平面向量的分解及加、减、数乘的坐标表示课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2平面向量的正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.复习引入e1e2ae1e2aO(2)(1)画一画，算一算分别用给定的一组基底表示同一向量(2)(1)思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？创设情境正交分解正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．重力G可以分解为两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1垂直于斜面的压力F2探究新知

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来方便.思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？取{i，j}作为基底，则有且只有一对实数x，y，使得a＝xi+yj

如图，i，j是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，探究新知平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x,y）．

①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．追问：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)向量的坐标表示探究新知则终点A的坐标(x,y)就不是向量a的坐标．若向量a的起点不是原点，以原点O为起点作＝a，＝xi+yj．向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；终点A的坐标(x,y)也就是向量

的坐标．探究新知思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？在直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，则点A的位置由向量a唯一确定.例1如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们的坐标吗？同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3），c＝－2i－3j＝（－2，－3），

d＝2i－3j＝（2，－3）．解：a＝＋＝2i＋3j，所以a＝（2，3）．典例分析思考：已知a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）

＝x1i＋x2i＋y1j＋y2j

＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）ja＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）a－b＝（x1－x2，y1－y2）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）探究新知思考：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，你能得出的坐标吗？＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）

＝（x2－x1，y2－y1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标探究新知总结1.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

实数与向量的积的坐标=用这个实数×原来向量的相应坐标平面向量的坐标运算(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)终点起点例2已知a＝(2,1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b坐标。跟踪训练

例3

如图，已知□ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1)，(-1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．解法1：设顶点D的坐标为(x，y)．∵＝(-1-(-2),3-1)＝(1,2)，＝(3-x,4-y)，又＝，∴(1,2)＝(3-x,4-y)．

即解得∴顶点D的坐标为(2,2)．

典例分析解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知＝＋＝(-2-(-1),1-3)＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，而＝＋＝(-1,3)＋(3,-1)

＝(2,2)，所以顶点D的坐标为(2，2)．

你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？典例分析例3

如图，已知□ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1)，(-1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．1.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.2.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.3.在求一个向量