福建省福安市2023学年高三一诊考试数学试卷含解析

1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则( )ABCD2设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ）ABC1D33已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）A2BC3D44数列an是等差数列，a11，公差d

2、1，2，且a4+a10+a1615，则实数的最大值为（）ABCD5已知复数满足，则的值为（ ）ABCD26已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）ABCD7已知复数，其中为虚数单位，则（ ）ABC2D8若是第二象限角且sin =，则=ABCD9已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）ABCD10已知，为圆上的动点，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）ABCD11设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )ABCD012如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一

3、个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A20B27C54D64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_14函数在上的最小值和最大值分别是_15已知等差数列的前n项和为，则_16如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上若是等边三角形，且满足，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角

4、的余弦值.18（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.（）求面积最大值；（）证明：直线与斜率之积为定值.19（12分）在数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值20（12分）如图，三棱锥中，（1）证明：面面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点（1）写出曲线C的一般方程；（2）求的最小值22（10分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中

5、点,是棱上的点,且.（1）证明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】先由得或，再计算即可.【详解】由得或，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.2A【解析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.3C【解析】根据等差数列的求和公式即可得出【详解】a1=12，S5=90，512+ d=90，解得d=1故选

6、C【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4D【解析】利用等差数列通项公式推导出，由d1，2，能求出实数取最大值【详解】数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是减函数，d1时，实数取最大值为故选D【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.6C【解析】如图所示，当点C位于垂直于

7、面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C考点：外接球表面积和椎体的体积7D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.【详解】解：，则.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.8B【解析】由是第二象限角且sin =知：，所以9D【解析】画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数【详解】画出函数令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属

8、于中档题10A【解析】由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP，AM，由题意得，点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11B【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.12B【解析】设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：

9、B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数为纯虚数,解得故答案为：【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.14【解析】求导，研究函数单调性，分析，即得解【详解】由题意得，令，解得，令，解得.在上递减，在递增，而，故在区间上的最小值和最大值分别是故答案为：【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题15【解析】利用求出公差，结合等差数列的通项公式可求.【详解】设公差为

10、，因为，所以，即.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养.161【解析】建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案【详解】解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，设，则，显然当取得最大值4时，取得最小值1故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析（2）【解析】（1）取中点，连接，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二

11、面角的余弦值.【详解】解析：（1）取中点，连接，由已知可得，侧面是菱形，即，平面，平面平面.（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令得.同理可求得平面的法向量，.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.18（1）；（2）（）；（）证明见解析.【解析】（1）由，解方程组即可得到答案；（2）（）设，则，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；

12、（）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.【详解】（1）设，由，得.将代入，得，即，由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，则，（）易知为的中位线，所以，所以，又满足，所以，得，故，当且仅当，即，时取等号，所以面积最大值为.（）记直线斜率为，则直线斜率为，所以直线方程为.由，得，由韦达定理得，所以，代入直线方程，得，于是，直线斜率，所以直线与斜率之积为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.19（1）；（2）

13、【解析】（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；（2），分类讨论，当时，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，【详解】解：（1）因为，两式相减得：，即，是从第二项开始的等比数列，则，；（2），当时，；当时，设递增，所以实数的最小值【点睛】本题主要考查地推数列的应用，属于中档题20（1）证明见解析（2）【解析】（1）取中点，连结，证明平面得到答案.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）取中点，连结，为直角，平面，平面，面面.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，可取为平面的一个法向量.设平面的一

14、个法向量为.则，其中，不妨取，则.为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21（1）；（2）【解析】（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.【详解】（1）由曲线C的参数方程（是参数），可得，即曲线C的一般方程为（2）直线MN的参数方程为（t为参数），将直线MN的参数方程代入曲线，得，整理得，设M，N对应的对数分别为，则，当时，取得最小值为【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点

15、有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.22（1）见解析（2）【解析】（1）连结BM，推导出BCBB1，AA1BC，从而AA1MC，进而AA1平面BCM，AA1MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MNAP，由此能证明MN平面ABC（2）推导出ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA12a，BMAMa，推导出MCBM，MCAA1，BMAA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ACMN的余弦值【详解】（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，所以，因为，所以， 又因为，所以平面，所以，又因为，所以是中点，取中点，连结，因为是的中点，则且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为