复变函数论课件：6-1 留数

1、6.1 留数6.1.1 留数的定以及留数定理6.1.2 留数的求法6.1.3 函数在无穷远点的留数公式 定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点,即 f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析,则称积分为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：6.1.1 留数的定义及留数定理将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有： 定理6.1 (柯西残数定理) f(z)在围线或复围线C所范围的区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域D=D+C上除a1,a2,an外连续,则(6.2)证: 以ak为心,充分小的正数k 为半径画圆周 (图6.1): 使这些圆周及其内部均含于D,并且彼此互相隔

2、离(图6.1).应用复围线的柯西积分定理3.10得:CDn213图6.1 定理6.1 (柯西残数定理) f(z)在围线或复围线C所范围的区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域D=D+C上除a1,a2,an外连续,则(6.2)证: 以ak为心,充分小的正数k 为半径画圆周: 使这些圆周及其内部均含于D,并且彼此互相隔离应用复围线的柯西积分定理3.10得:CDn213由残数定义,有代入上式,即得:6.1.2 留数的求法1. 一般方法首先将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，然后利用此公式求留数，特别是当a为本性奇点时，一般只能利用此法例6.1.1求:z=0是本性奇点这里符号(0)(a)=

3、(a) ,且有其中(z)(由定理5.4)在点a解析, (z)0 ,则:定理6.2 设a为f(z)的n级极点,i.e.(6.3)证 3 a为极点时，有下列方法2 a为可去奇点时:例6.1.2 推论6.3: 设a为f(z)的一级极点,(6.4)则推论6.4:设a为f(z)的二级极点, (6.5)则定理6.5 设a为证: 因为a为 的一级极点,故只要(z)及(z) 在点a解析,且(a)=0, (z)0的一级极点例6.1计算积分P 228例6.2计算积分 解 为一级极点， 于是 以例6.5计算积分6.1.3 函数在无穷远点的留数 定义6.2 设为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在去心邻域N-:0r|

4、z|+内解析,则称为f(z)在点的残数,记为(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向).设f(z)在0r|z|+内的罗朗展式为由逐项积分定理及第三章例3.2即知(6.6)这里-是顺时针方向为f(z)在点的残数,记为(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向).设f(z)在0r|z|+内的罗朗展式为由逐项积分定理及第三章例3.2即知(6.6)这里-是顺时针方向也就是说, 等于f(z)在点的罗朗展式中1/z这一项的系数反号.因此，即使为函数f(z)的可去奇点,未必有f(z)在点的残数设f(z)在0r|z|+内的罗朗展式为(6.6)也就是说, 等于f(z)在点的罗朗展式中1/z这一项的系数反号

5、.因此，即使为函数f(z)的可去奇点,未必有等于f(z)在点的罗朗展式中1/z这一项的系数反号例6.1.8 设f(z)=z5/(1+z6), 求 解: 定理6.6 如果f(z)在C上只有有限个孤立点(包括无穷远点在内),a1,a2,，an,则f(z)在各点的留数总和为零.等于f(z)在点的罗朗展式中1/z这一项的系数反号 定理6.6 如果f(z)在C上只有有限个孤立点(包括无穷远点在内),a1,a2,，an,则f(z)在各点的留数总和为零.两边除以2i ,并移项即得亦即 证 以原点为心作圆周,使a1,a2,an皆含于 的内部,则由残数定理得a1a2a3an说明:该定理为我们提供了一个计算包含全部有限孤立奇点的围线积分的有效方法例6.1.9: 计算积分f(z)=z5/(1+z6)的六个有限奇点ak= 全部在|z|=2内下面引入计算残数 的一个常用公式且z平面上无穷远点的去心邻域N-:0r|z|+被变成原点的去心邻域K-0:0|t|1/r(如r=0,规定1/r=+)令被变成圆周从而易证所以(6.7)圆周例6.6计算积分解：被积函数共