2021年江苏省淮安市文华中学高三数学理期末试题含解析

2021年江苏省淮安市文华中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA=7，PB=5，PC=，AC=10，则球O的表面积为

A．80

B．90

C．100

D．120参考答案：C略2.将函数y=cos(x－)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式是A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.（5分）函数y=sin（2x﹣）的图象与函数y=cos（x﹣）的图象（）A．有相同的对称轴但无相同的对称中心B．有相同的对称中心但无相同的对称轴C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴参考答案：D【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．解：由2x﹣=k，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣）的对称轴为：x=+，k∈Z．由x﹣=kπ，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣）的对称轴为：x=kπ，k∈Z．故2个函数没有相同的对称轴．由2x﹣=kπ，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣）的对称中心为：（，0），k∈Z．由x﹣=k，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣）的对称中心为：（kπ+，0），k∈Z．故2函数没有相同的对称中心．故选：D．【点评】：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．4.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A．210 B．84 C．343 D．336参考答案：D【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．故选：D．【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整，完成了所有步骤，恰好完成任务．5.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A. B. C. D.

参考答案：C6.已知集合且a3≠0，则A中所有元素之和等于(

)A．3240

B．3120

C．2997

D．2889参考答案：D由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18；集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18；集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2187＝2889.故选D.7.设，则 （

）A． B． C． D．参考答案：B8.函数（其中）的图象如图1所示，为了得到的图象，则只需将的图象(

)A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位

参考答案：A略9.下列函数中，即是单调函数又是奇函数的是（

）A. B. C. D.参考答案：D根据对数函数的图象知y=log3x是非奇非偶函数；是偶函数；是非奇非偶函数；y=x3是奇函数，且在定义域R上是奇函数，所以D正确。本题选择D选项.10.复数的共轭复数等于（

）

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量X的分布列如下表所示，X的期望EX=1.5，则DX的值等于

。X0123P0．1ab0.2

参考答案：0.8512.2014年10月四川省天府新区成为国家级新区。其中包括高新区的中和、桂溪和石羊三个街道，现在三个街道共引进A、B、C、D四个项目，每个街道至少引进一个项目，共有

种不同的引进方法参考答案：36

略13.在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为

参考答案：14.已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，∴b+c=﹣a，b2+c2=1﹣a2，∴bc=?（2bc）=[（b+c）2﹣（b2+c2）]=a2﹣∴b、c是方程：x2+ax+a2﹣=0的两个实数根，∴△≥0∴a2﹣4（a2﹣）≥0即a2≤∴﹣≤a≤即a的最大值为故答案为：．15.已知函数，则方程的实根个数为

.参考答案：4

4．考点：函数与方程，函数的零点．【名师点睛】本题考查方程根的个数问题，方程根的个数与函数的零点常常相互转化，也常与函数的图象联系在一起，这样通过数形结合思想得出结论．在函数的图象不能简单表示出时，我们可能研究函数的性质，研究函数的单调性，极值等，以确定函数图象的变化趋势，然后由数形结合思想得出结论．本题方程的实根个数可以转化为函数与两条直线的交点个数，因此要研究函数的性质，根据其解析式，分类讨论，在，，三个范围讨论的性质（这三个范围内都可以化云中的绝对值符号，从而可用易得出结论．16.已知函数，，构造函数，定义如下：当

时，；当时，，则的最大值为__________．参考答案：217.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为

。 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）的值.参考答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，

(Ⅱ)

19.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．参考答案：（1）设为,∴，，

…………3分,，…………7分（2）令，

…………9分只需考虑取到最大值的情况，即为，………11分当,即时,达到最大

………13分此时八角形所覆盖面积的最大值为．

………14分20.（13分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），有＞1成立，求实数k的最小值；（3）证明﹣ln（2n+1）＜2（n∈N*）．参考答案：【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）利用导数研究单调性，求出最小值点，根据此时函数值为0列出方程即可求出a的值；（2）根据关于x的不等式恒成立利用函数的最值得到一个关于k表达式，然后据原式恒成立构造关于k的不等式求出符合题意的k值；（3）根据（2）的结论，可适当的将原式进行放缩，以便可以化简求和，从而使问题获证．解析：（1）f（x）的定义域为x∈（﹣1，+∞）．f（x）=ax﹣ln（x+1）f′（x）=a﹣．所以f′（x）＞0，f′（x）＜0．得：时，，所以a=1．（2）由（1）知，f（x）在x∈（0，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（0）=0，x∈（0，+∞）．所以kx2﹣f（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立设g（x）=kx2﹣f（x）=kx2﹣x+ln（x+1）（x≥0）．则g（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即g（x）min≥0=g（0）．（*）由g（1）=k﹣1+ln2≥0得k＞0．．①当2k﹣1＜0即k时，g′（x）≤0g（x0）＜g（0）=0与（*）矛盾②当时，g′（x）≥0g（x）min=g（0）=0符合（*）得：实数k的最小值为．（3）由（2）得：对任意的x＞0值恒成立取：．当n=1时，2﹣ln3＜2得：．当i≥2时，．得：．【点评】：本题考查了导数在求函数的最值，证明不等式恒成立问题中的应用，在证第三问时，要注意放缩法的应用．本题有些难度．21.已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先对函数求导，f′（x）=2x+a﹣，可得切线的斜率k=2x0+a﹣==，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证（2）由F（x）==，求出函数F（x）的导数，通过研究2﹣a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；

②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．22.设函数（）．（Ⅰ）若时,求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自