云南省昆明市2018-2019学年高二年级下册学期期末考试数学（理）试卷【含答案】

1、昆明市高二期末质量检测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. C【分析】根据交集的定义，即可求出结

2、果。【详解】，故选C。本题主要考查交集的运算。2.（ ）A. B. C. D. B【分析】利用复数的除法可得计算结果.【详解】，故选B.本题考查复数除法，属于基础题.3.已知向量，则（ ）A. B. C. D. A【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出.【详解】 由得， 解得，故选A。本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示。4.已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. C【分析】根据双曲线的性质，即可求出。【详解】令，即有双曲线的渐近线方程为，故选C。本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。5.展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. D【分

3、析】由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。【详解】展开式的通项公式是 令，所以系数为，故选。本题主要考查如何求二项式定理的展开式中某一项的系数。6.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（ ）A. B. C. D. B【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次

4、数.【详解】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为.要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次.把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以，故，故选B.本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.7.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. B【分析】根据可得正确的选项.【详解】设，A，C，D均是错误的，选B .本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.8.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下

5、列结论正确的是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则A【分析】依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.【详解】直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，因，故，从而有，A正确.B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.综上，选A.本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.9.设随机变量，若，则（ ）A. B. C. D. A【分析】根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果【详解】， 即，所以，故选A。本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键。10.设，则下列正确的是（ ）A. B. C. D.

6、 B【分析】依据的单调性即可得出的大小关系。【详解】 而 ，所以最小。又 ，所以，即有，因此，故选B。本题主要考查利用函数的单调性比较大小。11.在平行四边形中，点在边上，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与直线共面B. C. 可以是直角三角形D. C【分析】（1）通过证明是否共面，来判断直线与直线是否共面；（2）取特殊位置，证明是否成立；（3）寻找可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明能否成立。【详解】，如图，因为四点不共面，所以面，故直线与直线不共面；沿直线折起成，位置不定，当面面 ，此时；取中点，连接，则，若有，则面 即有，在中，明显不可能

7、，故不符合；在中，,，而，所以当时，可以是直角三角形；本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力。12.已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数，下述四个结论：满足条件的取值有个为函数的一个对称中心在上单调递增在上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. D【分析】依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确。【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以 ，又在上为单调函数，即，所以或，即或所以总有，故正确；由或图像知，

8、在上单调递增，故正确；当时，只有一个极大值点，不符合题意，故不正确；综上，所有正确结论的编号是。本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列中，则公差_2【分析】利用等差数列的性质可得，从而【详解】因为，故，所以，填一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.14.函数的图象在点处的切线方程为_【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。【详解】，又 所以切线方程为，即。本题主要考查函数图像在某点处的切

9、线方程求法。15.已知是以为直径的半圆弧上的动点，为圆心，为中点，若，则_【分析】先用中点公式的向量式求出，再用数量积的定义求出的值。【详解】，本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义。16.已知椭圆，斜率为的直线与相交于两点，若直线平分线段，则的离心率等于_【分析】利用点差法求出的值后可得离心率的值【详解】设，则，故即，因为为中点，故即，所以即，故，填圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解三、解答题 （本大题共6小题，共70

10、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.(1)求植株高度频率分布直方图中的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.（1）；（2）1.60.【分析】（1）根据茎叶图可得频率

11、，从而可计算.（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.【详解】（1）由茎叶图知，.由频率分布直方图知，所以. （2）这批栀子植株高度的平均值的估计值.本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18.的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，是上的点，平分，求的面积.（1）（2）【分析】（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于的方程，求出即可求出角（2）根据角平分线定义先求出，再依锐角三角函数的定义求出，最后依据三角形面积公式求出。【详解】（1）解：因为，所以，即.因为，所以，解得.所以或（舍去）,因此,.（2）因为，所以，因为，所以，又因为为的角平分线，所以，在中，所以，所

12、以，所以.本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。19.已知等比数列的前项和，其中为常数.（1）求；（2）设，求数列的前项和.（1） （2）【分析】（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得 .（2）利用分组求和法可求的前项和.【详解】（1）因为，当时，当时，所以，因为数列是等比数列，所以对也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因为，所以，所以，即.（1）数列的通项与前项和 的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通

13、项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）见解析（2）【分析】（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；(2)建系，分别求出平面，平面的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值。【详解】（1）证明：如图，取中点为，连结，则，所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因为是中点，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在菱形中，所以

14、，在中，则，设平面的法向量为，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由图可知二面角为锐二面角，所以二面角余弦值为.本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法。21.已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.（1）2；（2）16.【分析】（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 .（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【详解】（1）解：设准线与轴交点为点，连结，因为是正三角形，且，在中，所以.（2）设，直线，由知，联立方程：，消得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明.（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析【分析】（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不