【质量管理精品文档】中心极限定理

1、大数定律及中心极限定理定理一设设随机变变量X1, X2,Xn, 相互独立立,且具有相同同的数学学期望和和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,)作前n 个随随机变量量的算术术平均一大大数定律律频率具有有稳定性性，大量量测量值值的算术术平均值值也具有有稳定性，这种稳稳定性就就是大数数定律的的客观背背景。则对于任任意正数数有定理的意意义：当n很很大时X1,X2,Xn的算术平平均值这种接近近是在概率率意义下下的接近近.通通俗地讲讲,在在定理的的条件下下,n个随机机变量的的算术平平均,当当n无限限增大时时将几乎乎变成一一个常数数。设Y1, Y2, ,Yn是一个随随机变量量序列，a是一一个常

2、数，若若对于任任意e0有则称序列列Y1, Y2, ,Yn依概率收收敛于a,记为故上述定定理一又又可叙述述为：定理一设随机变变量X1,X2,Xn,相互独立立,且具具有相同的的数学期期望和方方差:E(Xk) =,D(Xk)=2(k=1,2,)则序列定理二(贝努利利定理)设nA是n次独独立重复复试验中中事事件A发发生的次次数, p是是事件A在每次次试验中中发生的的概率，依概率收收敛的序序列还有有以下的的性质则对于任任意正数数e 0,有或(1.2)证引入随机机变量显然nA=X1+X2+Xn.由于Xk只依赖于于第k次次试验，而各次次试验是是独立的的.于是是X1, X2,是相互互独立的的;又由由于Xk服从

3、(0-1)分布布，故有有E(Xk)=p,D(Xk) =p(1-p),k=1,2, ,n, .由定理一一有即贝努利定定理表明明事件A发生的的频率nA/n依概概率收敛敛于事件件的概率p，且以以严格的的数学形形式表达达了频率率的稳定定性。n很大时，事件发发生的频频率与概概率的偏偏差很小小,故故可用频频率代替概率率。定理一中中要求X1,X2的方差差存在。 但服服从相同同分布的的场合，并不需需要这一一要求，故有以以下定理理。定理三(辛钦定定理)设随机变变量X1,X2,Xn,相互独立,服服从同同一分布布,且具具有相同同的数学学期望E(Xk)=m(k=1,2,),则对于任任意正数数e，有(1.3)二中中心极

4、限限定理有些随机机变量,它们是是由大量量相互独独立的随随机因素素综合影影响所形形成的,而其中中每一个个别因素素在总的的影响中中所起作作用都是是很微小小的。这这种随机机变量往往往近似似服从正正态分布布。证略。易易见贝努努利定理理是辛钦钦定理的的特殊情情况定理四(独立同同分布的的中心极极限定理理)设设随机机变量X1,X2,Xn,相互独立立,服服从同一一分布,且具有有数学期期望和方差：E(Xk)=m,D(Xk)=s20(k=1, 2,),则随机变变量的分布函函数Fn(x)对于任意意x满足足(2.1)证略。例1：据据以往经经验，某某种电子子元件的的寿命服服从均值值为100小时时的指数数分布，现随机机的

5、取16只，设它们们的寿命命是相互互独立的的，求这这16只只元件件的寿命命的总和和大于1920小时的的概率?解：设Xk表示第k只元件的的寿命（k=1,2,3,.16)则Xk服从指数数分布，E(Xk)=100，D(Xk)=10000设Z=X1+X2+X16则所求概概率为：由于：E(xk)=100,D(xk)=1002则定理五(李雅普普诺夫Liapunov定理理)设设随机机变量X1,X2,Xn,相互独立立,且且它们具具有数学学期望和和方差：若存在正正数d,使得当n时，则随机变变量的分布函函数Fn(x)对于任意意x,满满足证明略。定理五表表明，在在定理的的条件下下，随机机变量Zn,当n很很大时，服从正

6、态态分布N(0,1)。由此，当当n很大大时近似服从从正态分分布即就是说说,无论论各个Xk具有怎样样的分布布,只只要满足足定理的条件, 那么么其和Xk,当n很大时, 近似似地服从从正态分分布.例例如城市耗耗电量是是大量用用户耗电电的总和和。物理理实验误误差是由由许多观察察不到的的、可加加的小误误差构成成，故服服从正态态分布。定理六(德莫佛佛 -拉拉普拉斯斯Demoiver-Laplace定理)设随机变变量hn(n=1,2,)服从参参数为n ,p(0p105的近似值值。解易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,20),由定理四，随随机变量量近似服从从正态分分布N(0,1),于于是即有PV1050.387.例3设一船舶舶在某海海区航行行，已知知每遭受受一次波波浪的冲击,纵纵摇角大大于3o的概率为为 p=1/3,若若船舶舶遭受了了90000次波波浪的冲冲击,问问其中中有2950030500 次纵纵摇角大于3o的概率是是多少？解设X为在在90000次次波浪中中纵摇角角大于3o的次数,则Xb(90000,1/3)其分布律律为所求的概概率为由定理六六，得其中n=90000,p=1/3.即即有P29500120发生时，就要亏亏本。