姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法

姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！一、分部积分的表格法分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。当涉及到幂函数(多项式函数)次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式：定理：设u=u(x),v=v(x)有n+1阶连续导数，贝ljJuv(n+1)dx=uv(n)-u'v(n-1)+U''V(n-2)-U'''v(n-3)+ +(一1)“+jU(n+1)vdx。(此定理及证明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！)证：用数学归纳法。=0时，Juv'dx=uv-Ju'vdxk>1=0时，Juv'dx=uv-Ju'vdxk>1时，Juv(k+1)dx=uv(k)-u'v(k-1)+u''v(k-2)-u'''v(k-3)++*)则当n=k+1时,Juv(k+2)dx=Judv(k+1)=uv(k+1)-Ju'v(k+1)dx将上式的u'将上式的u'(*)式中的u，则有Ju'v(k+1)dx=u'v(k)-u''v(k-1)+u'''v(k-2)+(-1)k+1Ju(k+2)vdx从而Juv(k+2)从而Juv(k+2)dx=uv(k+1)I 11 ••• III-uv(k)+uv(k-1)-uv(k-2)++(-1)k+2Ju(k+2)vdx得证。】上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，•如下表。u的各阶导数u u' u'' u''' u(n+1)v(n+1)的各阶原函数v(n+1)"'''Xn) -1)"'''''VCn-2)Zv下面通过例子给予演示(1)“幂三”型例1.1J(x5+3x2-2x+5)cosxdx解：x5+3x2一2xx5+3x2一2x+55x4+6x一2、(20x3+62)日60x212.S-0'㊀*cosxsinx'■'一cosx-sinxs'-<osx、sinx一cosx所以原式=(x5x一60x2cosx+120xsinx+120cosx+Cx++6x-2)cosx-3+62）“幂指”型x4一2x3一x4一2x3一14x3一6x212x2一12x24x—12240Plw,e2xe2x2VJ.fe2x4e2x8y、e2x16'e2x32例1.2f(x4一2x3一1)e2xdx解：162所以原式=x4一2x3一14x3一6x2 12x2一12x24x一1224) + — +—e2x+C4 8 16 32丿8(1 )—x4一2x3+3x2一3x+1e2x+C12 丿3）“反幂”型（尤其是反三角函数次数高于1时）arcsinxarcsinx)2dx解：令u=arcsinx，贝Ux=sinu,dx=cosudu所以原式二fsinu-u2-cosudu=fu2sin2udu2u2J2u20B、;二sin2u1—cos2u2—sin2u4""'^1cos2u8111而原式二一—cos2u•u2+sin2u•2u+—cos2u+C

4881 1 1=一(arcsinx)2(1—2x2)+x\.1一x2arcsinx+(1—2x2)+C。4 2 84）“对幂”型（尤其是对数函数次数高于1时）例1.4fx3(lnx)4dx解：令lnx=u，贝Ux=eu,dx=e“du,

故原式=Jx3(lnx)4dx=Je3uu4eudu=Ju4e4udu这是幂指类型了，用表格法自己解解看吧！)1 3 3 3(ln4x一ln3x+ln2x一故原式=Jx3(lnx)4dx=Je3uu4eudu=Ju4e4udu这是幂指类型了，用表格法自己解解看吧！)1 3 3 3(ln4x一ln3x+ln2x一lnx+ )x4+C4 4 8 325)“三指”型(此为循环模式，想想与前面的有何不同？)Jsinxe2xdxsinx 、cosx 、—sinx|、 e2x、 e2xVe2x24丨例1.5解：所以有Jsinxe2xdx=(1sinx一—cosx)e2x2 4sinxe2xdx，求解得Jsinxe2xdx-(—sinx一1cosx)e2x+C52 4二、求n阶常系数非齐次线性微分方程特解的微分算子法n阶常系数非齐次线性微分方程为：y(n)+py(n-1)+py(n-2)++py'+py=f(x)丰0 (**)1 2 n-1 n求解非齐次方程(**)的特解y*(x)常有三种方法：待定系数法、常数变易法和微分算子法。常数变易法在教材中一阶非齐次线性微分方程中已有介绍，待定系数法在二阶非齐次微分方程中着重讲解，因此，在此，主要讲微分算子法。首先引进记号：-=D,丄=D2,dx dx2dndxn=Dn，TOC\o"1-5"\h\zdx dx2=如=叭,dxn(**)式变为(Dn+pDn-1++pD+p)y==如=叭,dxn1 n-1 n兀己F(D)=Dn+pDn-1+…，+pD+p，1 n-1 n于是F(D)y=f(x)，从而得特解y*= f(x)。

下面关键是要弄清楚f1d)这个算子是如何进行作用的呢?通常f(x)为幂、三、指、幂三、幂指、三指和幂三指几种类型，下面分别讨论(主要采用书上的例子。)(1)幂：f(x)为多项式函数，采用多项式除法进行计算，什么是多项式除法呢？例2.1y"—3y'+2y二x2+5解：原方程的一个特解为y解：原方程的一个特解为y*=x2+5D2—3D+2D21—-D+-D2

22‘1 3…7一\「24 8丿(后面可以继续写下去，但是想想，函数f(x)二‘1 3…7一\「24 8丿从而y*=亠- , 1 3 7 1 3 17从而y*=十D+=D2(x2+5)=2(x2+5)+4-2x+8X2=2x2+2x+T(2)指：f(x)=ek，当九不是特征方程的根时，将九直接代入分母的D；当九是特征方程的单根时，将分子乘以一个x，分母对D求导数，然后将九代入分母;当九是特征方程的二重根时，将分子乘以一个x2，分母对D求两阶导数，然后将九代入分母。例2.2.1y''+2y'—3y=e2x解：y*D解：y*D2+2D—3 22+2X2—3(因为九=2不是特征方程r2+2r—3=0的根。)例2.2.2y''+2y'-3y二ex解：y*=竺 丄上£二殳"亠("因为“1是特征方程D2+2D-3 2D+2 2<+2 4r2+2r—3=0的单根。)例2.2.3y'+2y'+y二e-x解：y*=空=汇=土(因为九=-1是特征方程r2+2r+1二0的二D2+2D+12D+2 2重根。)(3)三：f(x)为正弦函数或余弦函数时，由于欧拉公式连接了正、余弦函数,所以正、余弦函数可以转化为指数函数来求解，一般采用定理3.5进行求解。例2.3y''+2y'+y=cosx解：cosx二Re(eix)(实部)所以先求解方程y'+2y'+y二e/x，此时y*=1e此时y*=1eixD2+2D+1eixi2+2/+1ie/x~2=-—(cosx+isinx)21i=—sinx-cosx221故原方程的一个特解y*=Re(y*)=sinx。12(4)幂三、幂指、三指或幂三指，基本原则：三角函数看成复数域内指数函数的实部或虚部，从而转化成幂指类型，将指数函数提前，后面的算子中D换成D+九。1D2表示两次不定积分)例2.4.1y''-6y'+9y=5(x+1)e1D2表示两次不定积分)解：y*=5(x+De3x=e3x 5Cx+1) =e3x5Cx+1)(注:D2-6D+9 (D+3)2-6(D+3)+9 D215(x2+x+c)

=e3x2 LD(5x3+5x2+cx+c)6212由于取的是一个特解，所以c,c可以随便取，不妨取为0吧，从而得一个特解12*=(5x3+5x2)e3x62

例2.4.2y''-y二exsin2x(三指)解：exsin2x二Im(exei2x)二Im(e(i+2i)x),所以先求解y"-y=e(i+2i)x,解得y*=1e(1解得y*=1e(1+2i)xD2-1(1+2i)2-1=-8(i+1)e(1+2°x=-1(i+1)ex[cos2x+isin2x]=-彳[(cos2x-sin2x)+i(cos2x+sin2x)]所以原方程的一个特解为y*=Im(y*)=- (cos2x+sin2x)。18例2.4.3y"一y=xsin2x(幕三)解：xsin2x=Im(xe2ix)，所以先求解y''-y=xe2ix,解得y*=解得y*=君=e2ixx(D+2i)2-1x-5+4iD+D2（这里用了多项式除法）14i x 4i=e2ix(-一 D)x=(cos2x+1sin2x)(-一)525 525/x4/x4 )一一cos2x+sin2x+i-—sin2x-——cos2xI525丿I525丿x4所以原方程的一个特解为y*=Im(y*)=-?sin2x一25cos2x例2.4.4y''-2y'+5y=xexsin2x(幕三指)解：xexsin2x=Im(xexei2x)=Im(xe(1+2i)x)，所以先求解y''-2y'+5y=xe(1+2i)x解得xe(1+2i)x=exe(1+2i)x=e(1+2i)xD2-2D+5x(D+1+2i)2-2(D+1+2i)+5=e(1+2i)xxD2+4iD=e(1+2i)xxD(D+4i)1111(—；+ D)x —；x+ 1 1 ・ 1 、、 1r.=e(1+2i)x 4i 16 =e(1+2i)x 4i 16=e(1+2i)x