典型例题：空间几何体的有关计算

1、PAGE5空间几何体的有关计算例1长方体高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则长方体的侧面积是ABCD解：设底面两边长分别为、y，则得，侧面积评述：本题的计算中，并未求出长方体底面的边长，而是把两边之和视为一个量，对方程组变形与代换，求出两边之和，这种简便的方法可以提高运算速度例2圆柱的轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是ABCD1993年全国高考试题，新高考，难度解：设圆柱底半径为r，高为h，则4r2h=l，即V=r2h当且仅当时，取等号，因此当高为时，圆柱的体积取最大值答案选A评述：本题表面上看是立体几何题，实际是一道代数的应用题涉及圆柱轴截面的概念和圆柱体积公式，得到

2、体积V的解析式后，转化为代数函数的最值问题，使用三个正数的均值定理解决问题可以看出，本题考查的是将立体几何问题转化为代数函数问题的能力也体现了解立体几何计算题的最基本的思想是要代数含三角化，用代数方法解决例3过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面有_个分析：正方体的12条棱中，可以分为三组，每一组的四条棱互相平行，要找出与12条棱所成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱所成角相等的平面即可如图正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB、AD、AA1三条棱所成角相等的平面是平面A1BD也就是说由三条面对角线所组成的平面能与这个正方体的12条棱

3、所成的角相等这样的平面共8个这样平面的个数可以用下列的方法寻找：1每一个顶点对应一个正三棱锥的顶点，如A点对应正三棱锥AA1BD，那么这个正三棱锥的底面A1BD是合条件的平面，8个顶点对应8个平面2正方体8个顶点，每三点可以确定一个平面，共=56个；其中6个对角面中每三点确定的平面与6个面中的每三点确定的平面均不合条件，因此合条件的平面个数是个评述：利用正方体棱的性质，把研究与12条棱成等角的问题简化为只研究与3条共点的棱成等角的问题考试大纲中要求考生理解多面体与旋转体的概念，是指不仅要知道这些概念，还应灵活地运用概念正确推理例4如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，E

4、FAB，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为AB5C6D解法1：连BE和CF，多面体分割为一个四棱锥EABCD和一个三棱锥EBCF因为EF到面AC的距离为2，ABCD是边长为3的正方形，所以四棱锥EABCD的体积，而多面体ABCDEF的体积VV1，从而排除A、B、C得答案为D解法2：解法1采用了估值的方法，也可以准确算出VEBCF计算时不妨设EF面BCF,因此多面体ABCDEF的体积答案选D解法3：延长EF至G，使FG=AB则AGDBFC是一个三棱柱因为EF即FG到面AC的距离为2，ABCD是边长为3的正方形所以这个三棱柱的体积为计算时不妨设面BCF面AC三棱锥EAGD的体积为所以多面体ABCDEF的体积，答案选D评述：本题给出的多面体是一个形状可变，但体积为定值的楔形也就是说它是一族体积相等的多面体面BCF与面AC所成二面角的大小可变，EF也可以在与面AC平行且距离为2的平面上作平行移动我们若能体会到图形的“动感”，又不被这种形状的可变性迷惑，其实选择支却以常数出现已经暗示了其