新高考数学大一轮复习讲义专题37 求曲线的轨迹方程（解析版）

1、专题37 求曲线的轨迹方程【考点预测】曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中 【方法技巧与总结】一直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨

2、迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）简记为：建设现代化，补充说明注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线二定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程三相关点法求动点的轨迹方程如果动点

3、的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程四交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数五参数方程法求动点的轨迹方程动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.六点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差

4、法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：定义法题型三：相关点法题型四：交轨法题型五：参数法题型六：点差法题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹题型八：复数与圆锥曲线的轨迹题型九：向量与圆锥曲线的轨迹题型十：利用韦达定理求轨迹方程【典例例题】题型一：直接法例1（2022全国高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为_【答案】【解析】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，所以，又因为P是椭圆上任意一点，所以，即.故

5、答案为：.【方法技巧与总结】如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法例2（2022河南河南模拟预测（理）已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点到轴的距离最大值为_.【答案】【解析】设，因为动点到点和的距离之比为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以点到轴的距离最大值为，故答案为：例3（2022全国高三课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大(1)求点P的轨迹C的方程；【解析】依题意，两边平方得，两边平

6、方得，整理得，可得或，当时，转化为，所以，此时转化为，所以.所以点的轨迹的方程为或.例4（2022湖南模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足求曲线的轨迹方程并画出草图；【解析】设，由题设有，整理得到，故，其草图如下图所示：例5（2022湖南湘潭高三开学考试） 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积求点的轨迹的方程;【解析】设点P的坐标为，由题设得，故所求的点P的轨迹的方程为题型二：定义法例6（2022全国高三专题练习）已知定点A（1，1）和直线L：x+y-2=0，那么到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线【答案】D【解

7、析】点A（1，1）在直线L上，所以到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为过A（1，1）且与直线L垂直的直线.故选：D.【方法技巧与总结】若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法例7（2022全国高三专题练习）已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为求的方程；【解析】设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，因为圆与定直线相切，所以又圆与圆外切，所以，所以，化简得，即的方程为例8（2022江西南昌三模（理）已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定

8、值，则动圆圆心的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D直线【答案】C【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，圆心到，的距离分别是，则，所以，又因为，即，得，即.所以动圆圆心的轨迹方程为，由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.故选：C例9（2022上海市大同中学高三开学考试）已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程_【答案】双曲线的左支【解析】结合图象可得，|MQ|MP|=4，可得a=2，c=4，则b=，M的轨迹为双曲线的左支故答案为双曲线的左支例10（2022全国高三专题练习）设动圆与轴相切且与圆:相外切,则动圆圆心的轨迹方程为_.【答案】或【解析】设，即轨迹方程为或例11（2022黑龙江哈

9、尔滨市第六中学校高三期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为_.【答案】【解析】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,当动圆与圆，圆外切时,所以,因为圆心,，即，又根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，所以,则动圆圆心的轨迹方程是；故答案为：例12（2022全国高三专题练习（理）设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点证明为定值，并写出点E的轨迹方程；【解析】由题意可知，故，又，故,故,所以，故,又圆A标准方程为，从而，所以由题设得，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()例13（2022全国高三专题练习）已知是圆

10、上的动点，是线段上一点，且，求点的轨迹的方程【解析】由题意知,.因为，所以,所以点M的轨迹C是以A,B为左、右焦点,长轴长为4的椭圆.设椭圆C的标准方程为，则a=2,c=1,所以，所以点M的轨迹C的方程为.例14（2022河南郑州高三阶段练习（理）如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切求动圆圆心的轨迹的方程；【解析】设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切，且.于是，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为例15（2022山东潍坊模拟预测）已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；【解析】设圆M的半径为

11、r，由圆M与圆: 外切，得: ,由圆M与圆：内切，得: ，故，则动点M的轨迹是，为焦点，长轴长为8的椭圆，故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为.例16设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程【解析】因为，故，所以，故，又圆的标准方程为，从而，所以由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：题型三：相关点法例17（2022全国高三课时练习）设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（）ABCD【答案】A【解析】设，因为为的中点，则，故，又因为，所以，即，所以点M的轨迹方程为故选: A.【方法技巧与总结】有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已

12、知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式例18（2022全国高三课时练习）已知的顶点，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为_【答案】【解析】设，由点G为的重心，得，所以又在抛物线上，所以，即又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为故答案为：例19（2022全国高三课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（）ABCD【答案】C【解析】设，PQ的中点M的坐标为，又点P在圆上，即，故选：C例20（2022全国高三课时练习）已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点求动点P的轨

13、迹C的方程【解析】设、P是线段AB的中点，A、B分别是直线和上的点，动点P的轨迹C的方程为题型四：交轨法例21（2022四川凉山高三期末（理）设椭圆的上、下顶点分别为A、B，直线与椭圆交于两点M、N，则直线AM与直线BN的交点F一定在下列哪种曲线上（）A抛物线B双曲线C椭圆D圆【答案】B【解析】设， 则，又，连结则，即 由椭圆的对称性可得 又 所以，即 所以点F在双曲线上.故选：B【方法技巧与总结】在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等

14、为参数例22（多选题）（2022江苏南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（）AB动点Q的轨迹方程为C线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为D线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为【答案】ABD【解析】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；对于B：设，由，得两式相乘得，同理可得，由题意知且，否则与矛盾，动点的轨迹方程为，即直线，故正确；对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，min，故C错误，D正确.故选：ABD.例23（2022北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在

15、矩形中，把边分成等份，在的延长线上，以的分之一为单位长度连续取点.过边上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为，如图建立平面直角坐标系，则点满足的方程是_.【答案】【解析】设第组对应直线与交于点，与的延长交于点，作轴于点，作轴于点，设，则，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，即，得，整理得，所以点满足的方程是.故答案为：.例24（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.【解析】由题意得，设，则，即，得，又点在C上，即，得，；例25（2022河南新蔡县第一高级中学

16、高三阶段练习（理）已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；(2)设为双曲线C的两个顶点，点是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；【解析】(1)根据题意可得，反比例函数的顶点和焦点均在上，联立解得，故双曲线C的顶点坐标，.所以该等轴双曲线的焦距为，所以焦点坐标为，即，(2)因为点是双曲线C上不同的两个动点，故.设，根据，分别共线，且在双曲线C上， ，有，且，两式相乘有，即，化简得.即轨迹E的方程为例26（2022全国高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，过直线l：左侧且不在x轴上的动点P，作于点H，的角平分线交

17、x轴于点M，且，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点，过点的直线交C于A，B两点，点T满足，其中，证明：.【解析】（1）设，因为轴，所以，因为PM为的角平分线，所以，所以，即，所以.即，化简整理得，因为P不在x轴上，即曲线C的方程为（2）易知直线的斜率存在且不为0，设的方程为.联立方程组，消x整理得，所以，得或，设，则，.由得，所以，设，由，得，所以，所以，所以点在直线上，且，又因为与关于直线对称，所以是等腰三角形，（或者证明直线TS与直线的斜率互为相反数）所以，因为，所以，综上所述，.例27（2022全国模拟预测（文）设抛物线C：，过点的直线l与C

18、交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P，求点P的轨迹方程；【解析】如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，联立，化简可得.设，则有，由，可得，所以，从而结合点A在抛物线C上有，即，同理得，联立可得交点，即，故点P的轨迹方程为y=-1.例28（2022湖南长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点(1)求双曲线C的方程；(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，

19、点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）【解析】(1)据题意，则，点在双曲线上，则，又，则，双曲线的方程为(2)设，直线l：，联立，由题知，切线：，切线：，记，则，两式相加得，将代入得；两式相减得得，由得，联立和得，故，又，所以，则，故点的轨迹方程为例29（2022全国高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，求，交点满足的轨迹方程【解

20、析】(1)设抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为，解得或（舍去，抛物线的方程为(2)设，设切点为，曲线，则切线的斜率为，化简得，设，则，是以上方程的两根，则，直线的方程为：，整理得，切线的方程为，整理得，且点，在切线上，即直线的方程为：，化简得，又，故直线过定点(3)设，过的切线，过的切线，则交点，设过点的直线为，联立，得，点满足的轨迹方程为例30（2022上海高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引， 与的交点为，求点的轨迹方程.【解析】设，由题意可知，否则点（或点）和点（或点）重合，不符合题意；，利用垂直斜率关系可得，两式相乘得又点在双曲线上，即将其代入式得，化简整理

21、得：所以点的轨迹方程为：例31（2022全国高三课时练习）已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程【解析】如图所示，点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，其中当时，由、三点共线，得，解出a，得，由、三点共线，得，解出b，得由条件，得，由、式得整理得，当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程总之，式就是点M的轨迹方程式可改写成轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上题型五：参数法例32（2022新疆皮山县高级中学高三期末（文）已知，当时，线段的中点轨迹方程为（）ABCD【答案】B【解析】中点坐标为，即，故选：B【方

22、法技巧与总结】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法例33（2022全国高三专题练习（理）已知曲线和直线l：y=kx(k0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.【解析】依题意，由分别消去x，y得：(k2-1)x2+2x-2=0，(k2-1)y2+2ky-2k2=0，设AB的中点为P(x，y)，则在中分别有：，又对应满足，解得k2，y，所以所求轨迹方程是x2-y2

23、-x=0(x2，y).例34（2022江西景德镇高三期末（理）已知两条动直线与（，为参数）的交点为.求点的轨迹的方程；【解析】设点，联立，消去参数得，因此，点的轨迹的方程为；例35（2022北京市第五十七中学高三期中）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；(3)过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.【解析】(1)设，则，由，得，因为点P在圆上，所以，故点M的轨迹C的方程为：；(2)设该弦所在的直线为，且与椭圆交于点，则，；又点是

24、弦长的中点，则，由-得，即，又该直线过点，所以直线方程为：，即，联立椭圆方程，得，解得，所以弦长为；(3)设，由题意知直线l的斜率存在，设l：，代入方程，得，得，设，则，所以，又四边形OAEB为平行四边形，所以，又，所以，消k得，又，所以，所以顶点E的轨迹方程为：().例36（2022全国高三专题练习）已知直线l1：yk1x和l2：yk2x与抛物线y22px（p0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y2x+p分别相交于P，Q两点，且求线段AB的中点M的轨迹方程；【解析】联立，解得：，把代入得：，所以，同理可得：，则线段AB的中点M的坐标为，因为，所以，消去得：所以线段AB的中点M的轨

25、迹方程为例37（2022江苏周市高级中学高三阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（）ABCD【答案】D【解析】不妨设为直线与的轴的交点，为直线与的轴的交点，则，故，设，则且，故C的轨迹与坐标轴为，故选：D.例38（2022全国高三课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆的标准方程；(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程【答案】(1);(2).【解析】（1）,的轨迹

26、为对角线长分别为，边长为，原点为内切圆圆心的菱形，其顶点分别为，所以由题意得所以，所以的标准方程为（2）设，当AB所在直线的斜率存在且不为0时，设AB所在直线的方程为，由 可得，所以，设，由题意得，即，又因为直线l的方程为，即，所以，又因为，所以易得当AB所在直线的斜率不存在时，且；AB所在直线斜率为0时，且，上式仍然成立综上所述，点M的轨迹方程为题型六：点差法例39（2022全国高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_【答案】【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，设中点坐标为，则，所以，两式相减可得，即，由于在椭圆内部，由得，所以时，即直线与椭圆相切，此时由解得

27、或，所以，所求得轨迹方程为故答案为：【方法技巧与总结】圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法例40（2022全国高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是_【答案】(或).【解析】设直线为，与双曲线交点为，联立双曲线可得：，则，即或，所以，故，则弦中点为，所以弦的中点的轨迹方程为(或).故答案为：(或)例41（2022全国高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.【解析】设，弦的中点，则，将代入椭圆方程得，两式相减得，所以，当时，因为，所以，则，整理得；当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得所以满足上述方程，故点的轨迹方程.例42（2022上海市

28、行知中学高三开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；【解析】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，所以曲线是以，为焦点的椭圆，所以，所以曲线的方程为；（2）因为，所以为中点，设，当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：两式相减得，故故得，所以，所以，整理得；当的斜率不存在或为0时，或，出满足；所以点的轨迹方程是；例43（2022全国高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程【解析】（1）若焦点在轴上，渐近线方程为

29、，所以，又，所以所以双曲线的标准方程为若焦点在轴上，渐近线方程为，所以，又，所以所以双曲线的标准方程为（2）设与椭圆的两交点， 的中点为，则，两式相减得：，即即，又，消去得，解得，所以弦的中点的轨迹方程为例44（2022上海高三专题练习）已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点.（1）若点满足，求直线的方程；（2）若，的坐标满足，动点满足(其中为坐标原点)，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；【解析】（1）由已知可得，是线段中点，由已知两式相减化简整理得所以直线的方程是（2）设，由，可得由结合可得，又，是椭圆上的点，故所以，即根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.题型七：立体几

30、何与圆锥曲线的轨迹例45（2022全国高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（）ABCD【答案】A【解析】如图1，取AD的中点H，连接EH，则.在正方体中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以为EF与底面ABCD所成的角，则设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为，所以，解得，所以，从而，所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2在图2中，所以，则，根据对称性可知，所以，故动点F的轨迹周长为故选：A【方法技巧与总结】利用坐标法解决例46（2022全国高三

31、专题练习）如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是（）A圆B椭圆C抛物线D双曲线的一支【答案】B【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线 故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分故选：B例47（2022北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（）A线段B圆弧C抛物线的一部分D以上答案都不对【答案】A【解析】连接、，如下图所示：因为平面，平面，因为，所以，所以，为定点，取线段的中点，连接，

32、因为，则，所以点在过点且垂直于线段的垂面上，而此垂面与底面相交于一条线段，故点的轨迹为线段.故选：A.例48（多选题）（2022广东大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体中，O为线段的中点（图中未标出），以下说法正确的有（）A线段CD中点为E，则直线OE与平面所成角的正弦值为B在线段上取靠近B点的三等分点F，则直线与直线不共面C在平面上存在一动点P，满足，则P点轨迹为一椭圆D在平面上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为【答案】AD【解析】选项A：取中点H，连接正六面体中，则平面，则为直线与平面所成角，中， 则，即直

33、线与平面所成角的正弦值为由O为线段的中点，E为线段CD中点，可得则直线OE与平面所成角的正弦值为判断正确；选项B：在线段上取靠近点的三等分点H，连接正六面体中，则四边形为平行四边形，则相交且互相平分，则又，则四边形为平行四边形，则相交且互相平分，则又四边形为平行四边形，则则直线与直线共面判断错误；选项C：在平面上一动点P，满足，又正六面体的棱长为2 ，则P点轨迹为线段判断错误；选项D：连接则正六面体中，则O点为矩形的中心.在平面上一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线的距离相等，则点Q的轨迹是以O为焦点以直线AB为准线的抛物线，焦点O到准线AB的距离为判断正确.故选：AD题型八：复数与圆锥曲线

34、的轨迹例49（2022河南开封高三阶段练习（文）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（）ABCD【答案】C【解析】，表示点，故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.故选：C【方法技巧与总结】（1）利用坐标法解决（2）利用复数几何意义例50（多选题）（2022重庆一中高一期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（）A若，则Z在复平面内的轨迹为圆B若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆C不可能存在复数z同时满足和D若，则的取值范围为8，10【答案】AD【解析】对于A，设，则有，可知Z在复平面内的轨迹为圆，故A正确；对于B，设且，所以，所以在复平面内的轨迹是以和为端点的线段，故

35、B不正确；对于C，设且，所以，所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，长轴为的椭圆，其方程为，若，则有，两者联立，有解，所以存在复数z同时满足和，故C不正确；对于D，设，若，则有，令则，（）令，可得，所以，于是得，故D正确.故选：AD例51（2022上海市徐汇中学高三期末）如果复数满足，则复数对应的点的轨迹是（）A直线B椭圆C线段D圆【答案】B【解析】复数满足条件，设，因为表示复数在复平面内对应的点到点的距离，同理表示复数在复平面内对应的点到点的距离，所以表示复数对应的点到点和到点的之和等于，因为，故点的轨迹是以、为焦点的椭圆，故选：B例52（2022全国高一课时练习）已知复数z满足，则复数z对应的

36、点的轨迹是_【答案】圆【解析】由题意，复数z满足，可得，解得或，因为，所以，所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆故答案为：圆.例53（2022江西赣州高三期末（文）设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为_.【答案】【解析】由题意，故，故的轨迹方程为故答案为：题型九：向量与圆锥曲线的轨迹例54（2022全国高三课时练习）已知，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（）ABCD【答案】B【解析】由题意得，即故选：B【方法技巧与总结】（1）利用坐标法解决（2）利用向量几何意义例55（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）已知向量，是单位向量，若，

37、且，则的取值范围是_【答案】【解析】因为向量，是单位向量，且，所以不妨设，设，则由得，设，则，所以表示的点在线段上表示到的距离，如图，直线方程为，即，到直线的距离为，所以的取值范围是故答案为：例56（2022全国高三课时练习）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若，且，则点P的轨迹方程是_【答案】【解析】设点，则，设，则，又，即.故答案为：.例57（2022陕西师大附中高一期中）已知向量，满足，与的夹角为，则的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，点在轴上，设点在第一象限，设，则，则，整理得，所以点的轨迹

38、是以为圆心，1为半径的圆，设圆心为，又，当直线过点且垂直于轴时，取得最小值，最小值为，即的最小值为.故选：D.例58（2022全国高三专题练习）已知椭圆的标准方程为(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由【解析】(1)设椭圆上一点为，椭圆上的点，令，椭圆的方程为，可得是以为圆心，半径为2的圆上的点，记仿射变换下，在圆上对应的点为，直线与的斜率之积为可得.，

39、四边形为正方形，于是，则点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的两个焦点）(2)，由（1）可知，此时四边形为矩形，于是，点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，直线为椭圆的右准线.由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的右焦点）例59（2022重庆八中高三阶段练习）抛物线的焦点为F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当与x轴垂直时，的面积为1.(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B都在抛物线C上，且，过坐标原点O作直线的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方程.【解析】(1)当与x轴垂直时，故，故，故抛物线的方程为：.(2)设，直线，因

40、为，故，整理得到：，故.由可得，故即，故直线，此直线过定点.因为，故的轨迹为以为直径的圆，其方程为：即.因为直线与轴不重合，故不为原点，故的轨迹方程为：.例60（2022全国高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且=0求动点P的轨迹方程；【解析】设 ，则，由=0，得，即化简得，所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为题型十：利用韦达定理求轨迹方程例61（2022全国高三课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为_【答案】【解析】设动直线的方程为，联立消去，得，则，即,设，由根与

41、系数的关系得，则，故，即，圆心C的轨迹方程为故答案为：.【方法技巧与总结】联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.例62（2022全国高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足求点M的轨迹方程.【解析】若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，设，则，以线段AB为直径的圆过原点O，即，所以，所以，又，故O到AB的距离综合，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：例63（2022浙江杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.(

42、1)写出椭圆C的方程；(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【解析】(1)设椭圆C的方程为，由题意，双曲线的顶点为，故.又，故，故，故椭圆C的方程为(2)由题意，直线l与椭圆C相切，联立得，故，即.设，则，故，故.所以直线的方程为，即，当时，故，当时，故，故.又，故则，又在上，故，即，由题意可得，故点的轨迹方程为，为椭圆除去4个顶点例64（2022广东高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别是、，且(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点、是椭圆上异于、的不同两点，设点是以为直径的圆和以为直

43、径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程【解析】(1)由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、联立，整理得，可得，则，因为，所以，则，且，则，因为， 所以，解得或（舍去）则直线的方程为，所以直线过定点当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，将代入椭圆的方程可得，设点、，则，因为，解得，故直线过定点因为为的中点，为的中点，所以过线段的中点因为两圆相交，则连心线垂直平分公共弦，所以，线段的中点为，则，且点不能与点重合，所以点在以为直径的圆上运动，且该圆圆心为，半径为.故动点的轨迹方程为例65（2022全国高三专题练习）已知三角形ABC

44、的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.【解析】（1）设，BC中点为()，F(2，0)，则有，两式相减，得 ，即， F(2，0)为三角形重心，所以由，得；由，得，代入得 ，素以直线BC的方程为.（2）由ABAC得，所以 设直线BC方程为，与椭圆方程联立消元，得，所以， ，代入式得，解得(舍)或，所以，所以直线过定点，设，则，即，所以所求点D的轨迹方程是.【过关测试】一、单选题1（2022江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z

45、满足，则动点Z的轨迹为（）A直线B线段C两条射线D圆【答案】A【解析】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.故选：A2（2022全国高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（）A线段B直线C射线D圆【答案】D【解析】方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设 ，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.3（2022全国高三专题练习）四边形为梯形，且，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（）ABCD【答案】B【解析】，

46、即.设向量与的夹角为，则，因为，所以，由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，即动点在过点且垂直于的直线上.在中，由余弦定理得，所以；则，所以.因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段.所以点的轨迹的长度为.故选：B.4（2022全国高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（）A线段B直线C椭圆D椭圆的一部分【答案】A【解析】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.故选：A5（2022河南安阳高三开学考试（文）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2

47、的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（）ABCD【答案】A【解析】由题意知，曲线围成的图形为平行四边形，且，y0为两条对角线所在直线，则曲线和，的交点即为平行四边形的四个顶点；设曲线和的交点为，曲线和的交点为，则到直线的距离为0，到直线的距离为2，作轴于，则；同理可得到直线的距离为2，作于，则，又，则，则，则曲线围成的图形面积为.故选：A.6（2022河南郑州四中高三阶段练习（理）下列四个命题中不正确的是（）A若动点P与定点、连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分B设m，常数，定义运算“*”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分C已知两圆、圆，动圆M与圆A外切、与圆

48、B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆D已知，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线【答案】D【解析】A，设，则，变形得：，即动点P的轨迹为双曲线的一部分，A正确；B，设点纵坐标为，则，即，即动点的轨迹是抛物线的一部分，B正确；C，两圆心坐标分别是，半径分别为1,5，设动圆圆心，半径为 r ，则，动圆的圆心的轨迹是椭圆，故C正确；D，设另一焦点为，因为，由椭圆定义得，即，所以，即椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线的一支，故D错误.故选：D.7（2022全国高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹

49、长度为（）A2BCD【答案】B【解析】取的中点，连接，如图所示：分别是棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.因为，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.因为，所以平面平面.因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，所以的轨迹为线段，则.故选：B8（2022安徽合肥一中模拟预测（文）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段

50、圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）ABCD【答案】C【解析】由于某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，故,所以直线所在的方程为：，代入，解得 或 （舍，离y轴较远的点），所以点的坐标为.由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，故设抛物线方程为：，则，则由M点处切线斜率为1可得，又，解得，所以该抛物线的轨迹方程为，即，故选：C.二、多选题9（2022福建省福州第一中学三模）已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和

51、等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是（）A曲线C关于x轴对称B曲线C关于y轴对称CD【答案】BD【解析】由题，曲线C上任意一点，则.当时，即，化简得，且；当时，化简可得，且，画出曲线C的图象：对A,B，显然图象不关于轴对称，关于轴对称，故A错误，B正确；对C，当时，解得，故，故C错误；对D，因为即的焦点为，故抛物线的焦点为，同理也是抛物线的焦点.故的最小值为到的距离1，最大值为方程左右端点到的距离，故，故D正确；故选：BD10（2022全国高三专题练习）已知抛物线C：(0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则()AB直线恒

52、过定点CA、B中点轨迹方程：D面积的最小值为16【答案】ABD【解析】圆可化为，则，半径r=1，抛物线的焦点为，抛物线C的方程为，由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为，由，得，则，即，则，解得或(舍，否则直线l过原点)，故A正确；直线方程为，恒过定点，故B正确；设中点为，则，消去参数得，故C错误；，原点到直线的距离为，时，为最小值，故D正确故选：ABD11（2022福建模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（）A若，则B若，则C若为锐角三角形，则D若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为【答案】ACD【解析】对A，根据焦点三角形

53、的面积公式：，将代入可得：，故A正确；对 B，当时，即，即，又，故，由，即解得：，故B错误；对 C，当时，当时，故C正确；对 D，设，则，由题设知，则，故D正确.故选：ACD.12（2022全国高三专题练习）已知、两点的坐标分别是，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是（）A当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）B当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）C当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线D当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）【答案】ABD【解析】设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率为，由已知得，化简得点P的轨迹方程为当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）所

54、以正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点），所以B正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以C不正确；当时，点P的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点），所以D正确；故选：ABD三、填空题13（2022浙江高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是_.【答案】【解析】由得，因为与双曲线有唯一的公共点，即相切于点，所以化简得，所以过点且与垂直的直线为，所以，所以所以点的轨迹是.故答案为：14（2022江西上饶市第一中学模拟预测（文）已知点，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点，到直线l的距离分别为，动点P满足，；点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足；在，这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是_【答案】【解析】对于，设，根据题意，整