点上的问题，仍然称其为无限大集团）。研究发现，无限大集团的出现是一个典型的连续相变问题，对无限大的网格，存在着一个临界渗流概率pc，当p<pc时，所有集团都是有限大小，不存在无限大的连通集团，而当p>pc时，则会存在一个无限大集团，网格是可以逾渗的。渗流的常见表现形式就是上面给出的网格形式，它在数值和解析研究中使用很方便，但是许多自然的无序系统缺乏完整的点阵结构，需要一种不同的方法来描述。连续渗流[15]就是在维数不变情形下改变了网格的类型，只改变临界阈值，还保持临界渗流指数的普适性。一种常用的连续渗流模型是采用圆盘的形式，其中圆用来维持输运。圆和圆之间的"周围禁区(excludedvolume)"互斥力还可以用"核硬心(hardcore)”来模拟，这种相互作用也是一种短程关系，对临界渗流指数不产生影响。在填充因子门达到临界值时，重叠的圆盘成一个无限大的集团，并且系统支持长程流。在2维情形中，门=对r2，其中n是密度，即单位面积上圆的个数；r是圆的半径。重叠的圆盘体积占整个系统的比例,可用填充因子计算得