数学八年级上：一元一次不等式 学习要点

“一元一次不等式”学习要点一、知识结构网络基本性质移项法则基本性质移项法则不等式不等式一元一次不等式组的应用解一元一次不等式组一元一次不等式组的应用解一元一次不等式组一元一次不等式组一元一次不等式组的解集二、复习要点提示本章的内容是在掌握了有理数大小比较，等式及其性质和解一元一次方程的基础上学习的，不等式（组）的知识体系安排和方程（组）的知识体系的安排相类似，并使其相应的内容在各自的范围内处于同等的地位。在学习中要注意比较不等式（组）与方程（组）这两部分知识，从内容、性质、解与解集及解法上比较它们的相同点和不同点，特别要注意它们各自的特殊性。只有掌握了各自的特殊性，才能更好地认识和区别这两部分内容，也才能够加深对不等式知识的深入理解。一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，又是学习其它不等式的基础，同时也是以后学习其它数学知识的基础。（一）不等式和它的基本性质1、不等式表示不等关系的式子，叫做不等式，就是含有不等号“≠”的式子，或含有“＞”、“＜”、“≥”、“≤”的式子。*原载于《教学同步解析训练新视窗》（初一代数下）长征出版社，2003年12月，收入本书时有删改。2、不等式的基本性质不等式的基本性质与等式的基本性质有相似之处，也有不同之处，特别是不等式的基本性质3，不等式两边同乘以（或同除以）一个负数，不等号的方向要改变，这一点要尤为引起重视，这一性质的运用，也是本章的难点之一。下面将不等式的基本性质与等式的性质的比较，用下表表示出来。等式不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一整式，所得结果仍是等式。两边都加上（或减去）同一个数或同一整式，不等号的方向不变。两边都乘（或除以）同一数（除数不能是0），所得结果仍是等式。两边都乘（或除以）同一正数，不等号的方向不变。两边都乘（或除以）同一个负数，不等式方向改变。（二）不等式的解集不等式的解使不等式成立的未知数的取值叫不等式的解。不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式解的集合，简称这个不等式的解集。解不等式求不等式的解集的过程，叫解不等式，不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。在数轴上表示不等式的解集时，要注意“空心”和“实心”的含义和用法。（三）一元一次不等式和它的解法一元一次不等式可化为只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的不等式叫一元一次不等式。同方程类似，我们把ax+b≠0，(a≠0)叫一元一次方程的标准形式，那么ax+b＜0、ax+b＞0(a≠0)ax+b≥0（a≠0），ax+b≤0（a≠0）也叫做一元一次不等式的标准形式。2、解一元一次不等式解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，它的解法步骤和解的情况与一元一次方程的解法步骤相同。但要注意的是，在解不等式的过程中，如果在不等式两边同乘以或同除以一个负数时，要改变不等号的方向。一元一次不等式和一元一次方程的解法步骤的对比见下表。解一元一次方程解一元一次不等式解法步骤(1)去分母(1)去分母(2)去括号(2)去括号(3)移项(3)移项(4)合并同类项(4)合并同类项(5)系数化成1(5)系数化成1在上面的步骤(1)和步骤(5)中,如果乘数或除数是负数,要把不等号改变方向解的情况一般情况下,一元一次方程只有一个解一般情况下,一元一次不等式的解集含有无限多个数(四)一元一次不等式组和它的解法一元一次不等式组将几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。解不等式组求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。解一元一次不等式组可以分为以下两个步骤（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集。三、思想方法简析（一）“类比”的数学思想把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其它方面也可能有相同或类似之处，这种数学思想常称为“类比”。它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。1、不等式与等式的性质类比初学不等式（例如a＞b或a＜b)时,我们对它的性质一无所知，但对等式（例如a=b）的性质，我们倒比较熟悉，虽然不等式与等式是不同的式子，表达的是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似之处，这就是“类比”思想的一种运用，它是探索不等式性质的基本途径。2、不等式与方程的解的类比从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的，按“类比”的思想考虑问题，我们以仿效方程的解的意义，来明确不等式的解的意义。我们知道，当x=2时，方程x+3=5两边的值相等，即方程x+3=5成立，2是方程x+3=5的解；当x=3时，方程x+3=5两边的值不相等，即方程x+3=5不成立，3不是x+3=5的解。类似地，当x=1时，不等式x+3＜5成立，我们说，1是不等式x+3＜5的解；当x=2时，不等式x+3＜5不成立，我们说，2不是不等式x+3＜5的解。3、不等式的解法与方程的解法类比从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的，我们知道，利用等式的两条基本性质，可以求得一元一次方程的解。按“类比”的思想考虑问题，我们自然会推断：利用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤，便可以求得一元一次不等式的解集。（二）“分析”与“综合”的数学思维方法“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用。“分析”就是在思维中把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是在思想中把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”，这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用手段。1、解“判断题”的分析与综合我们知道，如果一个不等式经过变形化简以后，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，那么这个不等式叫做一元一次不等式。因此，当我们判定一个式子是不是一元一次不等式时，就要先对这个式子作如下“分析”。①它是不是一个不等式？②把它化简以后，它是不是只含有一个未知数？③化简后未知数的次数是不是1？④化简后未知数的系数是不是等于零？然后，再把以上“分析”得到的结果“综合”起来，就可以作出正确的判断了。2、“解不等式组”的分析与综合我们知道，不等式组是由几个不等式构成的一个整体，这几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。因此，当我们解不等式组时，就要先把它分解成几个单独的不等式，并分别求出这几个不等式的解集（这实际上是一个“分析”过程）；然后，又把这几个不等式看作一个整体，找出它的解集的公共部分，便得到不等式组的解集（这实际上是一个“综合”过程）。3、解“综合题”的分析与综合数学综合题，可以看成是由几个互相关联的“小题目”组成的一个“大题目”，解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”——把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”；然后，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的解答。因此，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。四、综合题例分析例1求满足不等式5＜1-4x＜17的整数解[思路点拨]求不等式的整数解，即要先确定不等式的解集，然后在求出的解集中，再确定整数解。一方面，从提供的不等式的意义上看，它可以转化成不等组，从而将原问题转化成求不等式组的整数解的问题。另一方面也可根据不等式的性质进行变形求解。[解]解法一（将不等式转化为不等式组）原不等式可化为由①，得x＜-1由②，得x＞-4则不等式组的解集为-4＜x＜-1,∴原不等式的解集也为-4＜x＜-1则满足原不等式5＜1-4x＜17的整数解为-3,-2.解法二(根据不等式性质变形求解)5＜1-4x＜17,将原不等同减去1,得4＜-4x＜16将4＜-4x＜16同除以-4(或乘以-),得-1＞x＞-4即-4＜x＜-1∴满足不等式5＜1-4x＜17的整数解为-3,-2.[评注]该类不等式求解集问题,既可按不等式性质变形求解，又可将原不等式转化成不等式组来求解。例2已知|2a-b+7|+(a+2)2=0，解关于x的不等式[思路点拨]已知的不等式组是一个含有参数a，b的不等式组，显然它的解集是由参数a，b的取值而确定的。因此解决本题的关键是求出参数a，b的值，而参数a，b又出现在等式|2a-b+7|+(a+2)2=0之中，故可根据非负数性质，确定参数a，b的值。[解]∵|2a-b+7|+(a+2)2=0∴解得①，得x＞-1，由②，得x＜.∴原不等式组的解集为-1＜x＜.[评注]本题事实上是一道关于方程组和一元一次不等式组的小综合题，不等式组中的参数a、b的取值，由特殊的等式决定，而这个特殊的等式又可转化为二元一次方程组，这样一来确定a，b的值就不成问题了。因此，我们在解题中，要善于运用已有的知识贮备，将新知识与旧知识有机地串联起来，在解决具体问题中，要仔细分析题目中已知与未知的关系，活化自己的思维，在困难面前，寻求突破。例3若方程组的解x，y满足，求m的取值范围。[思路点拨]首先解关于x、y的方程组，然后根据x＞0,y＜0的条件，列出关于m的不等式组，最后求不等式组的解，即可求出m之值。[解]①＋②，得3(x+y)=2mx+y=m③将③代入①，得m+y=m-1.y=-1④将④代入③，得x=+1.∴∵∴解得-3＜m＜3.则m的取值范围为-3＜m＜3.[评注]将方程组的有关问题与不等式组联合起来组成小综合题,是考查运用方程(组)与不等式(组)有关知识解决数学问题最主要题型。解决此类综合题主要是从方程（组）与不等式（组）的解的关联上寻求解题的突破口，通常是借助于它，求出题目中的参数的值，从而达到解决全题的目的。例4若不等式组,的解集为-3＜x＜5,求不等式mx-n＜0的解集。[思路点拨]由不等式组的解集可求m,n，再求出不等式mx-n＜0的解集。[解]由①，得x＞n-m.由②，得x＞n+m.∵不等式组的解集为-3＜x＜5∴解得当m=-4,n=1时，不等式mx-n＜0为-4x-1＜0.∴x＞-.[评注]本题由不等式的解集,确定参数m,n的值,对于初学者有一定的难度,解决这个问题的关键，是运用数形结合的方法，借助于数轴，把不等式组的解集转化成求关于m,n的方程组的解问题，从而突破全题。例5若关于x的不等式组,有解，则m的范围为：A、m≤2B、m＜2C、m＜-1D、-1≤m＜2[思路点拨]不等式组有解，说明不等式-1≤x＜2，与x＞m的解集有公共部分，则可用数轴表示两个不等式的解集，其中-1,2将数轴分成于三段，把m分别放入这三段中进行分析，看是否有公共部分，从而得出m的范围。m1-1m22m[解]B[点评]要注意若m=2，则两不等式的解集无公共部分，本题较好地体现了数形结合的思想。因此解决此类问题要特别注意讨论“临界值”的取舍问题。例6某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元，C类门票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元。(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算？（2001年苏州市中考题）[思路点拨](1)问可根据问题的情境直接作出解答。（2）问要将原来售票的方法和年票中B、C二类这三种情形，分别讨论加以限制，若设至少超过x次，购买A类年票合算，则对于原来零售方法有10x＞120，对于年票B类方式有60+2x＞120，对于年票C类方式有40+3x＞120，然后将三不等式组成不等式组，求解集即可。解：（1）不可能选A类年票故选B类年票，则若选C类年票，则若不购买年票，则所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多为13次。(2)设至少超过x次时，购买A类年票比较合算，依题意，得解之，得所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。[点评]本题是运用不等式组解决实际问题的范例。用不等式组解应用题和用方程组解应用题一样，就是要将应用题中全部不等量（包括隐形的不等量）表示出来，否则会发生扩大解集的错误，导致扩大应用问题的范围的局面发生。例7聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民的生活环境，并吸收更多的人来聊城观光旅游，决定对古运河城区实施二期开发工程，现需要A、B两种花砖共50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务，该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克，已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8(1)利用现有原料，该厂是否能按要求完成任务？若能，按A、B两种花砖的生产块数，有哪几种生产方案？请你设计出来（以万块的1个单位且取整数）；(2)试分析你设计的哪种生产方案造价最低？最低造价是多少？（2001年山东省聊城市中考题）解：(1)∵(4.5+1.5)×50=300，（2+5）×50=350，180+145=325。而300＜325＜350因此,利用现有原料该厂能按要求完成任务设需要生产A种花砖x万块，则生产B种花砖（50-x）万块，根据题意，得解得30≤x≤32.∵x为正整数，∴x=30,31,32.相应地50-x取20,19,18.∴生产方案有三种：第一种生产方案：生产A种花砖30万块，B种花砖20万块；第二种生产方案：生产A种花砖31万块，B种花砖19万块；第三种生产方案：生产A种花砖32万块，B种花砖18万块；(2)第一种生产方案的造价为：1.2×30+1.8×20=72(万元)第二种生产方案的造价为：1.2×31+1.8×19=71.4(万元)第三种生产方案的造价为：1.2×32+1.8×18=70.8(万元)答：第三种生产方案的总造价最低，最低造价是70.8万元。例8在双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格表如下：船型每只限载人数（人）租金（元）大船53小船32那么，怎样设计租船方案才能使所付租金最少？（严禁超载）（2001年荆州市中考题）解：方案（1）：如果只租大船，则需租船只数为，因为不能超载，故需租大船10只，则所付租金为3×10=30（元）。方案（2）：如果只租小船，则需租船只数为=16，故需租小船16只，所付租金为16×2=32（元）。方案（3）：如果既租大船又租小船设租用x只大船，y只小船，所付租金为A元，依题意，得由①，②得A=-x+32.由③及x为正整数，可得x=9时，A最小=29。即租用9只大船时，所付租金最少，最少租金为29元，此时有9×5=45人坐大船，有3人坐小船。比较上述三个方案可知，采用方案（3）租船所付的租金最少。[评注]用方程与不等式混合组来解决实际问题是数学服务于生活实际的具体体现。我们过去研究的不定方程(组)的求解问题，就是通过消元转化为二元一次不定方程和不等式混和组来求解。如我国古代“白鸡问题”、“孙子定理”、“鸡兔同笼”等都属这一类问题。五、解题方法指南将新问题归结到已经解决了的问题去研究，这种方法就是转化的思想方法，因此学习数学往往就是在不停地“转化”。例1解不等式＜0[思路点拨]题目给出的不等式是我们没有学习过的一个“新”的问题，但是我们从“式结构”上看，不等式左边是一个分式，右边是常数0，原不等式就是说明分式的值是一个负数，从而可得到结论(4x-3)与(5x+1)的值只能是一正一负，那么就可以把原不等式（新问题）“转化”成两个不等式组(1)(2)((1)和(2)是我们熟悉的旧问题)来解决。[解]原不等式可以转化成以下两个不等式组：(1)或（2）由（1），得空集。由（2），得-＜x＜.则原不等式的解集为-＜x＜.[点评]化未知为已知是转化与化归思想的体现之一，事实上转化的思想方法还体现在：化繁为简，化难为易，化不同为相同等等。例13解不等式|2-3x|≤2.[思路点拨]这是一个绝对值不等式，对于绝对值这个问题，我们一方面可运用分类的思想将绝对值脱去，将之转化为不含有绝对的问题来解决（这一过程仍有转化的思想，不过也有分类的数学思想）。另一方面，我们还可以根据绝对值的几何意义，把绝对值脱去，使之转化为不含绝对值的问题，从而达到解决该问题的目的。[解]