基本概念与抽样分布

1、中南大学数学与统计学院第1章 数理统计的基本概念与抽样分布应用统计数理统计计的基本本概念与与抽样分分布 例:某钢筋厂厂每天可可以生产产某型号号钢筋10000根，钢筋筋厂每天天需要对对生产过过程进行行控制，对产品品的质量量进行检检验。如如果把钢钢筋的强强度作为为钢筋质质量的重重有指标标，于是是质量管管理人员员需要做做如下方方面的工工作第一，对对生产出出来的钢钢筋的强强度进行行检测，获得必必要的数数据。第二，对对通过抽抽样获取取的部分分数据进进行整理理、分析析并推断断出这10000根钢筋的的质量是是否合乎乎要求。1.2总体、个个体、样样本1.2.1总体与个个体我们把所所研究对对象的全全体称为为总体

2、或或母体。组成总总体的每每个单元元称为个个体总体X可看作一一个随机机变量,称X的概率分分布为总总体分布布，称X的数字特特征为总总体的数数字特征征,对总体进进行研究究就是对对总体的的分布或或对总体体的数字字特征进进行研究究.1.2.2样本从总体中中抽取的的一部分分个体称称为样本本或者子子样，其其中所含含个体的的个数称称为样本本容量.样本具有有二重性性：随机机性和确确定性定义1.1设总体X的样本满满足 独立立性：每每次观测测结果既既不影响响其它结结果，也也不受其其它结果果的影响响；即相相互独立立；代代表性：样本中中每一个个个体都都与总体体X有相同分分布。则称此样样本为简简单随机机样本。进行有放放回

3、抽样样就是简简单随机机样本,无放回抽抽样就不不是简单单随机样样本。但但N很大，n相对较小小时无放放回抽样样得到的的样本可可以近似似看作简简单随机机样本.称样本的的分布为为样本分分布。如如果为为简单单随机样样本，为为总体X的分布函函数，则则样本分分布有比比较简单单的形式式 。它完全由由总体X的分布函函数确定定两种形式式例1.1设有一批批产品，其次品品率为p，如果记记“”表表示抽取取一件产产品是次次品；“”表表示抽抽取一件件产品是是正品；那么，产品的的质量可可以用X的分布来来衡量。X服从0-1分布，参参数就是是次品率率p。如果为为简单随随机样本，求样样本分布布.解：总体体X的概率分分布为例1.2设

4、总体X服从参数数为的的正态态分布，求样本本的的分分布密度度。解：总体体X的分布密密度为所以的的概率率分布为为统计量统计量的的定义定义1.2设为为总总体X的一个样样本，为的的连续续函数，且不含含有任何何未知参参数，则则称T为一个统统计量。注:1.统计量是是完全由由样本确确定的一一个量，即样本本有一个个观测值值时,统计量就就有一个个唯一确确定的值值;2.统计量是是一个随随机变量量，它将将高维随随机变量量问题转转化为一一维随机机变量来来处理,但不会损损失所讨讨论问题题的信息息量.常见的统统计量1.样本均值值2.样本方差差3.k阶原点矩矩4.k阶中心矩矩5.顺序统计计量6.样本极差差 与中中位数例1.

5、3设总体X为连续型型的,求最大顺顺序统计计量与最最小顺序序统计量量的分布布密度.解:最大顺序序统计量量的的分分布函数数为最小顺序序统计量量 的分分布函数数为如果总体体中服从从均匀分分布则其分布密密度为充分统计计量例：某厂厂要了解解其产品品的不合合格率p，检验员员检查了了10件产品，检查结结果是，除前二二件是不不合格品品（记为为）外，其其它都是是合格品品（记为为）。当厂长长问及检检查结果果时检验验员可作作如下两两种回答答：(1)10件中有两两件不合合格；(2)前两件不不合格。这两种回回答反映映了检验验员对样样本的两两种不同同的加工工方法。其所用用的统计计量分别别为显然，第第二种回回答是不不能令人

6、人满意的的，因为为统计量量不包含含样本中中有关p的全部信信息。而而第一种种回答是是综合了了样本中中有关p的全部信信息。因因为样本本提提供了了两种信信息：(1)10次检验中中不合格格品出现现了几次次；(2)不合格品品出现在在哪几次次试验上上。第二种信信息（试试验编号号信息）对了解解不合格格品率p是没有什什么帮助助的.充分统计计量就是是能把含含在样本本中有关关总体或或者参数数的信息息一点都都不损失失地提取取出来。或者说说充分统统计量包包含了有有关总体体或有关关参数的的全部信信息.考虑样本本的分布 由于 且是是服服从二项项分布故它与无无关定义1.3设总体X的分布为为一个含含未知参参数的分分布族，是是

7、X的一个样样本。是一个统统计量,对给定的的t，样本在在的的条件下下的条条件分布布与参数数无无关，则则称统计计量T是参数的的充分统统计量。上例的一一般情况况是设是是来自自0-1分布的一个简简单随机机样本，其中，则则是参参数的充充分统计计量。由定义可可得定理1.1设是是参数数的的充充分统计计量，是是单值值可逆函函数，则则也也是是参数的的充分统统计量。当总体为为连续型型总体时时，充分分统计量量要用条条件分布布密度来来描述。奈曼（J.Neyman）和哈尔尔斯（P.R.Halmos）在20世纪40年代提出出并严格格证明了了一个判判别充分分统计量量的方法法：因子子分解定定理。定理1.2（因子分分解定理理）

8、设样样本的联联合分布布为一个个含未知知参数的的分布族族,则是是一个充充分统计计量当且且仅当存存在这样样的两个个函数：(1)与无无关的的非负函函数；(2)与有有关关，且仅仅与统计计量T的值有关关的非负负函数使使得得其中在在离散总总体的情情况下表表示样本本的分布布列，在在连续总总体的情情况下表表示样本本的分布布密度。例设设是是来自分分布布,即它的分分布密度度为的一个简简单随机机样本，其中则则分分别是参参数的充分统统计量解:样本的的联合分分布密度度为如果令由因子分分解定理理知是是的的充分统统计量。例 设总总体X的分布密密度为是X的一个简简单随机机样本，试证明明最小顺顺序统计计量的的充充分统计计量。证

9、:样本的的联合分分布密度度为如果令由因子分分解定理理知是是的的充充分统计计量。1.4抽样分布布我们称统统计量的的分布为为抽样分分布,不同的统统计量其其分布不不一定相相同.常见的分分布类型型有:正态分布布伽玛分布布卡方分布布t分布F分布伽玛分布布定义1.4如果连续续型随机机变量X的密度函函数为其中 为函函数数，则称称X为服从参参数是的的伽伽玛分布布，记为为伽玛分布布的性质质(1)由此可得得(2)如果，并且且X和Y相互独立立，容易易求得这个性质质称为可可加性,即伽玛分分布具有有可加性性.卡方分布布用构造性性的方式式定义是是定义1.5设为为相相互独立立的随机机变量，且均服服从，则它们们的平方方和也是

10、一个个随机变变量，它它所服从从的分布布称为自自由度为为n的分分布，记记为它的密度度函数为为其密度函函数与参参数n有关，它它的图形形也有一一定差异异卡方分布布的性质质若，则即卡方分分布是一一种伽玛玛分布，因此具具有伽玛玛分布的的性质（）（）如果，并且且X和Y相互独立立，有 卡方分布布也具有有可加性性例是来自参参数为的的指数数分布总体，试证明明：总体的的密度为为当时时，我我们有密度为说明假定子样样是简单单随机子子样,则且它们之之间相互互独立，故有t分布构造性的的方式定定义定义1.6设，且X与Y相互独立立，记则也是是一个随随机变量量，它所所服从的的分布称称为自由由度为n的t分布，记记为它的密度度函数

11、为为与参数n有关，不不同的n其图形也也有差异异性质若则则（）当当时时，t分布是柯柯西分布布，柯西西分布不不存在数数学期望望和方差差参数数为2的t分布也不不存在数数学期望望和方差差（）时时，（）可可以证明明这是标准准正态分分布的分分布密度度，即当当n充分大时时，T近似服从从标准正正态分布布分布构造性的的方式定定义定义1.设设，且X与Y相互独立立，记则也是是一个随随机变量量，它所所服从的的分布称称为自由由度为(m,n)的F分布，记记为它的密度度函数为为它与m,n有关，其其图形也也有一定定差异容易得到到若，则例设试试证证明：证明：由由t分布的构构造性定定义知，存在相相互独立立的变量量和，使得得于是，

12、仍相互独独立，由由分布布的定义义知结论论成立分位数：定义1.6设X为连续型型随机变变量，其其密度函函数为，对，如果存存在数满满足足则称为为此分分布的分分位位数分位数的的几何意意义可可用图形形表示，它的值值可查表表得到，不同的的分布有有不同的的分位数数，有不不同的表表可查常见的分分位数有有它们的值值可以通通过附表表1、附表2、附表3、附表4查得分位数具具有性质质(1)(2)(3)当n足够大时时（一般般n 45）有近似似公式例:查表求下下列分位位数的值值抽样分布布定理定理1.1设总体，为为X的一个简简单随机机样本，为为样样本均值值与样本本方差，则有：(1) (2)(3)相互独立立；(4)定理1.2设有两个个总体与，从两个个总体与中