考研线性代数笔记精华行列式和矩阵

1、线代框架之行列可逆r ( ) 的列行）量线性无关 的特值全为 0 只零解 ， Ax 唯一解注：全体n维实向量构成的合n叫做n维向量空间 T 是正矩阵 p 是等阵 2 s i在 阶矩 , 使得 E 或 AB 不可逆r ) 的列（行向量线相0是的特征值 有零解其础解系即为于 向组价 矩等价( 递 矩相似()矩合的特向( aE ) 注： ) 有非零解 b 关于 , , 2 ：称为n的标准基，n中的自然基，单坐标向量； , , 2 线性无关；e , n；tr =n；任意一个 维向量都可以用 , e , n线性表.行列式的定义D 2 nj j j( ( j j j ) a j jnj行列式的计算行列式按

2、行（）展开定理行列式等于它任一行（列的各元素与其对的代数余子式的乘积之 推论：行列式某行（列）的素与另一行（）的对应元的代数余子式乘之和等于若与都是方阵（不必阶,那么A A A O B B B A A mn B B A BA B上三角、下三、主对角行式等于主对角上元素的乘.关于副对角线 n n n( ( n 1 ijc ad a 1ijc ad a 11x1X 蒙德行列： x 1xx222xxn2nijn j x n 1xn 2xn n矩阵的定义 由 个数排成的行n列的表A a 11 12a 21 22a m m a1na2 na称为 矩阵记作： 或Am伴随矩阵* ijA11A12A21A22

3、AAn 2，Aij为A中各个元素的代余子式AA2 nAnn 逆矩阵的求法:注： b 1 ( ) 12 3 1a1a1a321 1a1a1a 方阵的幂的性质：A m T B T B BC B * B Am, A 列向为 1 , 的向量为 , ，那 么AB Cm 1 2nb b11 b b21 22b1b2 s 1 csii，(i , , )i为Ax i的 解b b n b s 2 cs , , , s可由 , 2线性表示. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表，A T为系数矩.用对角矩阵乘一个矩,相当用的对角线上的各素依次乘此阵行量；用对角矩阵乘一个矩相当用的对角线上的各素依次乘此阵列量两个同阶

4、对角阵相乘只用对角线上的对元素相. 分块矩阵的转置矩阵： B D TC TD分块矩阵的逆矩： ABBA AB C AAB A B分块对角阵相乘A AA BBAB A B A B 22 *分块对角阵的伴矩阵： AB*矩阵方程的解( )：设法化(I)AX B或 (II) B(I) 的解：构 ) (II)TXTBT用I)的出 T得X矩阵Am与Bl 的列向量组等价 B（右乘可逆矩阵 Q ）.判断 , 是 Ax 基础解系条件： s, ,s线性无关；, , 都是 Ax 的； ss A) 个向量中自由未知量的个数. 零向量是任何向量的线性零向量与任同维实向量. 单个零向量线性相关；单非零向量线性无. 部分相

5、整必相关；整无,部分必无. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相,原向量组相. 两个向量线性相关对应元素成比例两两正交的零向量组线性关. 向量组 , 中任一向量 1iin)都是此向量组的性组合. 向量组 , 线性相关向量组中至少有个向量可由余n 个向量线性表示向量组 2线性无关 向组每一个向量 都能由余i 个向量线性表示. m 维向量组 , 性相关 r ( ) ； 维向量组 性无关 r ( ) .r ( ) A . 若 , 线性无关，而 , , ,线性相那么 可 , 线性表示且表示唯. 矩的向量组的秩 向量组的秩 的秩 行阶形矩阵的秩于它的非零行的.行阶梯形矩阵 可出一条阶梯线，线的下方

6、全0；每个台阶只有行，台阶数是非零行的行，阶梯线的线后面的第一个素非非零行的第一个非元为 ，且这些零元所在列其他元素都是0时，称为行最简矩阵 矩的初等变换不改变阵的,且改变列向量间的性关系；矩阵的列初等变不改变矩阵且不改变行量间的线性. 矩阵的初等变换和初等矩的关系：即：矩阵的初等换不改变矩的.对对AA施行一次初行换得到的矩,等于用相应的等矩阵左施行一次初列换得到的矩,等于用相应的等矩阵右AA；.若两个线性无关向量组等价那么它们包含的量个数相等 若 A m 矩,那么r( A) ( ) m ， A 的向量线性无关若r ( ) ，A的列向量线性无,即： 线性无. 初等矩阵的性质：E (i j) i

7、 ( ) Ei, j( ) i, j )T i j) Ei( k )i ( k ) i , j( j i(k ) i, j i, j) i ( k ) i ( 1 ) kEi j( )i j( )E (i j)*(i j)Ei( k )*kEi ( 1 ) kEi, j *Ei j )矩 阵 转 的 T TT kA)TT A A TATT AT A AT性质：矩 阵 可 的 A ( A A k AkA性质：伴 随 矩 的性质：( A) kA A An *B*( A) A A k ) r ( 若r ) 若 ) 若 ) A k A B A A E（无条件恒成立标准正交基 个 维性无的向量两正交每个向量长为 1. ( .是单位向量 .内积的性质： 正性( 且( 对称性：( 正交矩阵T ) 双线性： , (