空间几何体教案

文档编码:CF9O1S9G1Q9——HQ10S10Z8H7W5——ZA5M8H1I3N6第一章 课文目录

1．1 空间几何体的结构

1．2 空间几何体的三视图和直观图

1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：

1、让同学感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特点；2、画出简洁组合体的三视图；3、用斜二测画法画空间几何值的直观图；4、柱体、锥体、台体的表面积和体积运算,台体体积公式的推导；5、明白推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法；学问结构：

表面积 体积度量空间几何体棱柱柱体圆柱球体锥体台体中心投影三视图平行投影棱锥圆锥棱台圆台直观图 一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特点

（1）柱棱柱：一般的,有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱； 棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面,简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面； 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；底面是三角形、四边形、五边形⋯⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯⋯圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴, 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； 无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线；棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥； 这个多边形面叫做棱锥的底面或底； 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；底面是三角锥、四边锥、五边锥⋯⋯的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥⋯⋯圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥； 旋转轴为圆锥的轴； 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面； 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面；名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第1页,共12页棱锥与圆锥统称为锥体；

（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点；圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴；圆台和棱台统称为台体；

（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球；半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径；（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体；几种常凸多面体间的关系一些特别棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图形有两个面相互平侧棱垂直于底面底面是正多边形的定义行,而其余每相的棱柱直棱柱邻两个面的交线都相互平行的多

面体侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面与底面全等的多与底面全等的多与底面全等的正多的形状边形边形边形名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第2页,共12页名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形有一个面是多底面是正多边用一个平行于由正棱锥截得定义边形,其余各面形,且顶点在底棱锥底面的平的棱台是有一个公共面的射影是底面去截棱锥,底顶点的三角形面的射影是底面和截面之间的多面体面和截面之间的部分的部分侧棱相交于一点但相交于一点且延长线交于一相等且延长线不愿定相等相等点交于一点侧面的三角形全等的等腰三梯形全等的等腰梯形状三角形角形梯形形对角面等腰三角形等腰梯形的形状平行于与底面相似的与底面相似的与底面相似的与底面相似的底的截多边形正多边形多边形正多边形面形状其他性高过底面中心；两底中心连线侧棱与底面、侧即高；侧棱与底面与底面、相邻面、侧面与底质两侧面所成角面、相邻两侧面都相等所成角都相等几种特别四棱柱的特别性质：名称平行六面体直平行六面体长方体正方体特别性质底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点,且被该点平分

侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形；四条对角线交于一点,且被该点平分底面和侧面都是矩形；四条对角线相等,交于一点,且被该点平分

棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交于一点,且被该点平分2．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观看同一个几何体,画出的空间几何体的图形；他具体包括：名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第3页,共12页 （1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的长度和宽度；

三视图画法规章：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3．空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取相互垂直的 OX,OY,建立直角坐 标系；②画出斜坐标系, 在画直观图的纸上 （平面上）画出对应的 O’X’,O’Y’,使 XOY=45 ' ' ' 0（或1350）,它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形,在已知图形平行于 X轴的线段,在直观图中画成平行于 X‘轴,且长度保持不变；在已知图形平行于 Y轴的线段,在直观图中画成平行于 Y‘轴,且长度变为原先的一半；④擦去帮忙线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的帮忙线（虚线）；（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是相互平行的,中心投影的投影线相交于一点； 留意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 由于多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来, 因此平面多边形水平放置时, 直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法；强调斜二测画法的步骤；例题讲解：

[例1]将正三棱柱截去三个角（如图 1所示A,,C分别是 △ GHI 三边的中点）得到几何体如图2,就该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）侧视．．．．图 图[例2]在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,就在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线（）D．有许多条A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第4页,共12页[例3]正方体 的棱长为 ,点是 的中点,点 是平面 内的一个动点,且中意 ,到直线 的距离为 5,就点 的轨迹是（ ）圆 双曲线 两个点 直线解析：点到 的距离为 5,就点 到 的距离为 ,中意此条件的 的轨迹是到直线 的距离为 的两条平行直线,又 PM 2, 中意此条件的 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,这两种轨迹只有两个交点故点的轨迹是两个点；选项为 ；点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象才能；[例4]两相同的正四棱锥组成如图 所示的几何体,可放棱长为 的正方体内,使正四棱锥的底面 与正方体的某一个平面平行,且各顶点．．．均在正方体的面上,就这样的几何体体积的可能值有（ ）． 个 ． 个 ． 个 ．无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半, 影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 的面积,问题转化为边长为 的正方形的内接正方形有多少种,所以选 ；点评：此题主要考查空间想象才能, 以及正四棱锥的体积； 正方体是大家熟识的几何体,它的一些内接或外接图形需要确定的空间想象才能,要学会将空间问题向平面问题转化；题型：空间几何体的定义D1,B13,C1[例5]长方体ABCDABCD的个顶点在同一个球面上,且AA11,就顶点、间的球面距离是．2．2．2．2A142DOＢ.C解析：BD1AC12R22,R2,设BD1AC1O就OAOBR2,BAOB2,lR22,故选A点评：抓住本质的东西来进行判定,对于信息要进行加工再利用；[例6]已知直线B和平面,中意mn,ma,D.n//就.n//,或nC.n,或nA.n解析：易知D正确.名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第5页,共12页点评：对于空间几何体的定义要有深刻的熟识,把握它们并能判定它们的性质；题型：空间几何体中的想象才能的菱形,BCD600,[例7]如以下图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为是的中点,底面,PA3；（）证明：平面平面；（）求二面角和的大小；PDECA B解析：解法一（ ）如以下图 连结 BD由ABCD是菱形且 BCD 60 0知,△ BCD是等边三角形 由于 是 的中点,所以BE⊥CD,又 AB// CD,所以 BE⊥ AB,又由于 平面 ,BE 平面 ,所以 PA⊥ BE,而PA AB A,因此BE⊥平面又BE 平面 ,所以平面 平面（ ）由（ ）知,BE⊥平面 PB 平面 所以 PB BE.又 AB⊥BE,所以 PBA是二面角A BE P的平面角．在Rt△ PAB中 tan PBA PA 3, PBA 60.．AB故二面角A BE P的大小为60.解法二：如以下图 ,以A为原点,建立空间直角坐标系．就相关各点的坐标分别是A〔000〕, B,,〔100〕, C〔

3,

3,0〕, D〔

1,

3,0〕, P〔00,,3〕, E, 3,0〕.2 2 2 2 2（ ）由于 BE 〔0, 3,0〕,平面 的一个法向量是 n0 〔010〕,所以BE和n共线02从而BE⊥平面 又由于BE 平面 ,所以平面 平面（ ）易知 PB 〔10, 3〕, BE 〔0, 3,0〕, 设n1 〔x1,y1,z1〕是平面 的一个法向量2名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第6页,共12页就由n1PB0,得x10y1y13z10,0所以y1=0,x13.13n1BE00x10z12故可取1n〔301〕.,,而平面的一个法向量是n2〔001〕.于是cosnn2|nn2|1.．n1||n22故二面角ABEP的大小为60.点评：解决此类题目的关键是将平面图形复原成空间图形,较强的考察了空间想象才能；[例8]如图,在三棱锥PABC中,ACBC2,ACB90,APBPAB,PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小．解析：解法一：（Ⅰ）取AB中点D,连结PD,CD．PCC,6,APBP,PDAB．ACBC,CDAB．PDCDD,AB平面PCD．PC平面PCD,PCAB．（Ⅱ）ACBC,APBP,△ APC≌△ BPC又PC AC,．PCBC．又ACB90,即ACBC,且ACBC平面PAC．BE 3

2AB取AP中点E．连结BE,CE．ABBP,BEAP．EC是BE在平面PAC内的射影,CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在△BCE中,BCE90,BC2,名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第7页,共12页sinBECBC6

3．arcsin6．BE二面角BAPC的大小为3解法二：（Ⅰ）ACBC,APBP,想图、画图的角度考查了是高考从深层上考查空△APC≌△BPC．又PCAC,PCBC．ACBCC,PC平面ABC．AB平面ABC,PCAB．（Ⅱ）如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．就C〔000〕,,,A〔020〕,,,B〔200〕,,．设P〔00,,t〕．PBAB22,t2,P〔002〕,,．取AP中点E,连结BE,CE．ACPC,ABBP,CEAP,BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．E〔011〕,,,EC〔0,,1〕,EB〔2,,1〕,cosBECECEB263．ECEB23二面角BAPC的大小为arccos3．3点评：在画图过程中正确懂得已知图形的关系是关键；通过识图、空间想象才能；而对空间图形的处理才能是空间想象力深化的标志,间想象才能的主要方向；[例9]画正五棱柱的直观图,使底面边长为侧棱长为；解析：先作底面正五边形的直观图,再沿平行于作法：名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成轴方向平移即可得；截取（）画轴：画,,轴,使（或）,；（）画底面：按轴,轴画正五边形的直观图；（）画侧棱：过、、、、各点分别作轴的平行线,并在这些平行线上分别（,,,,；）成图：顺次连结,,,,,加以整理,去掉帮忙线,改被遮挡的部分为虚线；点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图；[例10]ABC是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图,如ABC的面积为；3,那么的面积为6；解析：2 点评：该题属于斜二测画法的应用,的对应关系；特别底和高的对应关系；解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间[例11]如图,在棱长为的正方体ABCDABCD中,D（）,截面AD,截面AD．C（）证明：平面和平面相互垂直；（）证明：截面和截面面积之和是定值,AB并求出这个值；（）如DE与平面所成的角为45,求DE与平考查空间想象才能与面所成角的正弦值．本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础学问,规律思维才能；

解析：解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中,AD∥AD,ADAB,又由已知可得ADBCPF∥AD,PH∥AD,PQAB,所以PHPF,PHPQ,所以PH平面PQEF．所以平面PQEF和平面PQGH相互垂直．（）证明：由（）知和截面都是矩形,且,所以截面PF2AP,PH2PA,又截面和截面面积之和是〔2AP2PA〕PQ2,是定值．（）解：连结交于点．由于PH∥AD,PQ∥AB,名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第9页,共12页所以平面ABCD和平面相互平行,因此DE与平面所成角与DE与平面ABCD所成角相等．,可知平面ABCD,因此与DE的比值就是所求的与（Ⅰ）同理可证平面正弦值．设AD交于点,连结,由FD1b知〕22,DE〔1b〕22,ND22〔1b〕．22由于AD平面,又已知DE与平面成45角,所以DE2ND,即222〔1b〕〔1b22解得b1,可知为中点．2所以2,又DE〔1b〕223,42故DE与平面所成角的正弦值为EM2．DE6解法二：以为原点,射线 , , 分别为 ,,轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 －由已知得 DF 1 b,故A,,,A〔101〕,,,D〔000〕,,,D 〔001〕,,,P〔10,,b〕,Q〔11,,b〕, E〔1 b,,, D CF〔1 b,,,Gb,,, Hb,,． A B（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中,可得PQ 〔010〕,,,PF 〔 b,,b〕 ,PH 〔b 101 b〕,AD 〔101〕,,,AD 〔10,,1〕．由于 ADPQ 0,ADPF 0,所以AD是平面 的法向量．由于 ADPQ 0,ADPH 0,所以AD是平面 的法向量．由于 AD AD 0,所以AD AD,所以平面 和平面 相互垂直．名师归纳总结——大肚能容,容学习困难之事,学习有成第10页,共12页（Ⅱ）证明：由于 EF 〔0,,,所以EF∥ PQEF PQ ,又PF PQ,所以为矩形,同理 为矩形．在所建立的坐标系中可求得 PH 2〔1 b, PF 2b,所以 PH PF 2,又 PQ 1,所以截面 和截面 面积之和为 2,是定值．（Ⅲ）解：由已知得 DE与AD成45角,又 DE 〔1 b,,1〕,AD 〔101〕,,可得DEAD b 2 2,DEAD 2 〔1 b〕 22 2即〔1

2b〕

b2 2 1,解得 b 12

．所以 DE 11,,1 ,又 AD 〔10,,1〕,所以DE与平面 所成角的正弦值为2|cos DEAD |

12 1 2．3 2 62点评：考查学问立足课本,对空间想象才能、分析问题的才能、 操作才能和思维的灵敏性等