空间向量与立体几何

文档编码:CI5P3N8B2X5——HE4E7X9Y8M6——ZZ2G5G3J8B8[键入文字] [键入文字]空间向量与立体几何1.如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1ECF1．A1D11,M是线段EF的（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．2.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB2,AF中点．（1））求二面角ADFB的大小；60o．E（2）试在线段AC上确定一点P,使PF与BC所成的角是MDCFAB-1-[键入文字]AC,AB3,AC34,BCAC．[键入文字]3.如图,已知直三棱柱ABCABC中,ABA大小的余弦值为,求（1）求AA的长．BP的值．（2）在线段BB存在点P,使得二面角PAC3BB11AB1AC1P4.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4．BC（1）设ADAB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为910,求的值；B150（2）如点D是AB的中点,求二面角D—CB1—B的余弦值．C1A1ACDB-2-[键入文字]AA12,BDDC.[键入文字]5.直三棱柱ABCABC中,AB1 1 1AC,AB2,AC4,（1）如1,求直线DB与平面ACD所成角的正弦值；B1A1DC1（2）如二面角B1AC1D的大小为60,求实数的值.ACB第5题图6.如图,在直三棱柱ABCABC中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC1,AA12,点P是棱BB上一点,中意BPBB1〔0≤≤1〕.B1A1C1（1）如=1,求直线PC与平面ABC所成角的正弦值；3（2）如二面角PACB的正弦值为2,求的值.3PBAC（第6题）-3-[键入文字] [键入文字]7.如图,在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中,侧面 ADD1A1⊥底面ABCD,D1A＝D1D＝ 2,底面ABCD为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD＝2AB＝2BC＝2；（1）在平面ABCD内找一点F,使得D1F⊥平面AB1C；（2）求二面角 C－B1A－B的平面角的余弦值；-4-空间向量与立体几何1.如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1EA1CFD11．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．解：∵DA,DC,DD1两两垂直,∴以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如以下图,∵棱长为3,A1ECF1,〔,3〕1,0,y就D〔0,0,0〕,A〔3,0,0〕,B〔3,3,0〕,C〔0,3,0〕,A1D1zD1〔0,0,3〕,A1〔3,0,3〕,B1〔3,3,3〕,C1〔0,3,3〕,E〔3,0,2〕,F〔0,3,1〕,∴AC1〔3,3,3〕,D1E〔,30,〕1∴cosAC1,D1E9999391230,15两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值是230x15（2）设平面BED1F的法向量是n〔x,y,z〕,又∵BE〔0,,32〕,BFnBE,nBF,∴nBE,nBF0,〔3,3,3〕,即3y2z00,令z3,就x,1y2,所以n〔,1,23〕,又AC13xz∴cosAC1n1439699242,99212,AF1,M是线段EF的∴直线AC1与平面BED1F所成角是2AC,n,它的正弦值是sin〔2AC1,n〕cosAC1,n242.212.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB中点．（1））求二面角ADFB的大小；EMFB成的角是（2）试在线段AC上确定一点P,使PF与BC所60o．C-5-DA22．解：（1）以uuuruuruurCDCBCE为正交基底,建立空间直角坐标系,就E〔001〕,D〔2,00〕,,F2,2,1,B〔0,2,0〕,A〔2,2,0〕,uuurBD〔2,2,0〕,uuurBF〔2,0,1〕．面ADF的法向量r

t〔1,0,0〕,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分设面DFB法向量r

n〔,,〕,就ruuurnBD0,ruuurnBF0,所以2ac2b0,令a1,得b1,c2,所以r

n〔1,1,2〕．⋯⋯⋯⋯..4分2a0.设二面角ADFB的大小为〔02〕cosrr

nt1,从而cos60,2故二面角ADFB的大小为60o．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6分（3）依题意,设Paa〔,,0〕（0a2）,就uuurPF〔2a,2a,1〕,uurCB〔0,2,0〕．由于uuuruur

PFCB60o,所以cos60o22〔2a〕211,解得a2,⋯..9分2〔2a〕22所以点P应在线段AC的中点处．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.10分3.如图,已知直三棱柱ABCABC中,ABAC,AB3,AC4,BCAC．（1）求AA的长．1（2）在线段BB存在点P,使得二面角PACA大小的余弦值为3,求BP的值．3BB1A1B1C1-6-PABC（23题图）23．（1）以 ABACAA所在直线为 xyz轴建立如以下图的空间直角坐标系,设 AA1 t,就 A〔0,0,0〕 ,C1〔0,4,〕t, B1〔3,0,〕t,C〔0,4,0〕 ∴ AC1 〔0,4,〕t, BC1 〔3,4, t〕BC AC1 ACBC 0,即16 t 20,解得 t 4,即 AA的长为4． ⋯⋯3分（2）设 P〔3,0,m,又 A〔0,0,0〕 ,C〔0,4,0〕 , A1〔0,0,4〕AC 〔0,4, 4〕, AP 〔3,0,m 4〕,且0 m 4设n 〔,,〕xyz为平面 PAC的法向量 n ACn AP∴

4y 4z 0,取 z 1,解得 y 1,x 4 m,3x 〔m 4〕z 0 3∴n 〔 4 m,1,1〕为平面 PAC的一个法向量． ⋯⋯6分3又知 AB 〔3,0,0〕 为平面 ACA的一个法向量,就 cos nAB 4 m3 11 〔4 m〕 23∵二面角 P AC1 1 A大小的余弦值为 3 , ∴ 4 m 3,33 11 〔4 m〕 2 33解得： m 1 BP 1⋯⋯10分BB1 44.如图,在四棱柱 ABCD ABCD中,1 1 1 1 AD 1,DD1 2,点P为棱 CC的中点；1（1）设二面角 A AB P的大小为 ,求sin 的值；AM（2）设M为线段 AB上的一点,求 的取值范畴；MP-7-5.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4．（1）设 AD AB,异面直线 AC1与CD所成角的余弦值为 910,求 的值；50（2）如点D是AB的中点,求二面角 D—CB1—B的余弦值．-8-C1 B1A1Cn1B〔4,3,3〕立如以下图的AD22.解：（１）由AC=3,BC=4,AB=5得ACB900⋯⋯⋯⋯⋯１分以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建空间直角坐标系．就Ａ〔3,0,0〕,C〔0,0,4〕,B〔0,4,0〕,设D〔x,y,z〕,就由ADAB得CD〔33,4,0〕,而AC1〔3,04〕,依据910|525999|解得,1或502185；1

3⋯⋯⋯⋯⋯５分（２）CD〔3,2,0〕,CB1〔0,4,4〕,可取平面CDB的一个法向量为12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯７分而平面CBB的一个法向量为1n2〔1,0,0〕,并且nn1 2与二面角D—CB1—B相等,所以二面角D—CB1—B的余弦值为coscosnn2234．⋯⋯⋯１０分176.如图,在长方体ABCDABCD中,AA1AB2AD2,点E是AB的中点,F在DE上的一点,1DF12FE.z（1）证明：平面DFC⊥平面DEC；（2）求二面角ADFC的大小；DCA1B1FxADEBCy-9-【命题立意】此题旨在考查空间向量,空间坐标系,向量的运算,平面与平面垂直的向量证法,二面角的求法等基础学问．难度中等．解：（1）以D为原点,分别以 DA、DC、DD1所在直线为就A〔1,0,0〕,B〔1,2,0〕,C〔0,2,0〕,D1〔0,0,2〕.∵E为AB的中点,∴E点坐标为E〔1,1,0〕,∵D1F=2FE,∴DF2DE2〔1,1,2〕〔22,33,4〕,333x轴、y轴、z轴建立如以下图空间直角坐标系,DF DD1 DF 〔0,0,2〕 〔

22, ,

4〕 〔

222, , 〕⋯⋯⋯⋯⋯ 2分33 3 333设n 〔,,〕是平面DFC的法向量,就 n DF 0,∴

23

x

23

y

23

z 0,n DC 0 2y 0,取x=1得平面FDC的一个法向量 n 〔1,0,1〕, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分设 p 〔,,〕是平面ED1C的法向量,就 p DF 0,∴

23

x

23

y

43

z 0,p DC 0, 2y 2z 0,取y=1得平面D1EC的一个法向量 p 〔1,1,1〕, ⋯⋯⋯⋯⋯ 4分∵np 〔1,0,1〕〔1,1,1〕 0,∴平面DFC 平面D1EC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分（2）设 q 〔,,〕是平面ADF的法向量,就 q DF 0,q DA 0,∴

23

x 23

y 23

z 0,取y=1得平面ADF的一个法向量 q 〔0,1,1〕, ⋯⋯⋯⋯7分x 0,设二面角A-DF-C的平面角为 ,由题中条件可知 〔 π,π〕,2就cos ＝－| nq |＝－0 0 1 1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分|n||q| 2 2 2∴二面角A-DF-C的大小为120°.7.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SA平面ABCD,AB,1ADAS2,P是棱SD上一点,且SP1PD；2（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角APCD的余弦值；-10-【答案】（1）341 41；（2）4242【命题立意】此题旨在考查空间向量,空间坐标系,向量的运算,直线与直线所成的角,二面角的求法等基础学问．难度中等．（1）如图,分别以AB,AD,AS为x,,轴建立空间直角坐标系．Dy就A〔000〕,,,B〔100〕,C〔120〕,,,D〔0,,,S〔0,,02〕.设Px0,y0,z0〕,由SP1SD,得〔x0,y0,z02〕1〔0,,2〕,33x00,y0423,z04,点P坐标为〔0,,2 43 3〕．2分Sz3CP〔1, 4,3〕,AB〔100〕,⋯⋯⋯⋯⋯⋯3设直线AB与CP所成的角为,P就cos11〔〔443〕0〕40341．⋯⋯⋯⋯4分BAC31〕2〔4321413x（第22题）6分8分10分（2）设平面APC的一个法向量为m〔x1,,yz1〕,mACx12y=0,所以mAP2y14z10.33令y12,就x14,z11,m〔4,21〕,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯设平面SCD的一个法向量为n〔x2,,2 z2〕,由于DC〔100〕,,,DS〔0,22〕,,所以nDCx2y202z20,令y21,就z21,n〔011〕,,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nDS2设二面角APCD的大小为,由于cosmn041〔2〕1142,22142所以,由向量mn,的方向,得coscosmn=42.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42-11-8.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF中,AB＝2,CE＝1,CE⊥平面ABCD．BBy（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；（2）求二面角A－DF－B的大小．EFCDA（第23题图）23．解：⑴以{CD→,CB→,CE}为正交基底,建立如图空间直角坐标系C－xyz,就D〔2,0,0〕,F〔2,2,1〕,E〔0,0,1〕,B〔0,2,0〕,C〔0,0,0〕,所以DF→＝〔0,2,1〕,BE→＝〔0,–2,1〕,⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分从而cos<DF→,BE>＝–13＝－13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分Ez3所以直线DF与BE所成角的余弦值为1

3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分F〔2〕平面ADF的法向量为m＝CD→＝〔2,0,0〕.⋯⋯⋯⋯⋯6分C设面BDF的法向量为n=〔x,y,z〕．又BF→＝〔2,0,1〕．DA由n·→＝0,n·→＝0,x8分得2y＋z＝0,2x＋z＝0,取x＝1,就y＝1,z＝–2,所以n=〔1,1,－2〕,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以cos<m,n>＝422＝12．又由于<m,n>∈[0,],所以<m,n>＝3．所以二面角 A–DF–B的大小为3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分9.直三棱柱 ABC ABC中,AB1 1 1 AC, AB 2, AC 4, AA1 2,BD DC.（1）如 1,求直线 DB与平面 ACD所成角的正弦值；（2）如二面角 B1 AC1 D的大小为60,求实数 的值.A1 C1B1-12-BADC第22题图解：分别以 ABACAA所在直线为 xyz轴建立空间直角坐标系 .就 A〔0,0,0〕 , B〔2,0,0〕 ,C〔0,4,0〕 , A1〔0,0,2〕 ,B1〔2,0,2〕 ,C1〔0,4,2〕 ⋯⋯⋯⋯2分（1）当 1时,D为BC的中点,所以 D〔1,2,0〕 ,DB1 〔1,2,2〕,AC1 〔0,4,0〕 ,AD 〔1,2,2〕,设平面 ACD的法向量为 n1 〔,,〕就

4y 0,所以取 n1 〔2,0,1〕,又 cos DBn1 1 DB1 n1 4 4 5,x 2z 0 |DB1||n1| 35 15所以直线 DB与平面1 ACD所成角的正弦值为1 1 4 5. ⋯⋯⋯⋯6分15（2） BD DC, D〔 2,

4,0〕 , AC1 1 〔0,4,0〕 , AD 〔 2,

4,2〕,1 1 1 14y 0设平面 ACD的法向量为1 1 n1 〔,,〕xyz,就 2 x 2z 0 ,1所以取 n1 〔 1,0,1〕. ⋯⋯⋯⋯8分又平面 ABC的一个法向量为1 1 1 n2 〔0,0,1〕,由题意得 |cos nn2 | 1,2所以 1 1,解得 3 1或 3 1（不合题意,舍去）,〔 1〕

21 2所以实数 的值为 3 1. ⋯⋯⋯⋯10分10.如图,在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中,侧面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A＝D1D＝ 2,底面ABCD为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD＝2AB＝2BC＝2；（1）在平面ABCD内找一点F,使得D1F⊥平面AB1C；（2）求二面角 C－B1A－B的平面角的余弦值；-13-11.如图,在直三