四章 概率基础和抽样分布

概率基础和抽样分布

本章阐述的是统计推断(参数估计,假设检验)的理论基础

第四章随机事件件及其概概率§1(免讲）随机现象象：在一一定条件件下，可可能发生生，也可可能不发发生的现现象称之之。随机试验验E：观察随机机现象的的，且具具有如下下特点的的试验称称为随机试验验。试验具有有明确的的目的性性；试验在相相同条件件下重复复进行；；试验的可可能结果果不止一一个，而而且所有有可能结结果都是是可以事事先确定定和罗列列出来的的；每次试验验的结果果事前不不能预知知。一.随机试验验随机事事件随机事件件：在随随机试验验E中，所有有可能发发生的结结果都叫叫随机事事件。随机事件件的类型型：1.基本事件件(简单事件件ei,ωi)2.复合事件件(复杂事件件)3.不可能事事件(Ø)4.必然事件件(Ω)二.事件的概概率（一）古古典概型型(二)统计概率率(经验概率率)(三)主观概率率A,B互相独立立：：P58↑12三.概率的加加法公式式与乘法法公式：：随机变量量的概率率分布§2概率论概概括3个概念：：互不相相容、互互相对立立、互相相独立2个公式：：加法公公式、乘乘法公式式1个期望：：广义的的数学期期望一.离散型随随机变量量的概率率分布Xx1x2…xnPp1p2…pn一.离散型随随机变量量的概率率分布x012p0.250.50.25【例4-1】】P61表4-2120.250.751x0分布函数数图像如如下：二.连续型随随机变量量的概率率分布三.随机变量量的数值值特征(P64)(一)数学期望望(二)方差抽样分布布§3三种不同同性质的的分布总体分布布2.样本分布布3.抽样分布布总体中各各元素的的观察值值所形成成的分布布分布通常常是未知知的可以假定定它服从从某种分分布总体分布布(populationdistribution)总体一个样本本中各观观察值的的分布也称经验验分布当样本容容量n逐渐增大大时，样样本分布布逐渐接接近总体体的分布布样本分布布(sampledistribution)样本样本统计计量的概概率分布布，是一种理理论分布布在重复选选取容量量为n的样本时时，由该该统计量量的所有有可能取取值形成成的频率率分布随机变量量是样本统计计量样本均值值,样本比例例，样本本方差等等结果来自自容量相同同的所有可能样本本样本统计计量的概概率分布布是进行行推断的的理论基基础，也也是抽样样推断科科学性的的重要依依据一.抽样分布布(samplingdistribution)抽样分布布的形成成过程(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本例题分析析设一个总总体，含有4个元素(个体)，即总体体单位数数N=4。4个个体分分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均均值、方方差及分分布如下下总体分布14230.1.2.3均值和方方差例题分析析(1)现从总体体中抽取取n＝2的简单随随机样本本，在重重复抽样样条件下下，共有有42=16个样本。。所有样样本的结结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）（一）样样本均值值的抽样样分布(例题分析析1)计算出各各样本的的均值，，如下表表。并给给出样本本均值的的抽样分分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5（一）样样本均值值的抽样样分布【例题1】分析样本均值频数1.011.522.032.543.033.524.01样本均值值的分布布与总体体分布的的比较【例题1】分析=2..5σ2=1.25总体分布布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x二.重复抽样样条件下下样本均值值的抽样样分布(数学期望望与方差差)1.样本均值值的均值值(数学期望望)等于总体体均值2.样本均值值的方差差等于总总体方差差的1/n结论【例题2】分析现从总体体中抽取取n＝2的简单随随机样本本，在不不重复抽抽样条件件下，共共有4ⅹ3=12个样本。。所有样样本的结结果为3,4─3,23,132,42,3─2,12─4,34,24,141,441,33211,2─1第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共12个）样本均值值的抽样样分布【例题2】分析样本均值频数1.522.022.543.023.52三.不重复抽抽样条件件下样本均值值的抽样样分布(数学期望望与方差差)1.样本均值值的均值值(数学期望望)等于总体体均值.2.样本均值值的方差差等于总总体方差差的1/n,再乘上修修正因子子.3.当N充分大时时常以N代替(N-1)结论抽样分布布的数字字特征重复抽样样不重复抽抽样抽样平均均误差:指的是样样本统计计量(样本均值值,样本成数数)的标准差差,用字母μ表示.抽样平均均误差计计算公式式:重复抽样不重复抽抽样说明：1.2本应是总总体的方方差,当总体的的方方差未未知时,用样本方方差代替替。n:样本容量量N:总体单位位数问题：抽抽样平均均误差与与那些因因素有关关？与样本容容量有关关，与总体的的离散程程度有关关，与抽样方方法有关关，样本本容量相相同的情情况下，，抽样平均均误差与与下列因因素有关关【例1】从一批产产品中随随机抽取取100件,其中次品品4件,求样本正正品率的的抽样平平均误差差.【例2】从10000件产品中中按不重重复抽样样随机抽抽取1%,其中次品品4件,求样本正正品率的的抽样平平均误差差.【例3】一批同型型号产品品由某厂厂两个车车间按不不同工艺艺生产,已知甲车车间产品品正品率率为80%乙车间产产品正品品率为72%,,现从该批批产品中中随机抽抽取100件,求样本正正品率的的抽样平平均误差差.正态分布布§4二.正态分布布的密度度函数:(P73图4-7))正态分布布密度函函数的性性质:P73↓4三.正态分布布函数及及其标准准化关于标准准正态的的分布函函数注意!!此处F(Z))与P74式4.32不同!F(Z))::在第五章章中又称称为置信信度,Z称为概率率度P75表4-8必须牢记记的F(z)与Z对应表Z11.6451.9623F(Z)0.68270.900.950.95450.9973P76【例4-4】】P76【【例4-5】】【例1】:【例2】四.关于抽样样分布的的定理（一）正正态再生生定理正态总体体抽样样本:容量为n当正态总总体方差差未知且且样本容容量n<30((小样本),样本均值值服从T分布.（一）正正态再生生定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服服从正态分分布N(μ,σ2)时，来自自该总体体的所有有容量为为n的样本的的均值x也服从正正态分布布，x的数学期期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)（二）正正态逼近近(中心极限限定理)任意总体体抽样样本:容量为n≥30))（二）正正态逼近近中中心极极限定理理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限限定理：：设从均值值为，，方方差为2的一个任任意总体体中抽取取容量为为n的样本，，当n充分大时时，样本本均值的的抽样分分布近似似服从均均值为、、方差为为σ2/n的正态分分布一个任意分布的总体x中心极限限定理(Lindeberg-Levy))中心极限限定理的的意义:P77其意义在在于:1.无论总体体服从何何种分布布,只要其一一、二阶阶矩存在在,其样本均均值的极极限分布布总是正正态分布布。因此此在大样样本(样本容量量n≥30)情况下,可认为样样本均值值服从正正态分布布。2.中心极限限定理揭揭示了正正态分布布的形成成机制,如果某一一变量的的变化受受许多随随机因素素的影响响,这些因素素中没有有一个是是起主导导作用的的,那末这个个变量就就是服从从正态分分布的随随机变量量。统计量的的标准化化