利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)-学生版

1、经纬教育第 第 页 第2课时利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(15),5) C.eq f(r(10),5) D.eq f(r(3),3)(2)(一题多解)(2019河北、山西、河南三省联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.eq f(5,8) B.eq f(3,

2、4) C.eq f(7,8) D.eq f(1,4)规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|eq f(|v1v2|,|v1|v2|)求解.2.两异面直线所成角的范围是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1eq r(2)AB，E，F分别为BC，B

3、B1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()A.eq f(3,5) B.eq f(r(3),2) C.eq f(1,2) D.eq f(4,5)考点二用空间向量求线面角【例2】 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2eq r(2)，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的

4、方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】 (2019郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABDeq f(,6)，AB2AD.(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.考点三用空间向量求二面角【例3】 (2019北京海淀区模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使

5、AQOB.(1)(一题多解)证明：OD平面PAQ；(2)若BE2AE，求二面角CBQA的余弦值.规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【训练3】 (2018安徽六校第二次联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBCCC12CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.(1)求证：EF平

6、面BCC1B1；(2)(一题多解)若BCDC1CD60，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.考点四用空间向量求空间距离(供选用)【例4】 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2eq r(3)，求点A到平面MBC的距离.规律方法1.空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除了使用距离公式外，还可转化为求向量的模.2.求点P到平面的距离的三个步骤：(1)在平面内取一点A，确定向量eq o(PA,sup6()的坐标表示；(2)确定平面的法向量n；(3

7、)代入公式deq f(|o(PA,sup6()n|,|n|)求解.【训练4】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是_.思维升华1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.2.利用法向量求距离问题的程序思想方法第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量；第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；第四步，求投影向量的长度.易错防范1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角

8、：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.利用向量法求二面角大小的注意点(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求.(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A.120 B.60 C.30 D.60或302.在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角大

9、小为()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(3),3) C.eq f(r(5),3) D.eq f(r(6),3)4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),

10、2)5.(2019日照模拟)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(2),2) C.eq f(2r(2),3) D.eq f(2r(3),3)二、填空题6.(2019昆明月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.7.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_.8.(一题多解)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1

11、上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_.三、解答题9.(2018江苏卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.10. (2018河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C1B1C；(2)(一题多解)求二面角B1A1CC1的正弦值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(20

12、19长沙雅礼中学检测)在三棱锥PABC中，点P在底面的正投影恰好是等边ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设PAC与底面所成的二面角的大小为，PBC与底面所成的二面角的大小为，则tan()的值是()A.eq f(3,4)eq r(3) B.eq f(2,5)eq r(3) C.eq f(8,13)eq r(3) D.eq f(5,8)eq r(3)12.(2019济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.eq f(r(5),5) B.eq f(r(5),3) C.eq f(2r(5),5) D.eq f(3,5)13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2eq r(17)，则该二面角的大小为_.14.如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一