卫生统计学之抽样误差和抽样分布概述

1、卫生统计学抽样误差和抽样分布Sampling Error and Sampling Distribution主要内容容抽样误差差抽样误差差的重要要性抽样误差差的定义义抽样误差差的规律律性标准误标准误的的定义标准误的的计算标准误的的意义标准误的的作用t分布t分布的的演化t分布的的图形t分布的的性质F分布2分布1.1抽抽样误误差的重重要性既然有误误差，为为什么还还要抽样样？无限总体体的客观观存在试验研究究的成本本效益问问题（cost effect)抽样误差差的重要要性总体同质个体体、个体体变异总体参数数未知样本代表性、抽样误误差随机抽样样本统计计量已知统计推断断风险险1.2抽抽样误误差的定定义假如

2、事先先知道某某地七岁岁男童的的平均身身高为119.41cm。为了估估计七岁岁男童的的平均身身高（总总体均数数），研研究者从从所有符符合要求求的七岁岁男童中中每次抽抽取100人，共计计抽取了了五次。119.41cm= 4.38cm抽样误差差的定义义五次抽样样得到了了不同的的结果，原因何何在？个体变异随机抽样不同男童的身高不同每次抽到的人几乎不同抽样误差抽样误差差的定义义【定义】由于个体体变异的的存在，在抽样样研究中中产生样样本统计计量和总总体参数数之间的的差异，称为抽抽样误差差（samplingerror）。各种参数数都有抽抽样误差差，这里里我们以以均数为为研究对对象抽样误差差的表现现抽样误差的

3、表现样本均数和总体均数间的差别样本均数和样本均数间的差别抽样误差差定义。只要有个个体变异异和随机机抽样研研究，抽抽样误差差就是不可避免免的。抽样误差差有自己己的客观观规律，统计学学就是拨拨开抽样样误差之之雾来洞洞察客观观规律的的利器。1.3抽抽样误误差的规规律性既然抽样样误差是是有规律律的，那那么到底底它的分分布规律律到底是是怎样的的？LetsEnjoyOurExperiments!中心极限限定理（central limit theorem)的表现从正态总总体中随随机抽样样，其样样本均数数服从正正态分布布；从任意总总体中随随机抽样样，当样样本含量量足够大大时，其其样本均均数的分分布逐渐渐逼近正

4、正态分布布；样本均数数之均数数的位置置始终在在总体均均数的附附近；随着样本本含量的的增加，样本均均数的离离散程度度越来越越小，表表现为样样本均数数的分布布范围越越来越窄窄，其高高峰越来来越尖。2.1标标准误误的定义义样本统计计量（如如均数）也服从从一定的的分布；与描述观观测值离离散趋势势的指标标类似，我们使使用样本统计计量的标标准差来反映抽抽样误差差的大小小。又称称标准误(standarderror)。标准误(standarderror)样本统计计量的标标准差称称为标准准误。样本均数数的标准差称称为均数数的标准准误。样本均数数的标准准误表示示样本均均数的变变异度。2.2标标准误误的计算算计算公

5、式式为其中，为总体标标准差，n为抽样的的样本例例数在研究工作时，由于总体标准准差常常未知，可可以利用用样本标标准差近近似估计计标准误的的计算【例】根据7岁男童的的身高资资料，在已知总总体标准准差时，标准误误为4.38/10=0.438cm而若以第第一次抽抽样的样样本标准准差来代代替总体体标准差差，则标标准误为为4.45/10=0.445cm2.3标标准误误的意义义标准误的的意义反映了样样本统计计量（样样本均数数，样本本率）分分布的离离散程度度，体现现了抽样样误差的的大小。标准误越越大，说说明样本本统计量量（样本本均数，样本率率）的离离散程度度越大，即用样样本统计计量来直直接估计计总体参参数越不

6、不可靠。反之亦亦然。标准误的的大小与与标准差差有关，在例数数n一定时，从标准准差大的的总体中中抽样，标准误误较大；而当总总体一定定时，样样本例数数越多，标准误误越小。说明我我们可以以通过增增加样本本含量来来减少抽抽样误差差的大小小。2.4标标准误误的作用用标准误的的用途衡量样本本统计量量代表总总体参数数的可靠靠性；估计总体体参数的的可信区区间；进行假设设检验。2.5标标准差差和标准准误的联联系与区区别标准差标准误对象个体变异抽样误差计算方法定义定义性质n越大，标准差越稳定n越大，标准误越小用途参考值范围衡量离散程度可信区间，假设检验3.1样样本均均数的抽抽样分布布规律中心极限限定理从均数为为，

7、标准差差为的正态总总体中随随机抽样样，样本本均数服服从均数数为，标准差差为的的正正态分布布。从均数为为，标准差差为的任意总总体中随随机抽样样，当样样本含量量足够大大时，样样本均数数近似服服从均数数为，标准差差为的的正正态分布布。 3.2t分布布的演化化根据中心心极限定定理的内内容，当当样本含含量足够够大时，对从均均数为，标准差差为的任意总总体中随随机抽样样所得的的样本均均数进行行标准化化变换，有t分布的演演化由于总体体标准差差往往是是未知的的，此时时往往用用样本标标准差代代替总体体标准差差，这里，为自由度度（degreeoffreedom,df)，取值为为n-1由W.S.Gosset提出 f(

8、t) =(标准正态曲线) =5 =10.10.2-4-3-2-1012340.3自由度分分别为1、5、时的t分布3.3t分布布的图形形由Gosset提出3.4t分布的性性质t分布为一一簇单峰峰分布曲曲线。t分布以0为中心，左右对对称。分布的高高峰位置置比u分布低，尾部高高。即相相同的尾尾部面积积对应的的界值，比u分布大。例如：P=0.05，u=1.64，而自由度为为10的t分布界值值，t= 1.812。t分布与自自由度有关，自自由度越越小，t分布的峰峰越低，而两侧侧尾部翘翘得越高高；自由由度逐渐渐增大时时，t分布逐渐渐逼近标标准正态态分布；当自由由度为无无穷大时时，t分布就是是标准正正态分布布

9、。每一自由由度下的的t分布曲线线都有其其自身分分布规律律。t界值表。t界值表单侧：P(t=t,)=双侧：P(t=t,)=即:P(-t,tt,)=1-例查t界值表得得t值表达式式t0.05,10=2.228(双侧）t0.05,10=1.812(单侧）-tt042分布设从正态态分布N(,2)中随机机抽取含含量为n的样本，样本均均数和标标准差分分别为和和s，设：则2值服从自自由度为为n-1的2分布(2-distribution)，是小写希希腊字母母，读作作chi。可见，2分布是方方差的抽抽样分布布。2分布的特特征2分布为一一簇单峰峰正偏态态分布曲曲线，自由度为为的2分布，其其均数为为，方差为为2。1

10、时2分布实际际上是标标准正态态分布变变量之平平方。自自由度为为的2分布实际际上是个标准正正态分布布变量之之平方和和。可表表示为：2=u12+u22+uv2每一自由由度下的的2分布曲线线都有其其自身分分布规律律=4=3=520246810120.00.10.20.30.40.5f(2)=1=2=62分布的作作用方差的抽抽样分布布研究样本分布布与理论论分布的的拟合优优度检验验率或构成成比的比比较5F分布设从两个个方差相相等的正正态分布布N(1,2)和N(2,2)总体中中随机抽抽取含量量分别为为n1和n2的样本，样本均均数和标标准差分分别为、s1和、s2。设：则F值服从自自由度为为(n1-1，n2-1)的的F分布(F-distribution)。F分布的特特征F分布为一一簇单峰峰正偏态态分布曲曲线，与与两个自自由度有有关。若F服从自由由度为(1,2)的F分布，则则其倒数数1/F服从自由由度为(2,1)的F分布。自由度为为(1,2)的F分布，其其均数为为2/(2-2)，与第一一自由度度无关。第一自由由度11时，F分布实际际上是t分布之平平方；第第二自由由度2时，F分布实际际上等于于2分布。每一对自自由度下下的F分布曲线线下的面面积分布布规律。 0123450.00.20.4