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勾股定理的证明数学专题:勾股定理的证明数学专题:方法一:欧几里得“公理化证明”方法二:加菲尔德“总统证明法”方法三:赵爽“勾股圆方图”
方法四:毕达哥拉斯“拼图”方法一:欧几里得“公理化证明”方法二:加菲尔德“总统证明法”希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330~公元前275)在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献,发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。方法一:欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330~公元前275从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形(如图),作CN⊥DE交AB于M,那么正方ABED被分成两个矩形.连结CD和KBMN
同理可证S矩形MNEB=S正方形CBFG.∴S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ACHK+S正方形CBFG.即S正方形ADEB=S正方形ACHK+S正方形CBFG,也就是a2+b2=c2.∵由于矩形ADNM和△ADC同底(AD),等高(即平行线AD和CN间的距离),∴S矩形ADNM=2S△ADC.又∵正方形ACHK和△ABK同底(AK)、等高(即平行线AK和BH间的距离),∴S正方形ACHK=2S△ABK.∵AD=AB,AC=AK,∠CAD=∠KAB,∴△ADC≌△ABK.由此可得S矩形ADNM=S正方形ACHK.返回从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形(如图),作CN⊥DE方法二:加菲尔德“总统证明法”谁说总统就是在国家领导,每天忙于外交的工作,然而有一个人他在1876年4月1日,在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。我们不要说自己忙忙于时间去做,任何事情,他就是我们的榜样ccaabbAEBCD方法二:加菲尔德“总统证明法”谁说总统就是在国家领导,每ababcc=∵A.E.B在同一条直线上又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于ABCDEccababcc=∵A.E.B在同一条直线上ABCDEcc=++∵RtΔEAD≌RtΔCBE∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,∴图形面积=2÷2a×b+c×c÷2AEBCDaabbcc=++∵RtΔEAD≌RtΔCBEAEBCDaabbc∵图形是相同的,方法不一样∴∴从而证明了勾股定理返回∵图形是相同的,方法不一样∴∴从而证明了勾股定理返回方法三:赵爽“勾股圆方图”赵爽三国时期吴国数学家,在为《周髀算经》作注解时,创制了一幅“勾股圆方图”,也称为“弦图”,这是我国对勾股定理最早的证明,是我国古代数学成就。方法三:赵爽“勾股圆方图”赵爽三国时期吴国数学勾a股b弦c=+6×c×c+4÷2ab=8÷2ab+(b-a)(b-a)∵∴返回勾a股b弦c=+6×c×c+4÷2ab=8÷2ab+(方法四:毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯(公元前572—前497年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.图1图2方法四:毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯(公元前572—前497将4个全等的直角三角形拼成边长为(a+b)的正方形ABCD,使中间留下边长c的一个正方形洞.画出正方形ABCD.移动三角形至图2所示的位置中,于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞.则图1和图2中的白色部分面积必定相等。ABDCbbaa所以返回将4个全等的直角三角形拼成边长
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