大一下-第八节

1定义设函数z

f

(x,y)在点(x0

,y0

)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0

,y0

)的点

(x,y)：若满足不等式f

(x,y)

f

(x0

,y0

)，则称函数在(x0

,y0

)有极大值；若满足不等式f(x,y)

f

(x0

,y0

)，则称函数在(x0

,y0

)有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.一、多元函数的极值(1)(2)(3)例1

函数z

3

x2

4

y2在(0,0)

处有极小值．在(0,0)处有极大值．x2例２

函数

z

y2例３在(0,0)

处无极值．函数z

xy(1)定理（必要条件）设函数z

f

(x,y)在点(x0

,y0

)具有偏导数，且在点(x0

,y0

)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f

x

(x0

,y0

)

0，f

y

(x0

,y0

)

0.2、多元函数取得极值的条件不妨设z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处有极大值,则对于(x0

,y0

)的某邻域内任意(x,y)(x0

,y0

)都有f

(x,y)

f

(x0

,y0

),证故当

y

y0，

x

x0

时，有

f

(

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

),说明一元函数f

(x,y0

)在x

x0处有极大值,必有

f

x

(

x0

,

y0

)

0;类似地可证f

y

(

x0

,

y0

)

0.推广

如果三元函数u

f

(

x,

y,

z)在点P(

x0

,

y0

,

z0

)具有偏导数，则它在P(x0

,y0

,z0)有极值的必要条件为f

x

(

x0

,

y0

,

z0

)

0，

f

y

(

x0

,

y0

,

z0

)

0，fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0.例如,

点(0,0)是函数z

xy的驻点，但不是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？(3)定理（充分条件）(2)定义

凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称极值点为函数的驻点.注意：驻点设函数z

f

(

x,y)在点(

x0

,

y0

)的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又

f

x

(

x0

,

y0

)

0,

f

y

(

x0

,

y0

)

0，令

f

xx

(

x0

,

y0

)

A，

f

xy

(

x0

,

y0

)

B

，

f

yy

(

x0

,

y0

)

C

，则f

(x,y)在点(x0

,y0

)处是否取得极值的条件如下：AC

B2

0时具有极值，当A

0时有极大值，当A

0时有极小值；AC

B2

0时没有极值；3AC

B2还需另作

0时可能有极值,也可能没有极值，．(4）求函数z

f

(

x,

y)极值的一般步骤：第一步解方程组f

x

(x,y)

0,求出实数解，得驻点.f

y

(

x,

y)

0第二步

对于每一个驻点(

x0

,

y0

)，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步

定出AC

B2

的符号，再判定是否是极值.例3求函数f

(x,y)

x3

y3

3x2

3

y2

9x

的极值。例

4

求由方程x2

y2

z2

2

x

2

y

4z

10

0确定的函数z

f

(

x,

y)的极值解

将方程两边分别对x,

y求偏导2

x

2z

zx

2

4zx

0y

y2

y

2z

z

2

4z

0由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,1),将上方程组再分别对x,y

求偏导数,,12

z12

zyy

PC

z

|

xy

P,

B

z

|

0,xx

PA

z

|

0

(z

2),函数在P

有极值.1(2

z)2故

B2

AC

将P(1,1)代入原方程,

有z1

2,

z2

6,14当z

2时，

A

1

0,所以z

f

(1,1)

2为极小值；24当z

6时，

A

1

0,所以z

f

(1,1)

6为极大值.与一元函数相类似，

可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.二、多元函数的最值例

5

求二元函数z

f

(

x,

y)

x

2

y(4

x

y)在直线x

y

6，x轴和y

轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.先求函数在D

内的驻点，x解yox

y

6DD如图,解方程组

f

(

x,

y)

2

xy(4

x

y)

x2

y

0f

(

x,

y)

x2

(4

x

y)

x2

y

0yx得区域D内唯一驻点(2,1),

且

f

(2,1)

4,再求f

(x,y)在D边界上的最值，在边界x

0和y

0上f

(x,y)

0,在边界x

y

6上，即y

6

x于是f

(x,y)

x2

(6

x)(2),由

f

4

x(

x

6)

2

x2

0,x得x1

0,

x2

4

y

6

x

|x4

2,f

(4,2)

64,比较后可知f

(2,1)

4为最大值,f

(4,2)

64为最小值.xyox

y

6D例6求z

x2x

y

y2

1的最大值和最小值.

0,(

x2

y2

1)

2

x(

x

y)(

x2

y2

1)2zx

0,(

x2

y2

1)

2

y(

x

y)(

x2

y2

1)2zy

得驻点(

1

,

1

)和(

1

,

1

),2

2

2

2解由即边界上的值为零.1

,z(

1

,

1

)

1

,2

221z(

1

,

1

)

2

2所以最大值为2

2

21，最小值为

.因为lim

0x

y

y2

1yx

x2无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.例7.

某厂要用铁板做一积为2m3

的有盖长方体，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,

才能使用料最省?解:

设

长,宽分别为

x

,

y

m

,则高为

2

m,所用材料的面积为则A

2令xy

2

x

y

2

22

2x

y

y

0

x

0

因此可xy

xyx

y

y

x

xx2A

2(

y

2

)

0yy2A

2(

x

2

)

0得驻点(3

2,3

2)根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,断定此唯一驻点就是最小值点.

即当长、宽均为

3

2高为

3

2

3

2

时,

所用材料最省.

2

3

2例8.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面积最大.解:设折起来的边长为

x

cm,

倾角为

,

则断面面积为x24A

1

(24

2

x

2x

cos

24

2x)

x

sin2

24x

sin

2

x2

sin

x2

cos

sin24

2xx2(

D

:

0

x

12

,

0

)令由题意知,最大值在定义域D

内达到,

而在域D

内只有一个驻点,

故此点即为所求.A

24x

sin

2

x2

sin

x2

cos

sin(

D

:

0

x

12

,

0

)2Ax

24

sin

4

x

sin

2

x

sin

cos

0A

24

x

cos

2

x2

cos

x2

(cos2

sin2

)

0sin

0

,

x

012

2

x

x

cos

024

cos

2

x

cos

x(cos2

sin2

)

03解得:

60°

,

x

8

(cm)实例：

有200元钱，他决定用来

两种急需物品：计算机磁盘和

磁带，设他x

张磁盘，y盒磁带达到最佳效果，效果函数为U

(x,y)

ln

x

ln

y．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求U

(x,y)

ln

x

lny在条件8

x

10

y

200下的极值点．三、条件极值

日乘数法求函数z

f

(

x,

y)在条件

(

x,

y)

0下的极值。(1)条件极值：对自变量有附加条件的极值．可能极值点，先构造函数F

(

x,

y)

f

(

x,y)

(

x,y)，其中

为某一常数，可由

fx

(

x,

y)

x

(

x,

y)

0,y

f

(

x,

y)

(

x,

y)

0,y

(

x,

y)

0.，其中x,y就是可能的极值点的坐标.解出x,y,(2)日乘数法要找函数z

f

(

x,

y)在条件

(

x,

y)

0下的日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数u

f

(

x,

y,

z,

t

)在条件

(

x,

y,

z,

t

)

0，

(

x,

y,

z,

t

)

0下的极值，先构造函数F

(

x,

y,

z,

t

)

f

(

x,

y,

z,

t

)

1

(

x,

y,

z,

t

)

2

(

x,

y,

z,

t

)其中1

,2均为常数，可由偏导数为零及条件解出x,y,z,t

，即得极值点的坐标.例

9

将正数

12

分成三个正数x,

y,

z

之和

使得u

x3

y2

z为最大.例

9

将正数

12

分成三个正数x,

y,

z

之和

使得u

x3

y2

z为最大.解令

F

(

x,

y,

z)

x

3

y2

z

(

x

y

z

12),x

y

z

12F

F

3

2F

x

y

032

x

yz

02

23

x

y z

0zyx则

解得唯一驻点(6,4,2)，u

63

42

2

6912.max故最大值为例

10

在第一卦限内作椭球面

x

2

y

2

z

2

1a2

b2

c2的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解设P(x0

,y0

,z0

)为椭球面上一点,令F

(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

1,02

xx

P则F

|

0a

2

b22

yy

P，

F|

a2

b2

c2，F

|0c

22zz

P过P(x0

,y0

,z0

)的切平面方程为0(

x

x

)

x00a

2b2y0(z

z

)

0,0c

2za2

b2

c20

(

y

y

)

x

x y

y0

0化简为z

z0

1,x0

y0

z0该切平面在三个轴上的截距各为a2

b2

c2x

，

y

，z

,所围四面体的体积

V

6

x0

y0

z0a

2b2c

216xyz

,a

2

b2

c

2x

2y

2

z

2在条件

0

0

0

1下求V

的最小值,令u

ln

x0

ln

y0

ln

z0

,G(

x0

,

y0

,

z0

)x2y2

z2

ln

x0

ln

y0

ln

z0

(

0

0

0

1),

0,00000

1

0

0,

Gz

0y2

y20a2

b2

c2由

x2a2

b2

c2,GyGx当切点坐标为(3

3

3a

b

c，

，

)时,四面体的体积最小V2

3

abc.min

1

0

0

0

a2 0

0

b2

c20b2

y0a2

x

1

2y0

0

1

2x0x2

y2

z202

z0

c

02z可得即10x

3ca3b3y0

z0

，多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值日乘数法四、小结思考题若f

(x0

,y)及f

(x,y0

)在(x0

,y0

)点均取得极值，则f

(x,y)在点(x0

,y0

)是否也取得极值？思考题解答不是.例如f

(x,