根轨迹绘制举例课件

根轨迹绘制举例(1)例1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大致形状。0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹⅹp1p2p4-1.2545o开环极点：p1=0，p2=-3、p3=-1+j、p4=-1-j无开环零点n-m=4实轴上[0，-3]为根轨迹渐近线与实轴交点：解：渐近线与实轴正方向的夹角：根轨迹绘制举例(2)例1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大致形状。0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹⅹp1p2p4-1.2545o根轨迹实轴的分离点（舍去）根轨迹在开环极点-p3处的出射角-2.3-71.3o71.3o根轨迹绘制举例(3)根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）。0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹⅹp1p2p4-1.2545o-2.3-71.3o71.3o解得临界稳定的条件：K1=8.16-j1.1j1.1例2：画出开环传递函数对应的闭环根轨迹。解（1）根轨迹增益K1=3K。（2）根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。(3)实轴上区段0~-2和-3~-∞为根轨迹。(4)根轨迹有三条渐近线(n－m＝3)，与实轴的倾角为根轨迹绘制举例(4)(5)渐近线与实轴交点坐标为(6)系统特征方程——根轨迹与虚轴的交点根轨迹绘制举例(5)(7)两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±j(8)各闭环极点之和为－5当实轴上根轨迹分支向左趋向于无限零点时，两个从复数极点出发的根轨迹分支趋向于右边无限零点。交点处的K1＝2.34(9)根轨迹与虚轴两个交点根轨迹绘制举例(6)根轨迹绘制举例(7)常见的根轨迹的形状根轨迹绘制举例(8)课堂练习1根轨迹绘制举例(9)课堂练习22.分别绘B=4、9、12、∞时闭环系统的根轨迹的大致形状。1.分别绘如下闭环系统的根轨迹的大致形状。n-m=3负实轴为根轨迹渐近线与虚轴交于j4.61出射角与虚轴交点：临界K1=136将K=136、s=j代入D(s)=0=4.123分离点（或会合点）：n-m=3负实轴为根轨迹分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角与虚轴交于4.61临界K1=256将K1=256、s=j代入D(s)=0=5.66d=-2.67j1.89！舍去n-m=3负实轴为根轨迹分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角与虚轴交于3.46临界K1=72将K1=72、s=j代入D(s)=0=3.46！三条轨迹重合B=∞n-m=1实轴[-1,-∞)为根轨迹分离点（或会合点）：K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交与虚轴交点：渐近线出射角B=∞n-m=1实轴[-1,-∞)为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交与虚轴交点：渐近线出射角分离点（或会合点）：B=4n-m=2实轴[-1,-4]为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！舍去B=4n-m=2实轴[-1,-4]为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！舍去B=9n-m=2实轴[-1,-9]为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！三条轨迹重合B=9n-m=2实轴[-1,-9]为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角！三条轨迹重合B=12n-m=2实轴[-1,-12]为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角B=12n-m=2实轴[-1,-12]为根轨迹K1:0∞故根轨迹与虚轴不相交分离点（或会合点）：与虚轴交点：渐近线出射角控制系统的根轨迹分析系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系系统阶跃响应的根轨迹分析系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系阶跃响应设n阶闭环系统的传递函数为-zi——闭环零点-si——闭环极点对于阶跃输入的输出为：系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系其中：可见：系统的单位阶跃响应由闭环极点sk及系数Ak决定，而系数Ak也是与零极点分布有关的。系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系阶跃响应定性关系一个控制系统，总是希望它的输出尽可能复现给定的输入，并且希望动态过程的快速性和平稳性尽可能好。因此，要满足稳准快的三大要求，零极点应该如何分布呢？1.要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点-si均分布在[s]平面的左半部。2.要求系统快速性好，应使阶跃响应中的每个分量eskt

衰减得快，则闭环极点应远离虚轴。3.要求系统平稳性好，则复数极点应设置在[s]平面中与负实轴成±45o夹角线附近。4.要求动态过程尽快消失，要求系数Ak要小，因为Ak小，对应暂态分量小。系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系主导极点与偶极子离虚轴最近的闭环极点(复数极点或者实数极点)对系统动态过程性能的影响最大，起着主导的决定性的作用，我们称它(们)为主导极点。一般其他极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大6倍以上时，则那些闭环极点可以忽略，有时甚至比主导极点的实部绝对值大2-3倍的极点也可以忽略不计。工程上，往往只用主导极点估算系统的动态性能，即将系统看成一阶的或二阶的处理。工程上，当闭环零极点之间的距离比他们的模值小一个数量级，就可以认为他们是一对偶极子。我们把一对靠得很近的闭环零极点称为偶极子，偶极子对系统输出的影响可忽略。系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系主导极点与偶极子离虚轴最近的闭环极点(复数极点或者实数极点)对系统动态过程性能的影响最大，起着主导的决定性的作用，我们称它(们)为主导极点。当某一闭环极点(复数极点或者实数极点)与某零点靠得很近时，它们之间的模值很小，暂态分量也很小，故输出中这个分量的影响可忽略不计。系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系利用主导极点估算系统的性能指标某系统的闭环传递函数如下式，试估算：系统的σ%，和ts解：闭环有3个极点-4jσ0-1.5主导极点s1s2s3s1离虚轴最近，可视为系统的主导极点，s2，

s3可忽略不计。此时系统近似为一阶系统。系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系利用主导极点估算系统的性能指标某系统的闭环传递函数如下式，试估算：系统的σ%，和ts解：闭环有3个极点，一个零点s1与z1构成了偶极子，s2，

s3变为系统的主导极点。此时系统近似为二阶系统。-4jσ0-1.5偶极子s1s2s3z1

根轨迹绘出以后，对于一定的K1值，即可利用幅值条件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。用根轨迹法分析控制系统的步骤:1.画出系统的根轨迹图2.在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3.根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能系统阶跃响应的根轨迹分析系统阶跃响应的根轨迹分析举例说明例1:已知系统的开环传递函数解：1.画出系统的根轨迹试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算主导极点具有阻尼比ζ=0.5时的性能指标。K1=2K(1)有3条根轨迹(2)实轴上(0~-1),(-2~-∞)为根轨迹段(3)渐近线的夹角与坐标系统阶跃响应的根轨迹分析举例说明(4)分离点的坐标(5)根轨迹与虚轴的交点舍去系统阶跃响应的根轨迹分析举例说明0j1j-j1-1-2-3σp3ⅹⅹⅹp1p2-0.4860o-j1.141j1.1412.分析系统的稳定性由根轨迹与虚轴的交点可知：当：0<K<3时，根轨迹位于左半[s]平面，系统稳定。3.根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点的位置。60os1由图中得：s1=-0.33+j0.58s2=-0.33-j0.58s2由开环极点与闭环极点的关系得系统阶跃响应的根轨迹分析举例说明4.估算系统的性能指标写出等效闭环传递函数由已知的闭环极点和根轨迹的幅值条件可求出对应的根轨迹增益和开环增益。开环增益和根轨迹增益的区别！！系统阶跃响应的根轨迹分析小结：1.根轨迹图上希望闭环极点的位置0jσts≤2sts≤1sσ%≤16%ts≤2sσ%=0.25%系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响(开环传递函数上增加极点)降低了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小根轨迹向右方向弯曲渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响右移极点增加一个极点系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环零点的影响(开环传递函数上增加零点)提高了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲渐近线与实轴交点随着zc增大（zc点在实轴上向右移）而左移系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环零点的影响系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环零点的影响增加一个零点的情况右移零点系统阶跃响应的根轨迹分析2.开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点增加一个惯性环节增加开环零点加入一阶微分环节（s+zc）加入环节增加一对开环零极点|zc|<|pc||zc|>|pc|开环偶极子|zc|≈|pc|改变根轨迹的形状3.参数变化对闭环极点的影响??广义根轨迹参量根轨迹延迟系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹参量根轨迹概述为了区别一开环增益为变量的常规根轨迹，我们把非以开环增益为变量的其他根轨迹成为参量根轨迹。参量根轨迹的绘制方法与常规根轨迹相同，但必须作适当的变换处理。σ——为根轨迹的参变量。参量根轨迹举例说明例1：设反馈系统的开环传递函数为：试绘制K=10时,系统随参量a变化的根轨迹a——为根轨迹的参变量。解：写出系统的闭环特征方程，并进行变换如下。代K=10可得：0jσ参量根轨迹举例说明（续1）(1)根轨迹有两条。-z1-p1-p2ⅹⅹ(3)整个负实轴都是根轨迹。(2)根轨迹渐近线1条0jσ参量根轨迹举例说明（续2）(4)汇合点z1p1p2ⅹⅹ(5)出射角180o-180o参量根轨迹推广:如果开环增益K变化，则，对应的开环极点也发生变化，根轨迹也发生变化。由此得到的是一族根轨迹.其起点为:0jσz1p1p2ⅹⅹ180o-180o参量根轨迹推广:对于参量根轨迹，其分析方法和步骤与常规根轨迹完全一样。所有对应常规根轨迹的分析结论，在这里也都适用。利用参量根轨迹可分析系统中各参数变化对系统性能的影响，也可用于做根轨迹校正。延迟系统的根轨迹m个零点n个极点（nm）幅值条件相角条件（k=0,1,2,…）很小正反馈系统的根轨迹根轨迹方程m个零点，n个极点（nm）幅值条件相角条件（k

=0,1,…）

正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹的基本规则根轨迹的分支数(相同)根轨迹的起点和终点(相同)根轨迹的对称性(相同)实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开环实数零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点(相同);根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分离点(相同)根轨迹的出射角和入射角:离开开环极点出射角;进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点(相同)闭环极点的和与积(相同)正反馈系统的根轨迹例题分析：已知正反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。2条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条则沿正实轴趋于无穷远处。开环极点-p1,2=-1j,开环零点-z=-2

实轴上[一2，+∞]为根轨迹，n-m=1渐近线1