计算机科学导论第二章数制课件

1、2022/10/15第2章 数制 Number Systems 2022/10/15 理解数制的概念. 分清位置化数制和非位置化数制. 描述十进制. 描述二进制. 将十进制转换为二进制、八进制或十六进制. 将二进制和八进制相互转换. 将二进制和十六进制相互转换. 查找在各种系统中代表特定数值所需的数码.目标 通过本章的学习，同学们应该能够:2022/10/152-1 引言 INTRODUCTION数制定义了如何用独特的符号来表示一个数字. 在不同的系统中，数字有不同的表示方法. 例如，这两个数字 (2A)16 和 (52)8 都是指同样的数量 (42)10, 但是它们的表示截然不同. 一些数制

2、系统已经在过去广为使用，并可以分为两类：位置化数制和非位置化数制.我们的主要目标是讨论位置化数制系统，但也给出非位置化数制系统的例子.2022/10/152-2 位置化数制系统 POSITIONAL NUMBER SYSTEMS在位置化数制系统中，符号所占据的位置决定了其表示的值。它的值是:2022/10/15位置化数制系统 其中，S是一套符号集， Si是数码（数字符号） ，b是底或基数（数码的个数）. bi：权（数值中每一固定位置对应的单位）计数规则：逢基数进一 例： (123.45)10 = 1102+2101+3100+410-1+510-2 (101.01)2 = 122+021+12

3、0+02-1+12-2 2022/10/15下标法：用小括号将所表示的数括起来，然后在右括号右下角写上数制的基R。字母法：在所表示的数的末尾写上相应数制字母。2022/10/15进 制 符 号 数 码二 进 制 B (Binary) 01八 进 制 O (Octal) 07十 进 制 D (Decimal) 09十六进制H (Hexadecimal)09,AF2022/10/15S = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9十进制系统The decimal system (以10为底) 十进制来源于拉丁词根decem (ten). 在该系统中，底b = 10 ，并且我们用10

4、个符号来表示一个数该系统中的符号，常被称为十进制数码，或仅称为数码. 2022/10/15整数Figure 2.1 在十进制系统中使用位置量表示整数 2022/10/15Example 2.1在十进制系统中使用位置量表示整数+224.注意，在位置1的数码2值为20，但是在位置2的同一个数码其值为200。通常我们省略掉的加号，实际上是隐含的.2022/10/15Example 2.2在十进制系统中使用位置量表示整数7508. 可以用k表示的十进制整数的最大值？答案是Nmax=10k-1。如果k=5，那么这个最大值是Nmax=105-1=99999.()Values2022/10/15实数Exam

5、ple 2.3以下显示了实数+24.13的位置量.2022/10/15二进制binary 来源于拉丁词根 bini (二). 在该系统中，底b = 2, 并且用两个符号来表示一个数 二进制系统The binary system (以2为底) S = 0, 1该系统中的符号常被称为二进制数码或位 2022/10/15整数 Figure 2.2 在二进制系统中使用位置量表示整数 2022/10/15Example 2.4二进制数 (11001)2，下标2表示底是2.相等的十进制数是 N = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25.2022/10/15实数Example 2.5与十进制数5.

6、75等值的二进制数 (101.11)2.2022/10/15十六进制 hexadecimal 来源于希腊词根hex (six) 和拉丁词根 decem (ten). 在该系统中，底b = 16 ，并且用16个符号来表示一个数. 字符集是，十六进制系统The hexadecimal system (以16为底) S = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 注意符号A, B, C, D, E, F 分别等于10, 11, 12, 13, 14, 15. 该系统中的符号常被称为十六进制数码.2022/10/15整数Figure 2.3 在十六

7、进制系统中使用位置量表示一个整数 2022/10/15Example 2.6与十进制数686等值的十六进制数 (2AE)16.相等的十进制数为 N = 512 + 160 + 14 = 686.2022/10/15八进制 octal 来源于拉丁词根 octo (八). 在该系统中，底 b = 8 ，并且用8个符号来表示一个数.字符集是，八进制系统The octal system (以8为底)S = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2022/10/15整数Figure 2.4 在八进制系统中使用位置量表示一个整数 2022/10/15Example 2.7 八进制数 (1256)8

8、.相等的十进制数为N = 512 + 128 + 40 + 6 = 686.2022/10/15表2.1是本章讨论的四种位置化系统的小结.四种位置化系统总结 2022/10/15表2.2显示了数字0到15在不同的系统中是如何表示的. 2022/10/15如何将一种系统中的数字转换为另一个系统中等价的数字？ 如何从其他进制转换到十进制. 如何从十进制转换到其他进制. 如何简便地进行二进制与八进制或十六进制之间的相互转换.转换 2022/10/15其他进制到十进制的转换 Figure 2.5 任意进制到十进制的转换 2022/10/15Example 2.8如何将二进制数(110.11)2 转换为

9、十进制数6.75. 2022/10/15Example 2.9如何将十六进制数 (1A.23)16 转换为十进制数.注意这个十进制表示并不精确，因为 3 162 = 0.01171875. 四舍五入成三位小数 (0.012). 2022/10/15Example 2.10如何将八进制数 (23.17)8 转换为十进制数.在十进制中 (23.17)8 19.234. 再一次, 我们把7 82 = 0.109375四舍五入.2022/10/15Figure 2.7 转换十进制的整数部分到其他进制 除基取余法十进制到其他进制的转换 2022/10/15Example 2.11如何将十进制数35转换为

10、二进制数？从这个十进制数35开始，一边连续寻找除以2得到的商和余数，一边左移. 结果是 35 = (100011)2.2022/10/15Example 2.12如何将十进制数126转换为八进制数. 一边连续寻找除以8得到的商和余数，一边左移. 结果是 126 = (176)8.2022/10/15Example 2.13 如何将十进制数126转换为十六进制数. 一边连续寻找除以16得到的商和余数，一边左移. 结果是126 = (7E)162022/10/15例：将十进制整数（105）10转换为二进制整数。解： 2 105 2 52 余数为1 2 26 余数为0 2 13 余数为0 2 6 余

11、数为1 2 3 余数为0 2 1 余数为1 0 余数为1 所以，（105）10（1101001）22022/10/15Figure 2.9 转换十进制的小数部分到其他进制 乘基取整法 转换十进制的小数部分到其他进制 2022/10/15Example 2.14将十进制数0.625转换为二进制数.该例子显示小数部分如何计算. 2022/10/15Example 2.15如何将0.634转换为八进制数且精确到小数四位. 结果是 0.634 = (0.5044)8. 注意，乘以8 (以8为底).2022/10/15Example 2.16如何将十进制数178.6转换为十六进制数，且精确到1位小数.

12、结果是178.6 = (B2.9)16 ，注意，以16为底时除以或乘以16.2022/10/15Example 2.17通常把小于 256的十进制数 转换为二进制数，有一个变通的方法，即把这个数分解为下列二进制位置量对应数的和:2022/10/15Example 2.18当分母是2的幂次时，用类似的方法可以把十进制小数转换为二进制:结果是 (0.011011)22022/10/15二进制-十六进制的转换Binary-hexadecimal conversionFigure 2.10 二进制与十六进制的互换 2022/10/15Example 2.19如何将二进制数 (10011100010)2

13、转换为十六进制数 解：首先将二进制数排为4位一组的形式:100 1110 0010注意:最左边一组可能是1到4位不等. 根据表2.2 所示的值对照每组等量转换得到十六进制数 (4E2)16.2022/10/15Example 2.20与十六进制数(24C)16相等的二进制数是多少? 解：将每个十六进制数码转换成4位一组的二进制数:2 0010, 4 0100, C 1100结果是 (001001001100)2.2022/10/15二进制-八进制的转换Binary-octal conversionFigure 2.11 二进制与八进制的互换 2022/10/15Example 2.21如何将二

14、进制数(101110010)2转换为八进制数.解：每3位一组转换为1位八进制数码. 对照每3位一组等量转换得到八进制数. 结果是 (562)8.101 110 0102022/10/15Example 2.22与(24)8相等的二进制数是多少?解：将每个八进制数码写成对等的二进制位组2 010 4 100结果是 (010100)2.2022/10/15八进制-十六进制的转换Octal-hexadecimal conversionFigure 2.12 八进制与十六进制的互换 2022/10/15Example 2.23找出二进制数码的最小数，用于存储一个最大6个数码的十进制整数.解：k = 6

15、, b1 = 10, b2 = 2. x = k (logb1 / logb2) = 6 (1 / 0.30103) = 20. 最大的6数码十进制数是 999,999 ，并且最大的20位二进制数1,048,575. 注意，可以用19位表示的最大的数是524287, 它比999,999小. 因此需要20位.2022/10/152-3 非位置化数制系统 NONPOSITIONAL NUMBER SYSTEMS 尽管非位置化系统并不用在计算机中, 但我们给出简单的介绍作为和位置化数制系统的比较. 非位置化数制系统仍然使用有限的数字符号，每个符号有一个值. 但是，符号所占用的位置通常与其值无关，每个符号所占的位置是固定的. 为求出该数字的值，我们把所有符号表示的值相加. 2022/10/15该系统数字表示为:并有值为:与前面提到的相加规则有一些例外，如例2.24所示. 2022/10/15Example 2.24罗马数制是非位置化数制系统的一个好例子. 该系统由罗马人发明，在欧洲一直使用到16世纪，该数制系统由一套符号集S = I, V, X, L, C, D, M. 每个符号的取值如表2.3所示2022/10/15为求一个数的值，需遵循特定法则将符号