二项式定理测试题及答案

1、二项式定理测试题及答案1. 有多少个整数n 能使 (n+i)4 成为整数（ B）A.0B.1C.2D.32.2x8x4 项的系数的和为（B ）展开式中不含A.-1B.0C.1D.23若 S= A11A22A33A100100，则 S 的个位数字是（ C ）A 0B3 C5D 84已知（ x a ） 8 展开式中常数项为1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和x是（ C）A.2 8B.3 8C.1 或 38D.1 或 285在 (235)100D ）的展开式中，有理项的个数是（15个33 个17 个 16个1246. 在x的展开式中， x 的幂指数是整数的项共有（C）3xA3 项B

2、 4项C 5项D 6项7在 (1 x)5 (1 x)6 的展开式中，含 x3 的项的系数是（C）A、 5B、 5C、 10D、 108 (1x)5(1x)3 的展开式中 x3 的系数为（ A）A 6B -6C 9D -99若 x= 1 ，则 (3+2x)10 的展开式中最大的项为（B）2A. 第一项B.第三项 C.第六项D.第八项10. 二项式 (2 x413 )n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（A）3xA 7B 12C 14D 511. 设函数 f (x)(1 2x)10 , 则导函数 f( x) 的展开式x2项的系数为（）A 1440B -1440C -2880D 28

3、8012在 ( x11)5 的展开式中，常数项为（B）（A） 51x（B） 51（ C） 11（D）1113若 ( x 1)nxnax3bx21(nN ) ，且 a : b3:1 ，则 n 的值为（） 9 10 11 1214若多项式 x2x10 =a0a1 ( x1)a9 ( x 1) 9a10 (x1)10 ，则 a9（）（A） 9（B）10（ C）9（ D）10解： 根据左边10的系数为 1, 易知a101，左边9 的系数为 0, 右边 9的系数为xxx9a910故选 。a9 a10C10 a9 10 0,D15若 x(1+x) n 的展开式中的每项的系数都用这一项的x 的指数去除，则得

4、到的新系数和等于（ A）A.(2 n+1-1) (n+1) B.(2n-1) (n+1) C.(2n-1 +n-2)/(n+1) D.(n 2n+1)/(n+1)16设 a、 b、m为整数（ m0), 若 a 和 b 被 m除得的余数相同，则称a 和 b 对模 m同余 . 记为ab(mod m) . 已知 a=1+C1+C22+C3219b 的值可以2+C20 2 ，ba(mod 10) ，则20202020是（ B）A.2015B.2011C.2008D.200617. 若二项式 (sinx) 6 展开式的常数项为20，则值为（ B）xA.2k(kZ )B.2k(kz)C.2D.22218

5、5310 被 8 除的余数是（A）A、 1B、2C、3D、 719 已知 x 2i，设 M1C41 xC 42 x 2C 43 x 3C 44 x4，则 M的值为（ B）A 4 B -4i C 4iD20. 数 (1 . 05) 6 的计算结果精确到0. 01 的近似值是（C）A. 1. 23B.1.24C.1.33D.1.4421. (x+1)(2x+1)(3x+1) (nx+1) 的展开式中，x 的系数是（B）A. C nn 1B. C n2C. C n21D. C n21二填空题20、已知 3 C xx375 Ax24 , 则 x=_11_21、（ x-1）（ x+2）（ x-5 ）（

6、x+7）（ x-10 ）中 x4 的系数为 _-7_22. 若对任意实数x, y 都有 x2 y 5a0 x2 y 5a1 x2y 4 ya2 x2 y 3 y 2a3x2y 2 y 3a4 x2 y y 4a5 y 5，则a0a1a2a3a4a5-243.23 设 a 为 sin x3 cos xxR的最大值， 则二项式 (a x1)6 展开式中含 x2项的系数x是 -19224已知等式(1 x x 2 ) 3 (1 2x 2 ) 4a 0a1 x a2 x 2a14 x14成立，则a1a2a3a13a14 的值等于0.25、(x2)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的所有项的和为Sx2时

7、，S等，当于26 设二项式 (33x1 ) n 的展开式的各项系数之和为P，所有二项式系数之和为S，若xP+S=272，则n=.三解答题27、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）2 荤 2 素共 4 种不同的品种，200 种以上不同选择， 则餐厅至少还解： 在5 种不同的荤菜中取出2 种的选择方式应有C 5210 种，设素菜为x 种，则C x2C 52200解得x7，28、已知(3xx2 ) 2 n 的展开式的二项式系数和比(3x1) n的展开式的系数和大992,求( 2x1) 2n

8、的展开式中: 二项式系数最大的项; 系数的 绝对值 最大的项.x解：（ 1） n=5， 8064 15360 x 4解：由题意2 2n2n992 , 解得 n5 。 (2x1 )10 的展开式中第6 项的二项式系数最大,x即 T6T5 1C105( 2x) 5 (1 ) 58064 .x设第 r1项的系数的绝对值最大,则 Tr 1C10r( 2x)10 r(1 ) r(1) r C10r210r x10 2rxC10r210rC10r1210r1C10r2C10r111r2r, 得, 即2( r1)10 rC10r210rC10r1210r12C10rC10r1 8r11, r3 , 故系数的

9、绝对值最大的是第4 项 .3329、 (1231 ) n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列分) 在二项式 (x3x1）求展开式的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项；3）求展开式中各项的系数和。n 2r解: 展开式的通项为T r 1( 1 ) r C nr x 3 ， r=0 ， 1， 2， n2由已知： (1 ) 0 C n0 , ( 1 )C1n , ( 1 ) 2 C n2成等差数列， 21 C1n 11 Cn2 n=822224（1） T535（ 2） T5二项式系数最大（3）令 x=1，各项系数和为1825630. 已知 (x1) n 的展开式前三项中的x 的系数成等差

10、数列 .24x1）求展开式中所有的 x 的有理项；2）求展开式中系数最大的项 .解： （ 1）展开式前三项的系数分别为Cn11, Cn2 1 n ,Cn2 ( 1) 21 n( n 1) .2228由题设可知： 2n11n(n 1)28解得： 8 或 1（舍去） .43当 8 时， Tr 1C8r (x )8 r (2 4x ) r C8r 2 rrx4 .据题意， 4 3 r 必为整数，从而可知 r必为 4 的倍数，4而 0 r 8， r 0,4 ，8.故 x 的有理项为： T1x4 ， T535x ， T91x2.8256（ 2）设第 r 1 项的系数 tr 1 最大，显然 tr10，故有

11、 t r 1 1 且 tr 2 1.trtr 1tr1C8r2r9 r，t rC8r 12r12r由 9r 1，得 r 3.2rtr 2 C8r 1 2t r 1C8r 21r2( r1) ，8r由 2(r1) 1，得 r 2.8r r 2或 r57 3，所求项分别为 T37x2和 T47x 4 .31、 (12 分) 已知 m, n 是正整数， f ( x)(1x)m(1 x) n 的展开式中 x 的系数为7，（1）试求 f (x) 中的 x2 的系数的最小值； 9（2）对于使 f (x) 的 x2 的系数为最小的m, n ，求出此时 x 3 的系数； 5（3）对于使 f (x) 的 x2

12、的系数为最小的m, n ，求此时 f (0.003) 的近似值（精确到0.01 ）；2.0231n32、已知(x +x2)展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1) 展开式中不含x 项；0111213n1n(2)C n-2C n+4 C n-8C n+ +(-1)2n C n 的值 .答案 .(1)210， (2)11024mn1233在二项式（ ax +bx ） （a 0， b 0， m、 n 0）中有 2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项 .1）求它是第几项； （ 2）求 a 的最值 . b解：（ 1）设 Tr 1=Cr（ axm）12 r （ bxn）r =Cra12 r

13、 br xm（ 12 r ）+nr 为常数项，则有m（ 12 r ）1212+nr =0，即 m（ 12 r ） 2mr=0， r =4，它是第5 项 .（ 2）第 5 项又是系数最大的项，C124 a8b4 C312 a9b3有C124 a8b4 C125 a7b5由得 12113109 a8b4 1211 10 a9b3，4232 0，b0， 9ba，即 a 9 .a4b4由得 a 8 ， 8 a 9 .b55b4故 a 的最大值、最小值分别为9、8.b4535已知 Sn2nCn1 2n1Cn2 2n2Cnn 1 2 1(nN ) ，求证：当 n 为偶数时， Sn 4n1 能被 64 整除

14、证明： Sn(21)n3n ， n 为偶数，设 n2k( kN ) ， Sn4n 1 9kk0 k 21 k 3k 228k 1 (8 1) 8k 1 ( Ck 8Ck 8Ck)8，()当k1时，9k810，显然 Sn4n 1 能被 64整除；k当 k 2 时， ( ) 式能被 64 整除n 为偶数时， Sn 4n 1 能被 64 整除例 4. 已知二项式2 n*）的展开式中第5 项的系数与第3 项的系数的( x2 )，（ nN比是 10： 1，x1）求展开式中各项的系数和2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（ 1）第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10： 1，42) 4 Cn(10 ，解得 n=