高三理科数学培养讲义：第2部分 专题4 第7讲 空间几何体的三视图、表面积和体积

1、PAGE12第7讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：空间几何体的三视图与表面积或体积2022全国卷T16；2022全国卷T7；2022全国卷T4；2022全国卷T6；2022全国卷T6；2022全国卷T9；2022全国卷T6，T11；2022全国卷T6；2022全国卷T12分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1以组合体的三视图为背景，考查空间几何体表面积、体积的计算，难度中档较低；2对于球与几何体的切接问题、最值问题，难度稍大，重在转化，考查学生的空间想象及等价转化能力题型2：球与几何体的切接问题2022全国卷T8；2022全国卷T10；2022

2、全国卷T9；题型3：几何体的表面积和体积的最值问题2022全国卷T10；2022全国卷T16题型1空间几何体的三视图与表面积或体积核心知识储备1画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”2柱体、锥体、台体的侧面积公式1S柱侧chc为底面周长，h为高；2S锥侧eqf1,2chc为底面周长，h为斜高；3S台侧eqf1,2cchc，c分别为上、下底面的周长，h为斜高3柱体、锥体、台体的体积公式1V柱体ShS为底面面积，h为高；2V锥体eqf1,3ShS为底面面积，h为高；3V台eqf1,3SeqrSSSh不要求记忆4球体的体积、表面积公式Veqf4,3R3；S4R2其中R为球的半径高考考法示

3、例【例1】12022洛阳二模某几何体的三视图如图241所示，则其表面积为图241Aeqf17,2B9Ceqf19,2D102若正三棱锥ABCD中，ABAC，且BC1，则三棱锥ABCD的高为Aeqfr6,6Beqfr3,3Ceqfr2,2Deqfr6,31B2A1由三视图可知几何体为圆柱与eqf1,4球的组合体圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1所以几何体的表面积为12213412eqf1,4eqf1,212eqf1,2129，故选B2设三棱锥A，AC，AD两两垂直，且ABACADeqfr2,2BCeqfr2,2，BCD的面积为eqfr3,412eqfr3,4由VABCDVBACD得eqf1

4、,3SBCDheqf1,3SACDAB，即eqf1,3eqfr3,4heqf1,3eqf1,2eqblcrcavs4alco1fr2,2eqsu，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为图245A36cm2B64cm2C80cm2D100cm2B根据题意，球的截面圆是边长为12的正三角形的内切圆，易知内切圆的半径为2eqr3，球面恰好接触水面时测得水深为6cm，d862cm，设球的半径为Rcm，则R2R222eqr32，解得R4，则球的表面积为4R264cm2故选B2已知一个三棱锥的所有棱长均为eqr2，

5、则该三棱锥的内切球的体积为_eqfr3,54由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示AEABsin60eqfr6,2，AOeqf2,3AEeqfr6,3，DOeqrAD2AO2eqf2r3,3，三棱锥的体积VDABCeqf1,3SABCDOeqf1,3，设内切球的半径为r，则VDABCeqf1,3rSABCSABDSBCDSACDeqf1,3，reqfr3,6，V内切球eqf4,3r3eqfr3,54题型3几何体的表面积和体积的最值问题与空间几何体有关的最值问题是近几年高考的热点之一，其中与球切、接有关的几何体的最值问题常常涉及体积、截面面积的最值，重在考察学生的空间想象能力；而几何体体积的最

6、值问题常常与图形折叠、展开等知识相交汇，重在考察学生的空间想象及数学建模能力高考考法示例角度一与球切、接有关的几何体的最值问题【例31】2022全国卷在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是A4Beqf9,2C6Deqf32,3思路点拨eq球能否与直三棱柱各个面均相切eqo,suaeqf4,3eqblcrcavs4alco1f3,2eqsu，其余棱长均为2，当三棱锥ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为Aeqf21,4Beqf20,3Ceqf5,4Deqf5,322022全国卷如图246，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该

7、纸片上的等边三角形ABC的中心为，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积单位：cm3的最大值为_图2461B24eqr15cm31由题意画出三棱锥的图形，其中ABBCCDBDAC2，ADm取BC，AD的中点分别为E，F，可知AEBC，DEBC，且AEDEE，BC平面AED，平面ABC平面BCD时，三棱锥ABCD的体积最大，此时ADmeqr2AEeqr2eqr3eqr6设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，由球体的对称

8、性知，球心O在线段EF上，OAOCR，又EFeqrAE2AF2eqrr32blcrcavs4alco1fr6,2eqsu3方法归纳解答立体几何最值问题的三种思考方向1根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；2将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；3建立函数，通过求函数的最值来求解对点即时训练12022全国卷设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9eqr3，则三棱锥DABC体积的最大值为A12eqr3B18eqr3C24eqr3D54eqr3B设等边三角形ABC的边长为，则eqf1,22sin609eqr3，得6设

9、ABC的外接圆半径为r，则2reqf6,sin60，解得r2eqr3，所以球心到ABC所在平面的距离deqr422r322，则点D到平面ABC的最大距离d1d46，所以三棱锥DABC体积的最大值Vmaeqf1,3SABC6eqf1,39eqr3618eqr32正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为棱A1B1中点，到N的路径中，最短路径的长度为图247A2eqr17B2eqr5C3D2B由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS2，SN4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为eqrMS2SN2eqr22422e

10、qr5故选B图1图222022全国卷某多面体的三视图如图248所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为图248A10B12C14D16B观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2eqf1,224212故选B32022全国卷如图249，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是eqf28,3，则它的表面积是图249A17B18C20D28A由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的eqf1,4，得到的几何体如图设球的半径为R，则eqf4,3R3eqf1,8eqf4,3R3eqf28,3，解得Rf7,84R2eqf3,4R2最新模拟42022吉安一中等八所重点中学联考如图2410，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为图2410A4B3eqr2C2eqr2D2eqr3D如图所示，由三视图可知该几何体为四棱锥ABCDE其中，AC平面BCDE，