20140420等差数列的性质总结

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：a—a=d(d为常数)(n>2)；nn—12．等差数列通项公式：a=a+(n—1)d=dn+a—d(neN*)n1推广：an3．等差中项(1)如果a，=a+(n—m)d.m,首项：a，公差:d，末项：a1na—a从而d=-nm;n—m或2A=a+b2=a+ann+2A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A=a+b(2)等差中项：数列｝是等差数列O2a=a+a(n>2)O2annn-1n+1n+14.等差数列的前n项和公式：n(a+a)n(n—1)d1S=1n=na+d=n2+(a——d)n=An2+Bnn212212(其中A、B是常数，所以当dHO时，Sr是关于n的二次式且常数项为0)特别地，当项数为奇数2n+1时，a是项数为2n+1的等差数列的中间项(2n+1)(a+a)z；=1=(2n+1)a(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)n+1S2n+125．等差数列的判定方法(1)定义法：若a—an(2)等差中项：数列⑶数列｝是等差数列Oa=kn+b(其中k,b是常数)。(4)数列纭｝是等差数列OS=An2+Bn,(其中A、B是常数)。n6．等差数列的证明方法定义法：若a—a=d或a—a=d(常数neN*)Ola｝是等差数列.nn—1n+1nn7.提醒：(1)等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a、d、n、a及S,1nn作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)设项技巧：一般可设通项a=a+(n—1)dn1奇数个数成等差，可设为…，a—2d,a—d,a,a+d,a+2d…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a—3d,a—d,a+d,a+3d,„(注意；公差为2d)8..等差数列的性质：(1)当公差d丰0时，等差数列的通项公式a=a+(n—1)d=dn+a—d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；n11n(n—1)dd前n和S=na+d=n2+(a-石)n是关于n的二次函数且常数项为0.n12212若公差d>0，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，若公差d=0，则为常2n^1=d或a—a=d(常数neN*)O｛2｝是等差数列.n—1n+1nnla)是等差数列O2a=a+a(n>2)O2a=a+annn-1n+1n+1nn+2其中a、d称1(2)数列。(3)当m+n=p+q时，则有a+a=a+a，特别地，当m+n=2p时，则有a+a=2a.mnpqmnp注：a+a=a+a=a+a=••-，1n2n—13n—2(4)若｛a｝、｝为等差数列，则｛M+：｝，｛九a+九b｝都为等差数列nnn1n2n(5)若｛a｝是等差数列，则S,S—S,S—S，…也成等差数列nn2nn3n2n(6)数列｛a｝为等差数列，每隔k(keN*)项取出一项(a,a,a,a,…H乃为等差数列nmm+km+2km+3k(7)设数列b｝是等差数列,(7)设数列b｝是等差数列,n1•当项数为偶数2n时，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和,S是前n项的和nn(a+a)=1亠=na2n一12nn(a+a)S=a+a+a++a=2s=na偶2462n2n+1S-S=na-na=n(a-a)=nd偶奇n+1nn+1nSnaa奇==n—Snaa偶n+1n+1S=a+a+a++a奇135Sn偶(8)｝、n｛b｝的前n和分别为Sn偶(8)｝、n｛b｝的前n和分别为A、B，nnn(2n-1)aJ=f(2n一1).I2n-1a则厂(2n-1)厂Bn且A=f(n),n(9)等差数列｛a｝的前n项和S=n，前m项和S=m,nmn则前m+n项和S-(m+n)m+n2、当项数为奇数2n+1时，贝I」S=S+S=(2n+1)a[S=(n+1)aSn+1V2n+1奇偶n+1<奇n+1—奇=S一S=aIS=na、奇偶n+1「偶n+1n+1(其中a是项数为2n+1的等差数列的中间项).n+1(10)求S的最值n法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当>0，即当>0，d<0,由Vn/c可得S达到最大值时的n值.a<0nn+1(2)“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即当a<0即当a<0，d>0，由或求b｝中正负分界项n可得S达到最小值时的n值.a>0nn+1nS则其对称轴为n=q法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前S则其对称轴为n=q数对称轴最近的整数时，S取最大值(或最小值)。若S=np注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a和d的方程；1巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.例1］在等差数列｛an｝中，（丄）已知。:+冬+花+九二36，求si6（2）已知a=20，求S计6ii［例2］有一项数为2n+1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n+1）：4n+27）,试求它们的第11项之比.［例4］等差数列｛a^的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为A.30B.170C.210D.260［例5］在a,b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是120°，试问它是几边形？［例7］求集合M=｛m丨m=7n,n^N*,且mV100｝的元素个数，并求这些元素的和.［例8］已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?［例9］已知数列｛a｝是等差数列，S是其前n项和.nn求证：S6,S12-S6,S18-S12成等差数列，设其kUN*,Sk,S2,-S,,S3,-S2,成等差数列吗?61261812k2kk3k2k［例10］已知数列｛an｝是等差数列，s>0,S9=S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？［例11］在数列｛an｝中，叮1,%=耳，求数列｛anan+1｝的前n项和.n［例12］设等差数列｛a｝的前n项和为S,已知a=12,»>0,S13<O.nn31213⑴求公差d的取值范围；(2)指出S］,S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由.［例13］首项为正数的等差数列｛an｝,它的前三项之和与前十一项之和相等，问此数列前多少项之和最大？［例14］数列｛a^是等差数列，ai=50,d=—0.6.(1)求从第n项开始有an<0；(2)求此数列的前n项和的最大值.二、经典例题导讲等差数列：［例1］已知数列1,4,7,10,…，3n+7，其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式；(2)指出1+4+„+(3n—5)是该数列的前几项之和.［例2］已知数列b｝的前n项之和为①S=2n2-n②S=n2+n+1TOC\o"1-5"\h\znnn求数列｝的通项公式。n［例3］已知等差数列｝的前n项之和记为S,S=10,S=70,则S等于nn103040［例4］等差数列b｝、£｝的前n项和为S、T.若二二丁匕(neN),求'；nnnnT4n+27+bn7