二次根式的概念与性质

1、人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，并利用它们进行计算和化简2.重点：；，及其运用3.难点：利用，解决具体问题 .二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a0)?的式子叫做二次根式， “”称为二次根号页脚内容 1人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案要点诠释：二次根式的两个要素：根指数为2；被开方数为非负数 .知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商

2、的算术平方根的性质：.要点诠释：二次根式(a 0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解 .页脚内容 2人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案知识点三：代数式形如 5， a， a+b，ab，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方 )把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression).三、规律方法指导1.如何判断一个式子是否是二次根式？(1)必须含有二次根号，即根指数为2；(2)被开方数可以

3、是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围 .当二次根式作为分母时要注意分母不能为零 .经典例题透析类型一：二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：页脚内容 3人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案、(x 0)、(x 0， y 0)思路点拨： 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0解：二次根式有：、(x0)、(x0，y0)

4、；不是二次根式的有：、2、当 x 是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨： 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x-10，?才能有意义解：由 3x-1 0，得： x当 x时，在实数范围内有意义总结升华： 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数举一反三【变式 1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？页脚内容 4人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案(1)；(2)；解： (1)由 0，解得： x 取任意实数 当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义 .(2)由 x-10，且 x-1 0，解得： x1 当 x 1时，二次根

5、式在实数范围内都有意义 .【变式 2】当 x 是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨： 要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的 2x+30 和中的 x+1 0解：依题意，得由得： x-由得： x-1页脚内容 5人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案当 x -且 x-1时，+在实数范围内有意义类型二：二次根式的性质3、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b0)(6)思路点拨： 我们可以直接利用(a0)的结论解题解：(1)(2)= ；(3)；(4)=；(5)；(6)举一反三【变式 1】计算：页脚内容 6人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案(1)；(2)

6、；(3)；(4).思路点拨： (1)因为 x 0，所以 x+1 0；(2)a2 0；(3)a2+2a+1=(a+1) 20；(4)4x2 -12x+9=(2x)2-2 2x3+32=(2x-3)20所以上面的 4 题都可以运用的重要结论解题解： (1)因为 x 0，所以 x+10；(2)a2 0，；(3)a2+2a+1=(a+1)2又 (a+1)20， a2+2a+1 0，=a 2+2a+1；(4)4x2-12x+9=(2x)2 -22x3+3 2=(2x-3)2又 (2x-3)2 0 4x2-12x+90，=4x2-12x+9.页脚内容 7人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2）

7、教案4、化简 :(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为 (1)9=32，(2)(-4)2=4 2，(3)25=52，(4)(-3)2=3 2，所以都可运用去化简解：(1)=3；(2)=4；(3)=5；(4)=3.5、填空：当 a0 时，=_；当 a 0 时，=_，?并根据这一性质回答下列问题(1)若=a ，则 a 可以是什么数？(2)若=-a ，则 a 可以是什么数？a，则 a 可以是什么数？思路点拨：=a(a 0)，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当 a 0 时，=，那么 -a0页脚内容 8人教版九年级第 21章第 1 节 二

8、次根式（ 2） 教案(1)根据结论求条件； (2)根据第二个填空的分析， 逆向思想；(3)根据 (1)、(2)可知，而要大于 a，只有什么时候才能保证呢？解： (1)因为，所以 a0；(2)因为，所以 a0；(3)因为当 a0 时，要使，即使 aa 所以 a 不存在；当 a 0 时，要使，即使 -aa，即 a 0；综上， a0.类型三：二次根式性质的应用6、当 x=-4 时，求二次根式的值 .思路点拨： 二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将 x=-4 代入二次根式，得=.7、 (1)已知 y=+5，求的值(2)若+=0 ，求的值页脚内容 9人教版九年级第 2

9、1章第 1 节 二次根式（ 2） 教案解： (1)由可得，(2)8、在实数范围内分解因式：23(1)x-5； (2)x -2x；解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题页脚内容 10人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案1.下列式子中，不是二次根式的是( )ABCD2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 ( )A5BCD以上皆不对3.(福建省福州市 )若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ( )Ax 0Bx 0C x 0D x 0 且 x 14的值是()A0BC 4D以上都不对5a0 时，、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )ABC

10、D页脚内容 11人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案6.(辽宁省大连市 ) 如图，数轴上点 N表示的数可能是()ABCD二、填空题1.若，则 x = _.2.若有意义，则的取值范围是 _.3-=_4.=_.5.=_.页脚内容 12人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案6.若，则_.7.若，则_；若，则_.8.化简：=_.9. 计算： (1)=_；(2)=_；(3)=_。10.(内蒙古鄂尔多斯市 )如图，在数轴上， A、B 两点之间表示整数的点有_个三、解答题1. 求下列二次根式中字母a 的取值范围：页脚内容 13人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（

11、 2） 教案(1)，(2)；(3).32.某工厂要制作一批体积为 1m 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要， ?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升一、选择题1.使式子有意义的未知数x 有( )个A0B1C2D无数2.(山西省临汾市 ) 若，则与 3 的大小关系是 ( )ABCD3.下列计算正确的是 ( )ABCD4.(福建省厦门市 ) 下列四个结论中，正确的是( )页脚内容 14人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案A.B.C.D.二、填空题1.若，则_.2若是一个正整数，则正整数m 的最小值是 _3.已知实数在数轴上的对应点如图所示，则_.三、解答题1

12、.当 x 是多少时，+x2 在实数范围内有意义？2.若+有意义，求的值 .3.(北京市海淀区)已知实数x，y 满足页脚内容 15，求代数式的值 .人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案4.已知，求 x+y 的值 .综合探究1.(福建省南安市 ) 观察分析下列数据， 寻找规律：0，3，2，3，那么第 10个数据应是 _.2.(江苏省苏州市 )等式中的括号应填入 _.3先化简再求值：当a=9 时，求 a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式 =a+=a+(1-a)=1；乙的解答为：原式 =a+=a+(a-1)=2a-1=17两种解答中， _的解答是错误的，错误的原因是_4.

13、 若时，试化简.5在实数范围内分解下列因式:(1)；(2).页脚内容 16人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案答案与解析基础达标一、 1.D2.B3.D4.C5.A6.B二、1.162.3.-0.024.5.2-x6.7.8.9.(1)；(2)6； (3)-610.4三、1.解： (1) 由 a+1 0 ， 得 a -1字母 a 的取值范围是大于或等于-1的实数。 0，得 1-2a 0，即 a字母 a 的取值范围是小于的实数。(3) 因为无论 a 取何值，都有，所以 a 取值范围是全体实数。解：设底面边长为，则2=1，解答： x= 2.x0.2x页脚内容 17人教版九年级第 21章第 1 节 二次根式（ 2） 教案能力提升一、 1